2024-2025學(xué)年北師大版九年級(jí)上冊(cè) 數(shù)學(xué)期中試卷 （A）

九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中檢測(cè)卷考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：120分一、單選題（共10道，每道3分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．五個(gè)大小相同的正方體塔成的幾何體如圖所示，其左視圖是（）

A． B． C． D．

3．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，相似比為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．如圖，直線兩條直線分別與、、，相交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，已知，則下列等式不成立（）A． B． C． D．5．不透明的袋子中裝有兩個(gè)小球，上面分別寫著“1”，“2”，除數(shù)字外兩個(gè)小球無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是（）A． B． C． D．6．為執(zhí)行“均衡教育”政策，某市2017年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬(wàn)元，預(yù)計(jì)到2019年底三年累計(jì)投入1.2億元．若每年投入教育經(jīng)費(fèi)的平均增長(zhǎng)率為x，則下列方程正確的是（）A． B．C． D．7．關(guān)于x的一元二次方程根的情況，下列說(shuō)法正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定

8．如圖，在矩形ABCD中，，，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（）A．5 B． C． D．9．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，，，則四邊形BEDF的周長(zhǎng)是（）A．8 B． C． D．410．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．4 C．6 D．8二、填空題（共5道，每道3分）11．一元二次方程的解是______．

12．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師將全班同學(xué)分成5個(gè)小組進(jìn)行摸球試驗(yàn)，試驗(yàn)規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)黃球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外其他都相同，將盒子里的球搖勻，任意摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回盒子，這樣連續(xù)摸球200次．試驗(yàn)結(jié)束后，5個(gè)小組分別計(jì)算出摸出黃球的頻率（如下表所示）．由此估計(jì)，盒子中紅球的個(gè)數(shù)為______．組別第1組第2組第3組第4組第5組摸出黃球的頻率0.190.220.200.190.2013．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M為邊AD上一點(diǎn)，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BM，CM中點(diǎn)，若，則AM的長(zhǎng)為______．

14．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則______．15．如圖，在矩形ABCD中，，，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為折痕，將折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，線段PE與OD相交于點(diǎn)F．若為直角三角形，則DP的長(zhǎng)為______．

三、解答題（共8道，共計(jì)75分）16．（8分）解下列方程．（1）； （2）．17．（8分）小亮與小明做擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體，6個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）的試驗(yàn)．（1）他們共做了50次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如下：朝上的點(diǎn)數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)1096988①填空：試驗(yàn)中，“朝上的點(diǎn)數(shù)為1”的頻率是______．②小亮說(shuō)：“根據(jù)試驗(yàn)，出現(xiàn)朝上的點(diǎn)數(shù)為1的概率最大．”他的說(shuō)法正確嗎？為什么？（2）兩人約定：每次同時(shí)擲兩枚骰子，如果兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)6，則小亮獲勝，否則小明獲勝．小亮與小明誰(shuí)獲勝的可能性大？試說(shuō)明理由．18．（8分）如圖，在中，直線DN平行于中線AF交AB于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)N，求證：．19．（9分）已知：矩形ABCD的兩邊AB，AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是正方形？求出這時(shí)正方形的邊長(zhǎng)；（2）若AB的長(zhǎng)為2，那么矩形ABCD的周長(zhǎng)是多少？20．（10分）某商店以40元/千克的價(jià)格新進(jìn)一批茶葉，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為．（1）該商店想在銷售成本不超過(guò)3000元的情況下，使銷售利潤(rùn)達(dá)到2400元，銷售價(jià)格應(yīng)定為多少？（2）在（1）條件下，該商店為了國(guó)慶期間促銷，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)將銷售價(jià)格定為81元/千克且全部售完，求平均每次降價(jià)的百分比．21．（10分）如圖1，在中，，過(guò)AB上一點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)E，以E為頂點(diǎn)，ED為一邊，作，另一邊EF交AC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ADEF為平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ADEF的形狀為______；（3）延長(zhǎng)圖1中的DE到點(diǎn)G，使，連接AE，AG，F(xiàn)G，得到圖2，若，判斷四邊形AEGF的形狀，并說(shuō)明理由．22．（10分）如圖1，在中，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且，交直線CD于點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)F，．（1）圖1中是否存在與AC相等的線段？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若將“點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上”改為“點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上”，其他條件不變（如圖2）．當(dāng)，，時(shí)，求線段PE的長(zhǎng)．23．（10分）如圖1，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，連接BE，點(diǎn)M，N，P分別為DE，BE，BC的中點(diǎn)．

（1）觀察猜想

圖1中，線段NM，NP的數(shù)量關(guān)系是______，的大小為______；

（2）探究證明

把繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP，BD，CE，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸

把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)求出面積的最大值．

參考答案1．答案：B解題思路：A．是一元一次方程，故A錯(cuò)誤；B．是一元二次方程，故B正確；C．是二元二次方程，故C錯(cuò)誤；D．是分式方程，故D錯(cuò)誤；故選：B．2．答案：C解題思路：從左邊看第一層是兩個(gè)小正方形，第二層右邊一個(gè)小正方形，故選：C．3．B4．C5．答案：C列表如下：12123234由表可知，共有4種等可能結(jié)果，其中兩次記錄的數(shù)字之和為3的有2種結(jié)果，所以兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率為，故選：C．6．D【解析】由題意得，2018年投入的教育經(jīng)費(fèi)為萬(wàn)元，2019年投入的教育經(jīng)費(fèi)為萬(wàn)元，預(yù)計(jì)到2019年底，三年累計(jì)投入萬(wàn)元，所以．故選D．7．答案：A解題思路：，∴，即，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．8．C9．答案：B解題思路：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為正方形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形BEDF為平行四邊形，且，∴四邊形BEDF為菱形，∴，∵，，由勾股定理得：，∴四邊形BEDF的周長(zhǎng)，故選：B．10．【解答】解：如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，交BC于點(diǎn)H∵點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且，∴，，∵點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，∴，，∴，∴．則在線段BC存在點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為，在點(diǎn)H右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則，∴點(diǎn)P在CH上時(shí)，．在點(diǎn)H左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，．∵，，，∴，∴，∴．∴點(diǎn)P在BH上時(shí)，．∴在線段BC上點(diǎn)H的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P使，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使．即共有8個(gè)點(diǎn)P滿足，故選：D．11．答案：，解題思路：，，∴或，∴，，故答案為：，．12．24【解析】由題中表格可知，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在0.20左右，所以估計(jì)摸一次球，摸出黃球的概率為0.2，所以盒子中小球約有（個(gè)），所以估計(jì)紅球的個(gè)數(shù)為．13．答案：8解題思路：∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是BM，CM中點(diǎn)，∴EF是的中位線，∵，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∵，∴，故答案為：8．14．4.815．答案：1或16．【解析】（1）原方程可化為，其中，，，，所以，即原方程的根為，．（2）移項(xiàng)，得，因式分解，得．所以，或，解得，．17．【解析】（1）①0.2②不正確．因?yàn)樵谝淮卧囼?yàn)中頻率并不一定等于概率，只有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率才趨近于概率．（2）小亮獲勝的可能性大，理由如下．列表如下：第2枚骰子擲得的點(diǎn)數(shù)和第1枚骰子擲得的點(diǎn)數(shù)123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格可知，所有可能的結(jié)果共有36種，每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．所以P（點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)6），P（點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)6）．因?yàn)?，所以小亮獲勝的可能性大．18．【解答】證明：∵直線，∴，，∵在中，AF是BC邊上的中線，∴，∴．19．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，又∵，時(shí)，即時(shí)，四邊形ABCD是正方形，把代入，得，解得：，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)是；（2）把代入，得，解得：，把代入，得，解得或，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)是．20．【解析】（1）根據(jù)題意得，，整理得，，解得，．當(dāng)時(shí)，銷售價(jià)格為60元/千克，銷售量為120千克，則銷售成本為（元），超過(guò)了3000元，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，銷售價(jià)格為100元/千克，銷售量為40千克，則銷售成本為（元），低于3000元，符合題意．答：銷售價(jià)格應(yīng)定為100元/千克．（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分比是x，根據(jù)題意得，，解得，（舍去）．答：平均每次降價(jià)的百分比是10%．21．【解析】（1）∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴四邊形ADEF為平行四邊形．（2）菱形．∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴，∵，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴．∵，∴．由（1）知四邊形ADEF為平行四邊形，∴四邊形ADEF為菱形．（3）四邊形AEGF是矩形．理由如下：由（1）得，四邊形ADEF為平行四邊形，∴，．∵，∴，∴四邊形AEGF是平行四邊形．∵，，∴，∴四邊形AEGF是矩形．22．【解析】（1）．證明如下：∵，，，∴，又∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．（2）∵，，∴，∴，．∵，∴，，∴，∴，又∵，∴．∵，，∴，∴，即P為CD的中點(diǎn)．又∵，∴F是AD的中點(diǎn)，∴FP是的中位線，∴．∵，，∴，∴．∵，，∴，即C為BE的中點(diǎn)．又∵，∴A為FB