2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.1.5向量的線性運(yùn)算課時素養(yǎng)評價含解析新人教B版必修第二冊

PAGE向量的線性運(yùn)算(15分鐘30分)1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,則2a-3b+c等于 ()A.10d B.-10d C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=2×4d-3×5d-3d=8d-15d-3d=-10d.【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡下列各式(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;(2)QUOTE-QUOTE【解析】(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(2)原式=QUOTEa-QUOTEb-QUOTEa-QUOTEb=-2QUOTEb.2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則肯定共線的三點是 ()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】選A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,所以,共線,且有公共點B,所以A,B,D三點共線.3.已知e是單位向量,a=2e,b=-3e,則QUOTE=________.

【解析】由題意得a-2b=8e,故QUOTE=8.答案:84.(2024·長沙高一檢測)如圖正方形ABCD中,點E是DC的中點,點F是BC的一個三等分點,則=________(用向量,表示).

【解析】=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE-QUOTE.答案:QUOTE-QUOTE5.如圖,以向量=a,=b為邊作?OADB,=QUOTE,=QUOTE,用a,b表示,,.【解析】因為=-=a-b,=QUOTE=QUOTEa-QUOTEb,所以=+=QUOTEa+QUOTEb,又因為=a+b,=+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE(a+b)=QUOTEa+QUOTEb,所以=-=QUOTEa+QUOTEb-QUOTEa-QUOTEb=QUOTEa-QUOTEb,即有=QUOTEa+QUOTEb,=QUOTEa+QUOTEb,=QUOTEa-QUOTEb.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·杭州高一檢測)下面四種說法:①對于實數(shù)m和向量a,b,恒有mQUOTE=ma-mb;②對于實數(shù)m,n和向量a,恒有QUOTEa=ma-na;③對于實數(shù)m和向量a,b,若ma=mb,則a=b;④對于實數(shù)m,n和向量a,若ma=na,則m=n.其中正確說法的個數(shù)是 ()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選C.由數(shù)乘向量運(yùn)算律,得①②均正確.對于③,若m=0,由ma=mb,未必肯定有a=b,錯誤.對于④,若a=0,由ma=na,未必肯定有m=n,錯誤.2.已知平行四邊形ABCD中,=a,=b,其對角線交點為O,則等于()A.QUOTEa+bB.a+QUOTEbC.QUOTE(a+b) D.a+b【解析】選C.+=+==2,所以=QUOTE(a+b).3.已知四邊形ABCD是菱形,點P在對角線AC上(不包括端點A,C),則=()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,QUOTE)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,QUOTE)【解析】選A.設(shè)P是對角線AC上的一點(不含A,C),過點P分別作BC,AB的平行線,設(shè)=λ,則λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1).4.已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內(nèi)一點P,滿意++=,則點P與△ABC的關(guān)系為 ()A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部C.P在AB邊所在直線上D.P是AC邊的三等分點【解析】選D.因為=-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=QUOTE,所以點P是AC邊的一個三等分點.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.如圖所示,向量,,的終點A,B,C在一條直線上,且=-3.設(shè)=p,=q,=r,則以下等式中不成立的是 ()A.r=-QUOTEp+QUOTEqB.r=-p+2qC.r=QUOTEp-QUOTEq D.r=-q+2p【解析】選BCD.因為=+,=-3=3,所以=QUOTE,所以=+QUOTE=+QUOTE(-).所以r=q+QUOTE(r-p).所以r=-QUOTEp+QUOTEq.6.若點D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點,且=a,=b,則下列結(jié)論正確的是 ()A.=-QUOTEa-b B.=a+QUOTEbC.=-QUOTEa+QUOTEb D.=QUOTEa【解析】選ABC.如圖在△ABC中=+=-+QUOTE=-b-QUOTEa,故A正確;=+=a+QUOTEb,故B正確;=+=-b-a,=+QUOTE=b+QUOTE×(-b-a)=-QUOTEa+QUOTEb,故C正確;=QUOTE=-QUOTEa,故D不正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.(1)化簡:QUOTE=________.

(2)已知向量為a,b,未知向量為x,y,向量a,b,x,y滿意關(guān)系式3x-2y=a,-4x+3y=b,則向量x=________,y=________.(用向量a,b表示)

【解析】(1)原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEa-QUOTEb.(2)QUOTE由①×3+②×2得,x=3a+2b,代入①得3×(3a+2b)-2y=a,即y=4a+3b,所以x=3a+2b,y=4a+3b.答案:(1)QUOTEa-QUOTEb(2)3a+2b4a+3b8.(2024·濰坊高一檢測)在平面對量中有如下定理:設(shè)點O,P,Q,R為同一平面內(nèi)的點,則P,Q,R三點共線的充要條件是:存在實數(shù)t,使=QUOTE+t.試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉栴}:如圖,在△ABC中,點E為AB邊的中點,點F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點M,設(shè)=x+y,則x+y=________.

【解析】因為點B,M,F三點共線,則存在實數(shù)t,使=(1-t)+t.又=2,=QUOTE,則=2(1-t)+QUOTE.因為點C,M,E三點共線,則2(1-t)+QUOTE=1,所以t=QUOTE.故x=QUOTE,y=QUOTE,x+y=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】若=t(t∈R),O為平面上隨意一點,則=________.(用,表示)

【解析】=t,-=t(-),=+t-t=(1-t)+t.答案:(1-t)+t四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,AE=QUOTEAD,=a,=b.(1)用a,b分別表示向量,;(2)求證:B,E,F三點共線.【解析】(1)因為=QUOTE(+)=QUOTE(a+b),所以=QUOTE=QUOTE(a+b),因為=QUOTE=QUOTEb,所以=-=-a+QUOTEb.(2)由(1)知=-a+QUOTEb,=+=+QUOTE=+QUOTE=-QUOTEa+QUOTEb=QUOTE,所以=QUOTE.所以與共線.又,有公共點B,所以B,E,F三點共線.10.如圖,點O是梯形ABCD對角線的交點,|AD|=4,|BC|=6,|AB|=2.設(shè)與同向的單位向量為a0,與同向的單位向量為b0.(1)用a0和b0表示,和;(2)若點P在梯形ABCD所在平面上運(yùn)動,且||=2,求||的最大值和最小值.【解析】(1)由題意知=6a0,=2b0,所以=-=6a0-2b0;因為∥,所以=4a0,則=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;因為AD∥BC,所以O(shè)A∶OC=AD∶BC=2∶3,則=-QUOTE=-QUOTE(6a0-2b0)=-QUOTEa0+QUOTEb0.(2)由題意知點P是在以點C為圓心,2為半徑的圓周上運(yùn)動,所以由幾何意義即得||的最大值和最小值分別應(yīng)當(dāng)為8和4.O是平面上肯定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿意=+λ,λ∈(0,+∞),則P點的軌跡所在直線肯定通過△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【解析】選C.設(shè)BC中點為點M,則=,則有=+λ,即=λ,所以P點的軌跡所在直線肯定通過△ABC