2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題強(qiáng)化練四立體幾何綜合問(wèn)題理含解析新人教A版

PAGE高考大題強(qiáng)化練(四)立體幾何綜合問(wèn)題1.如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1與平面A1BA所成的銳二面角(是指不超過(guò)90°的角)的余弦值.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則由題意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4),所以cos<,>==QUOTE=QUOTE,所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為QUOTE.(2)=(0,2,0)是平面ABA1的一個(gè)法向量,設(shè)平面ADC1的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),因?yàn)?(1,1,0),=(0,2,4),所以取z=1,得y=-2,x=2,所以平面ADC1的法向量為m=(2,-2,1),設(shè)平面ADC1與ABA1所成二面角為θ,所以cosθ=|cos<,m>|=QUOTE=QUOTE,所以平面ADC1與平面ABA1所成的銳二面角的余弦值為QUOTE.2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=QUOTE,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).(1)求cos<,>的值;(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE⊥平面PAC,并求出N到AB和AP的距離.【解析】(1)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=QUOTE,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(QUOTE,1,0),P(0,0,2),B(QUOTE,0,0),=(QUOTE,1,0),=(QUOTE,0,-2),所以cos<,>==QUOTE=QUOTE.(2)設(shè)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N(a,0,c),使NE⊥平面PAC,D(0,1,0),EQUOTE,=QUOTE,=(0,0,2),=(QUOTE,1,0),所以解得a=QUOTE,c=1,所以NQUOTE,所以N到AB的距離為1,N到AP的距離為QUOTE.3.設(shè)點(diǎn)E,F分別是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中點(diǎn).如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),射線CD,CB,CC1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系(1)求向量與的數(shù)量積;(2)若點(diǎn)M,N分別是線段D1E與線段C1F上的點(diǎn),問(wèn)是否存在直線MN,MN⊥平面ABCD?若存在,求點(diǎn)M,N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】(1)在給定的空間直角坐標(biāo)系中,相關(guān)點(diǎn)及向量坐標(biāo)分別為C1(0,0,2),F(2,2,1),=(2,2,-1),D1(2,0,2),E(1,2,0),=(-1,2,-2),所以·=-1×2+2×2+(-2)×(-1)=4.(2)存在唯始終線MN,MN⊥平面ABCD.若MN⊥平面ABCD,則與平面ABCD的法向量(0,0,1)平行,所以設(shè)M(a,a,m),N(a,a,n),=(0,0,n-m),n≠0,又因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是線段D1E與線段C1F所以∥,∥,即=λ,=t,(a-2,a,m-2)=(-λ,2λ,-2λ),(a,a,n-2)=(2t,2t,-t),所以QUOTE且QUOTE解得QUOTE所以點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別是MQUOTE,NQUOTE.【加練備選·拔高】在棱長(zhǎng)是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,A1C的中點(diǎn).(1)求EF的長(zhǎng);(2)證明:EF∥平面AA1D1D;(3)證明:EF⊥平面A1CD.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),因?yàn)镋,F分別為AB,A1C所以E(2,1,0),F(1,1,1),=(-1,0,1),所以||=QUOTE=QUOTE.(2)因?yàn)?(-2,0,2)=2,所以EF∥AD1,又AD1?平面AA1D1D,EF?平面AA1D1D,所以EF∥平面AA1D1D.(3)=(0,-2,0),=(-2,0,-2),因?yàn)椤?0,·=0,所以EF⊥CD,EF⊥A1D,又CD∩A1D=D,所以EF⊥平面A1CD.4.如圖1所示,在邊長(zhǎng)為12的正方形AA′A′1A1中,點(diǎn)B,C在線段AA′上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1A1′,AA1′于點(diǎn)B1,P,作CC1∥AA1,分別交A1A1′,AA1′于點(diǎn)C1,Q,將該正方形沿BB1,CC1折疊,使得A′A1′與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求證:AB⊥平面BCC1B1(2)求平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比(3)試推斷直線AQ是否與平面A1C1P平行,并說(shuō)明理由【解析】(1)因?yàn)锳B=3,BC=4,所以A′C=12-3-4=5,在三棱柱ABC-A1B1C1從而有AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC,又因?yàn)锳B⊥BB1,BC∩BB1=B,所以AB⊥平面BCC1B1.(2)因?yàn)锽P=AB=3,CQ=AC=7,所以S四邊形BCQP=QUOTE=QUOTE=20,所以VA-BCQP=QUOTES四邊形BCQP·AB=QUOTE×20×3=20.又因?yàn)镼UOTE=SABC·AA1=QUOTE×3×4×12=72,所以平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比為QUOTE=QUOTE=QUOTE.(3)直線AQ與平面A1C1理由如下:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA為x軸,BC為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,A(3,0