2021年新教材高中數(shù)學(xué)第9章統(tǒng)計 學(xué)案新人教A版必修第二冊

第九章統(tǒng)計

9.1隨機抽樣

9.1.1簡單隨機抽樣

［目標(biāo)］1.理解簡單隨機抽樣的概念；2.掌握常見的兩種簡單隨機抽樣的方法；3.能合理

地從實際問題的總體中抽取樣本.

［重點J掌握用簡單隨機抽樣方法（抽簽法和隨機數(shù)法）從總體中抽取樣本的方法和步

驟.

I難點］運用簡單隨機抽樣方法解決實際問題.

要點整合夯基礎(chǔ)

知識點一簡單隨機抽樣的概念

［填一填］

一般地，設(shè)一個總體含有MN為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取〃個個體作為

樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相笠，我們把這

樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣

本的各個個體被抽到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.放回

簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.

［答一答I

1.現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)對同一個總體用簡單隨機抽樣的方法抽樣，那么他們抽取的

樣本一定一樣嗎？

提示：這兩位同學(xué)抽出來的樣本不一定一樣.因為對于一次簡單隨機抽樣來說，抽出

來的樣本是確定的，而這兩位同學(xué)分別抽取時，各個個體是否入樣帶有隨機性，且個體間無

固定間距.

2.利用簡單隨機抽樣，從一個含有N個個體的總體中逐個不放回地抽取n個個體作

為樣本每個個體入樣的可能性是多少？

提示：簡單隨機抽樣每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，均為開

3.根據(jù)簡單隨機抽樣的定義，簡單隨機抽樣有哪些特征？

提示：簡單隨機抽樣的特征是：總體個數(shù)有限、逐個抽取、等可能.

知識點二簡單隨機抽樣的方法

［填一填］

1.抽簽法

一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體綢號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個

不透明的容器中，攪拌均勻后，從中不放回地逐個抽取號簽,連續(xù)抽取〃次，就得到一個容

量為〃的樣本.

2.隨機數(shù)法

利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣.

［答一答］

4.抽取一個號簽，記錄其編號后放入容器中，再次抽取記錄，連續(xù)n次后得到號簽

上的號碼對應(yīng)的個體，這些個體組成樣本，這種抽樣方法是抽簽法嗎？

提示：不是.因為抽簽法是逐個不放回抽取，目的是保證抽取的號簽不會重復(fù)，而這

里是將號簽記錄編號后又放回容器中，所以該抽樣方法不是抽簽法.

5.抽簽法的一般步驟是什么？

提示：(1)將總體中個體編號1?N.

(2)將所有編號1?N寫在形狀、大小相同的號簽上.

(3)將號簽放在一個不透明的容器中，攪拌均勻.

(4)從容器中不放回地逐個抽取號簽，并記錄其編號，連續(xù)抽取"次.

(5)從總體中將與抽取到的號簽的編號相一致的個體取出.

6.抽簽法與隨機數(shù)法有哪些相同點與不同點？

提示：相同點：①抽簽法和隨機數(shù)法都是簡單隨機抽樣的方法，并且要求被抽取樣本

的總體的個數(shù)有限；②抽簽法和隨機數(shù)法都是從總體中逐個地進行抽取，都是不放回抽樣.

不同點：①抽簽法相對于隨機數(shù)法簡單；②隨機數(shù)法更適用于總體中的個體數(shù)較多的

情況，而抽簽法適用于總體中的個體數(shù)相對較少的情況，所以當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，應(yīng)

當(dāng)選用隨機數(shù)法，這樣可以節(jié)約制作號簽的成本.

知識點三總體平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

［填一填］

1.一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為匕，“，…，YN，則稱了=

+--------1-V.,1a

《三方2匕為總體均值,又稱總體平均數(shù)?

2.一般地，對于力個X”及個X2,…，另個X”,共力+及+…+工,個數(shù)組成的一組數(shù)

據(jù)的平均數(shù)為“戌/+「手+…二E，］這個平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù),其中力關(guān)，…，工,叫做權(quán)，

這個“權(quán)”，含有權(quán)衡所占份量的輕重之意，即力(i=l,2,…，幻越大，表明國的個數(shù)越多,

“權(quán)”就越發(fā)

［答一答］

7.算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)有什么區(qū)別？

提示：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)概念是不一樣的，簡單的說，如果一組數(shù)

據(jù)是:70,90,

那么，它的算術(shù)平均數(shù)=(70+90)+2=80,而加權(quán)平均數(shù)則取決于各個數(shù)據(jù)的權(quán)(或

權(quán)重).當(dāng)70的權(quán)重是40%,90的權(quán)重是60%時，加權(quán)平均數(shù)=70X40%+90X60%=82;

當(dāng)70的權(quán)重是70%,90的權(quán)重是30%時，加權(quán)平均數(shù)=70X70%+90X30%=76;

當(dāng)70的權(quán)重是50%,90的權(quán)重是50%時，加權(quán)平均數(shù)=70X50%+90X50%=80.

由此可見，一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)只有一個，當(dāng)數(shù)據(jù)組中的每個數(shù)據(jù)確定后，算術(shù)平均

數(shù)也確定了.而一組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)可能有多個，它是根據(jù)各個數(shù)據(jù)的權(quán)重不同而發(fā)生變

化的，當(dāng)各個數(shù)據(jù)的權(quán)重一樣時，加權(quán)平均數(shù)等于算術(shù)平均數(shù).當(dāng)各個數(shù)據(jù)的權(quán)重不同時，

加權(quán)平均數(shù)不一定等于算術(shù)平均數(shù).

典例講練破題型

類型一簡單隨機抽樣的概念

［例11(1)關(guān)于簡單隨機抽樣，下列說法正確的是()

①它要求被抽取樣本的總體的個數(shù)有限；

②它是從總體中逐個地進行抽??；

③它包括不放回抽樣；

④它是一種等可能性抽樣，每次從總體中抽取一個個體時，不僅各個個體被抽取的可

能性相等，而且在整個抽樣過程中，各個個體被抽取的可能性也相等，從而保證了這種抽樣

方法的公平性.

A.①②B.③④

C.①②③D.①②③④

(2)下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是.

①從無數(shù)張高考試卷中抽取50張試卷作為樣本；

②從80臺筆記本電腦中一次性抽取6臺電腦進行質(zhì)量檢查；

③一福彩彩民買30選7彩票時，從裝有30個大小、形狀都相同的乒乓球的盒子(不透

明)中逐個無放回地摸出7個有標(biāo)號的乒乓球，作為購買彩票的號碼：

④用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗.

［分析］根據(jù)簡單隨機抽樣的概念及特征去判斷.

I解析］(1)由隨機抽樣的特征可知①②③④正確，故選D.

(2)①中樣本總體數(shù)目不確定，不是簡單隨機抽樣；②中樣本不是從總體中逐個抽取，

不是簡單隨機抽樣；③④符合簡單隨機抽樣的特點，是簡單隨機抽樣.

［答案I(1)D⑵③④

通法提煉

判斷一個抽樣是否是簡單隨機抽樣，一定要看它是否滿足簡單隨機抽樣的特點，這是

判斷的唯一標(biāo)準(zhǔn).

(1)簡單隨機抽樣的總體個數(shù)有限；

(2)簡單隨機抽樣的樣本是從總體中逐個抽??；

(3)簡單隨機抽樣包括放回和不放回兩種抽樣；

(4)簡單隨機抽樣的每個個體入樣機會均等.

［變式訓(xùn)練1］下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣嗎？為什么？

(1)從無數(shù)個個體中抽取50個個體作為樣本；

(2)質(zhì)量監(jiān)督部門從180種兒童玩具中選出18種玩具進行質(zhì)量檢驗，在抽樣操作過程

中，從中任取一種玩具檢驗后再放回；

(3)國家跳水隊挑出最優(yōu)秀的10名跳水隊員，備戰(zhàn)2016年里約熱內(nèi)盧奧運會；

(4)一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號

簽.

解：(1)不是簡單隨機抽樣，因為簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本總體的個數(shù)是有限的.

(2)是簡單隨機抽樣，因為簡單隨機抽樣包括放回地抽取樣本.

(3)不是簡單隨機抽樣，因為這10名跳水隊員是挑選出來的最優(yōu)秀的，每個個體被抽

到的可能性不同，不符合簡單隨機抽樣中”等可能抽樣”的要求.

(4)是簡單隨機抽樣，因為總體中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進行抽取的，

是不放回、等可能的抽樣.

類型二簡單隨機抽樣的應(yīng)用

命題視角1：抽簽法的應(yīng)用

［例2］某班40名同學(xué)，隨機抽取10名同學(xué)參加某項活動，請寫出采用抽簽法抽取

的過程.

［分析］根據(jù)抽簽法的一般步臊來寫.

［解］第一步，對這40個學(xué)生進行編號，編號分別為1,2,…，40.

第二步，將號碼寫在形狀、大小相同的號簽上.

第三步，將號簽放在一個不透明的箱中，并攪拌均勻.

第四步，從箱中不放回地逐個抽取號簽，連續(xù)抽取10次.

第五步，將與號簽上的號碼對應(yīng)的同學(xué)選出即得樣本.

通法提煉

一個抽樣能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點：一是制簽是否方便，二是號簽是否容易被攪勻.

在適用此法時，一定要注意“放入不透明容器，并充分攪勻

［變式訓(xùn)練2］要從某汽車廠生產(chǎn)的30輛汽車中隨機抽取3輛進行測試，請選擇合適

的抽樣方法，并寫出抽樣過程.

解：應(yīng)使用抽簽法，步驟如下：

①將30輛汽車編號，號碼是1,2,3,…，30:

②將1?30這30個編號寫在大小、形狀都相同的號簽上；

③將寫好的號簽放入一個不透明的容器中，并攪拌均勻；

④從容器中不放回地逐個抽取號簽，連續(xù)抽取3次，并記錄上面的編號；

⑤所得號碼對應(yīng)的3輛汽車就是要抽取的對象.

命題視角2：隨機數(shù)表法的應(yīng)用

［例3］某學(xué)校高二年級有500名學(xué)生，考試后為詳細分析教學(xué)中存在的問題，計劃

抽取一個容量為20的樣本，使用隨機數(shù)法進行抽取，要取三位數(shù)，寫出抽取過程.（寫出具

體方法即可）

［分析］已知N=500,n=20,用隨機數(shù)表法抽樣時編號001,002,…，500,抽取20

個編號（都是三位數(shù)），對應(yīng)的學(xué)生組成樣本.

［解］第一步：給500名學(xué)生編號：001,002,003,…，500;

第二步：從隨機數(shù)表的第13行第7列（任意選取的）開始向右連續(xù)讀取數(shù)字，以3個數(shù)

為一組，碰到右邊線時向下錯一行由左向右繼續(xù)讀取.在讀取時，遇到大于500或重復(fù)前數(shù)

時，將它舍棄，再繼續(xù)向下取，直到取滿20個小于或等于500的數(shù)為止，說明20個樣本號

碼已取滿；

第三步：以上這20個號碼所對應(yīng)的20名學(xué)生就是要抽取的對象.

通法提煉

1.在利用隨機數(shù)表法抽樣的過程中應(yīng)注意：

（1）編號要求位數(shù)相同；

（2）第一個數(shù)字的抽取是隨機的；

（3）讀數(shù)的方向是任意的，且要事先定好.

2.隨機數(shù)表法的特點：

優(yōu)點：簡單易行.它很好地解決了當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時用抽簽法制簽難的問題.

缺點：當(dāng)總體中的個體數(shù)很多，需要的樣本量也很大時，用隨機數(shù)表法抽取樣本容易

重號.

|變式訓(xùn)練3］總體由編號為01,02,…，19,20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)

表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選

取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（D）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

解析：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小

于20的編號依次為08,02,14,07,02,01.其中第二個和第四個都是02,重復(fù).可知對應(yīng)的數(shù)值

為08,02,14,07,01,則第5個個體的編號為01.

類型三總體平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

［例4］某班進行個人投籃比賽，受污損的下表記錄了在規(guī)定時間內(nèi)投入n個球的人

數(shù)分布情況，同時，已知進球3個或3個以上的人平均每人投進3.5個球，進球4個或4個

以下的人平均每人投進2.5個球，問投進3個球和4個球的各有多少人？

進球數(shù)n012345

投進n個球的人數(shù)1272

一

［分析］根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義進行列式計算即可.

［解］設(shè)投進3個球的人數(shù)為投進4個球的人數(shù)為6,

3Xa+4X6+5X2

根據(jù)已知有,----------------=35

a+b+2"

0X1+1X2+2X7+3X(z+4Xfe

=2.5,

1+2+7+a+6

f0.5“-0.56=3,。=9,

即解得-

@5“+1.56=9,b=3.

故進3個球的有9人，進4個球的有3人.

通法提煉

這類題目通常屬簡單題，一般解題模式是:

(1)根據(jù)題干條件結(jié)合公式列出方程；

(2)解方程或方程組.

［變式訓(xùn)練4］小林在八年級第一學(xué)期的數(shù)學(xué)書面測驗成績分別為：平時考試第一單

元得84分，第二單元得76分，第三單元得92分；期中考試得82分；期末考試得90分，

如果按照平時、期中、期末的權(quán)重分別為10%、30%、60%計算，那么小林該學(xué)期數(shù)學(xué)書面

測驗的總平均成績應(yīng)為多少分？

解：x(平時單元測試平均成績)=空士等%=84(分).

84X10%+82*30%+90)<60%

所以總平均成績?yōu)?87(分).

10%+30%+60%

所以小林該學(xué)期數(shù)學(xué)書面測驗的總平均成績應(yīng)為87分.

課堂達標(biāo)練經(jīng)典

1.為了了解一批零件的長度，抽測了其中200個零件的長度，在這個問題中，200個

零件的長度是（C）

A.總體B.個體

C.總體的一個樣本D.樣本量

解析：200個零件的長度從總體中抽出的個體所組成的集合，是總體的一個樣本，故

選C.

2.用簡單隨機抽樣方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中

某一個體。“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分別是（A）

C5,ToDw'To

解析：根據(jù)簡單隨機抽樣的定義知選A.

3.為了了解參加運動會的2000名運動員的年齡情況，從中抽取20名運動員的年齡

進行統(tǒng)計分析.就這個問題，下列說法中正確的有④⑤⑥.

①2000名運動員是總體；

②每個運動員是個體；

③所抽取的20名運動員是一個樣本；

④樣本量為20；

⑤這個抽樣方法可采用隨機數(shù)表法抽樣；

⑥每個運動員被抽到的機會相等.

解析：①2000名運動員不是總體，2000名運動員的年齡才是總體；②每個運動員的

年齡是個體；③20名運動員的年齡是一個樣本.

4.天津某大學(xué)為了支持東亞運動會，從報名的60名大三學(xué)生中選10人組成志愿小

組，請用抽簽法和隨機數(shù)法設(shè)計抽樣方案.

解：抽簽法：

第一步：將60名大學(xué)生編號，編號為1,2,3,…，60;

第二步：將60個號碼分別寫在60張外形完全相同的紙條上，并揉成團，制成號簽；

第三步：將60個號簽放入一個不透明的盒子中，充分攪勻；

第四步：從盒子中不放回地逐個抽取10個號簽，并記錄上面的編號；

第五步：所得號碼對應(yīng)的學(xué)生，就是志愿小組的成員.

隨機數(shù)法：

第一步：將60名學(xué)生編號，編號為01,02,03,…,60：

第二步：在隨機數(shù)表中任選一數(shù)開始，按某一確定方向讀數(shù)；

第三步：凡不在01?60中的數(shù)或已讀過的數(shù)，都跳過去不作記錄，依次記錄下10個

得數(shù);

第四步：找出號碼與記錄的數(shù)相同的學(xué)生組成志愿小組.

二■

?課堂小結(jié)

本課須掌握的三大問題

1.簡單隨機抽樣是一種簡單、基本的抽樣方法，常用的簡單隨機抽樣方法有抽簽法

和隨機數(shù)法.

2.抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當(dāng)總體的容量大時，費時、費力，并且標(biāo)號的

簽不易攪拌均勻，這樣會導(dǎo)致抽樣不公平；隨機數(shù)法的優(yōu)點也是簡單易行，缺點是當(dāng)總體容

量大時，編號不方便.兩種方法只適合總體容量較少的抽樣類型.

3.簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為但要將每個個體入樣的可能

性與第n次抽取時每個個體入樣的可能性區(qū)分開，避免在解題中出現(xiàn)錯誤.

9.1.2分層隨機抽樣

9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑

［目標(biāo)］1.理解并掌握分層隨機抽樣，會用分層隨機抽樣從總體中抽取樣本；2.記住分

層隨機抽樣的特點和步驟；3.利用分層隨機抽樣的方法解決實際問題；4.了解獲取數(shù)據(jù)的途

徑，并學(xué)會簡單應(yīng)用.

［重點］用分層隨機抽樣抽取樣本.

［難點］抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別以及抽樣方法的選擇.

要點整合夯基礎(chǔ)

知識點一分層隨機抽樣的概念

［填一填］

1.定義

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個

子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起

作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.

2.適用范圍

當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往采用分層隨機抽樣.

3.比例分配

在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配

方式為比例分配.

［答一答］

1.分層隨機抽樣適合于什么樣的總體？分層隨機抽樣有什么特點？

提示：當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時，用分層隨機抽樣.分層隨機抽樣仍具有

逐個抽取、等可能性等特點.

2.分層隨機抽樣有什么優(yōu)點？

提示：分層隨機抽樣使樣本具有較強的代表性，而且在每個層中進行抽樣時，又可靈

活地采用簡單隨機抽樣或其他抽樣方法.

知識點二分層隨機抽樣的步驟

［填一填］

1.根據(jù)已掌握的信息，將總體分成若干部分.

2.根據(jù)總體中的個體數(shù)N和樣本量n計算出抽樣比k=~.

----ZY

3.根據(jù)抽樣比k計算出各層中應(yīng)抽取的個體數(shù)：?反（其中M為第，?層所包含的個體

總數(shù)）.

4.按步驟3所確定的數(shù)在各層中隨機抽取個體，并合在一起得到容量為n的樣本.

［答一答］

3.分層隨機抽樣公平嗎？

提示：公平.因為分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)、分

層無關(guān).

4.某全日制大學(xué)共有學(xué)生5600人，其中專科生有1300人，本科生有3000人，研

究生有1300人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法調(diào)查學(xué)生利用因特網(wǎng)查找學(xué)習(xí)資料的情況，抽

取的樣本量為280,則應(yīng)在?？粕⒈究粕c研究生這三類學(xué)生中分別抽取於人，150人,

9人.

提示：抽樣比是篇=玄，則應(yīng)在?？粕⒈究粕c研究生這三類學(xué)生中分別抽取1

300X*=65(人)，3000*==150(人)，1300X==65(人).

典例講練破題型

類型一分層隨機抽樣的概念

［例1］(1)下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()

A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會

B.一次數(shù)學(xué)競賽中，某班有10人在110分以上，40人在90?100分，12人低于90

分，現(xiàn)從中抽取12人了解有關(guān)情況

C.從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時間

D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量

(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個

個體構(gòu)成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進行()

A.每層等可能抽樣

B.每層可以不等可能抽樣

C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣

D.所有層抽取的個體數(shù)量相同

［分析］當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時，該樣本的抽取適合用分層隨機抽樣，結(jié)

合題中的四個選項及分層隨機抽樣的特點可對(1)(2)作出判斷.

I解析］(1)A中總體個體無明顯差異且個數(shù)較少，不適合用分層隨機抽樣；C和D中

總體個體無明顯差異且個數(shù)較多，不適合用分層隨機抽樣；B中總體個體差異明顯，適合用

分層隨機抽樣.

(2)保證每個個體等可能地被抽取是簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣的共同特征，為了保

證這一點，分層隨機抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取.

［答案］(1)B(2)C

通法提煉

1.使用分層隨機抽樣的前提：，分層隨機抽樣的適用前提條件是總體可以分層、層與層

之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小.

2.使用分層隨機抽樣應(yīng)遵循的原則：

(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不

重復(fù)、不遺漏的原則；

(2)分層隨機抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每

層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比.

［變式訓(xùn)練1］某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余

愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，則宜采用的抽樣方

法是(C)

A.抽簽法B.隨機數(shù)法

C.分層隨機抽樣法D.任何抽樣法都可以

解析：由于被抽取的個體屬性有明顯的差異，因此宜采用分層隨機抽樣法.

類型二分層隨機抽樣的設(shè)計

［例2］某政府機關(guān)有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人,

工人20人，上級機關(guān)為了了解政府機構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試

確定用何種方法抽取，請具體實施操作.

［分析］］觀察特征|一|確定抽樣方瀏一|求出比例|一|確定各層樣正藪

f從各層中抽樣f成樣

［解］因機構(gòu)改革關(guān)系到每個人的不同利益，故采用分層隨機抽樣方法較妥.

..201.10.7020

,1005'?"5"’514,55

從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人.

因副處級以上干部與工人數(shù)都較少，將他們分別按1?10和1?20編號，然后采用抽

簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人采用00,01,…，69編號，然后用隨機數(shù)法抽

取14人.這樣便得到了一個容量為20的樣本.

通法提煉

分層隨機抽樣的特點

(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況.

(2)更充分體現(xiàn)和反映了總體的情況.

(3)等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都相等.

［變式訓(xùn)練2］某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別是1200輛，6000輛和2000

輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號

的轎車依次應(yīng)抽取的數(shù)量為(B)

A.15,15,16

B.6,30,10

C.10,13,23

D.12,16,18

461

解析：三種型號的轎車共9200輛，抽取樣本為46輛，則按m5=礪的比例抽樣，

所以依次應(yīng)抽取1200X焉;=6（輛），6000X^=30（輛），2000X^=10（^）.

ZUUZUUZUU

課堂達標(biāo)練經(jīng)典

1.下列實驗中最適合用分層隨機抽樣法抽樣的是（D）

A.從一箱3000個零件中抽取5個入樣

B.從一箱3000個零件中抽取600個入樣

C.從一箱30個零件中抽取5個入樣

D.從甲廠生產(chǎn)的100個零件和乙廠生產(chǎn)的200個零件中抽取6個入樣

解析：D中總體有明顯差異，故用分層隨機抽樣.

2.當(dāng)前，國家正分批修建經(jīng)濟適用房以解決低收入家庭住房緊張的問題.已知甲、

乙、丙三個社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶，270戶，180戶，若第一批經(jīng)濟適用房中有90

套住房用于解決這三個社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問題，先采用分層隨機抽樣的方法決

定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（A）

A.40B.30

C.20D.36

解析：抽樣比為"2燃工即=J,則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為360x1

3OU?Z/Ui1oUVV

=40,故選A.

3.一批燈泡400只，其中20W、40W、60W的數(shù)目之比是431,現(xiàn)用分層隨

機抽樣的方法產(chǎn)生一個容量為40的樣本，三種燈泡依次抽取的個數(shù)為（A）

A.20,15,5B.4,3,1

C.16,12,4D.8,6,2

431

解析：三種燈泡依次抽取的個數(shù)為40X7r=20,40X^=15,40X?=5.&iiA.

ooo

4.一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，

具有初級職稱的200人，其余人員120人，為了解職工收入情況，決定采用分層隨機抽樣的

方法，從中抽取容量為40的樣本，則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（D）

A.12,24,15,9B.9,12,12,7

C.8,15,12,5D.8,16,10,6

解析：抽樣比例為卷故各層中依次抽取的人數(shù)為I60X4=8（人），320X^r=

oUUzuzuzu

16（人），200X表=10（人），120X*=6（人）.故選D.

5.一家電腦生產(chǎn)廠家在某城市三個經(jīng)銷本廠產(chǎn)品的大商場調(diào)查，產(chǎn)品的銷量占這三

個大商場同類產(chǎn)品銷量的40%.由此在廣告中宣傳，他們的產(chǎn)品在國內(nèi)同類產(chǎn)品的銷售量占

40%.請你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該宣傳中的數(shù)據(jù)是否可靠：不可靠，理由是第一，所

取樣本量太??；第二，樣本抽取缺乏代表性和廣泛性.

解析：這是一道判斷說理型題，它要求借助于統(tǒng)計知識，作出科學(xué)的判斷，同時運

用統(tǒng)計原理給予準(zhǔn)確的解釋.因此，該電腦生產(chǎn)廠家憑借挑選某城市經(jīng)銷本產(chǎn)品情況，斷然

說他們的產(chǎn)品在國內(nèi)同類產(chǎn)品的銷量占40%,宣傳中的數(shù)據(jù)是不可靠的，其理由有二：第

一，所取樣本量太?。坏诙?，樣本抽取缺乏代表性和廣泛性.

."課堂小結(jié)

——本課須掌握的三大問題

1.用分層隨機抽樣從個體為N的總體中抽取一個容量為n的樣本時，在整個抽樣過

程中每個個體被抽到的機會相等.

2.分層隨機抽樣是建立在簡單隨機抽樣基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了已知信息，考

慮了保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，因此它獲得的樣本更具代表性,在實用中更為廣泛.

3.簡單隨機抽樣是基礎(chǔ)，分層隨機抽樣是補充和發(fā)展，二者相輔相成，對立統(tǒng)一.

9.2用樣本估計總體

9.2.1總體取值規(guī)律的估計

［目標(biāo)］1.學(xué)會用頻率分布直方圖表示樣本數(shù)據(jù)；2.能通過頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)做出

總體統(tǒng)計.

［重點］頻率分布直方圖的畫法.

［難點］頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)總體的估計.

要點整合夯基礎(chǔ)

知識點頻率分布直方圖

【填一填1

1.頻率分布直方圖的繪制

(1)求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差.

(2)決定組距與組數(shù).組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn),一般來說，數(shù)據(jù)分組的組數(shù)

與數(shù)據(jù)的個數(shù)有關(guān)，數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)越軍，當(dāng)樣本量不超過100時，常分為左

12_組.

(3)將數(shù)據(jù)分組.

（4）列頻率分布表,計算各小組的頻率，作出頻率分布表.

（5）畫頻率分布直方圖.其中橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比.

2.頻率分布直方圖的意義

頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻莖，各小長方形的面積的總

和等于1.

［答一答I

1.如何確定組距？

提示：組距的選擇應(yīng)力求“取整”，如果極差不利于分組（如不能被組數(shù)整除），可適

當(dāng)增大極差，如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍（盡量使兩端增加的量相同）.

2.頻率分布直方圖中長方形的面積有什么含義？

頻率

提示：在頻率分布直方圖中，由于長方形的面積5=組距X妥=頻率，所以各個小長

方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各

個小組上的頻率的大小.

典例講練破題型

類型一頻率分布概念的理解

［例IJ一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下:

組別[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60J0]

頻數(shù)1213241516137

則樣本數(shù)據(jù)落在［10,40）上的頻率為（）

A.0.13B.0.39

C.0.52D.0.64

［分析］根據(jù)落在各組的頻數(shù)即可計算相應(yīng)的頻率.

52

［解析］由題意可知頻數(shù)在［10,40）的有13+24+15=52（個），所以頻率為而=0.52.

［答案IC

［變式訓(xùn)練1］容量為100的某個樣本，數(shù)據(jù)拆分為10組，并填寫頻率分布表，若前

七組頻率之和為0.79,而剩下的三組的頻率從小到大依次相差0.05,則剩下的三組中頻率最

大的一組頻率為0J2.

解析：設(shè)剩下的三組中頻率最大的一組的頻率為x,則另兩組的頻率分別為X—0.05,

x-0.1,而由頻率和為1得0.79+（x-0.05）+（x-0.1）+x=l,解得x=0.12.

類型二頻率分布直方圖的繪制

［例2J為了解中學(xué)生的身高情況，對某中學(xué)同齡的50名男生的身高進行了測量，結(jié)

果如下(單位：cm)：

175168170176167181162173171177

171171174173174175177166163160

166166163169174165175165170158

174172166172167172175161173167

170172165157172173166177169181

(1)列出頻率分布表；

(2)繪制頻率分布直方圖.

［解］極差為181-157=24,將樣本數(shù)據(jù)分成7組，組距為4.

(1)列頻率分布表如下.

分組頻數(shù)頻率

[156.5,160.5)30.06

[160.5,164.5)40.08

[164.5,168.5)120.24

[168.5,172.5)130.26

[172.5,176.5)130.26

[176.5,180.5)30.06

[180.5,184.5)20.04

合計501

(2)繪制頻率分布直方圖如圖.

須

率

組

距

S

S07

606

S05

04

OS.03

02

O.01

音》/白北26/覿3身高/cm

通法提煉

繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的問題

(1)在列出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小長方形的高.一般地，

頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長度是不一致的，合理的定高方法是“找一個恰當(dāng)?shù)膯?/p>

頻率

位長度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“金”來定高.如果我們預(yù)先定以“I-----1”

為1個單位長度，代表“0.1”，則若一個組的頻率箭為0.2,則該小矩形的高就是

“I------1------1”(占兩個單位長度)，依此類推.

(2)在頻率分布直方圖中，各個小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與

頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本量，頻率之和為1.

[變式訓(xùn)練2]一個農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長的分布情況，在一塊試驗田里抽

取了100株麥穗，量得長度如下(單位：cm)：

6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.6

5.85.56.06.55.16.55.35.95.55.8

6.25.45.05.06.86.05.05.76.05.5

6.86.06.35.55.06.35.26.07.06.4

6.45.85.95.76.86.66.06.45.77.4

6.05.46.56.06.85.86.36.06.35.6

5.36.45.76.76.25.66.06.76.76.0

5.66.26.15.36.26.86.64.75.75.7

5.85.37.06.06.05.95.46.05.26.0

6.35.76.86.14.55.66.36.05.86.3

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，繪制出頻率分布直方圖，并估計在這塊試驗田里長

度在5.75?6.35cm之間的麥穗所占的百分比.

解：(1)計算極差：7.4—4.0=34

(2)決定組距與組數(shù)：

34

若取組距為0.3,因為^需分為12組，組數(shù)合適，所以取組距為0.3,組數(shù)

為12.

(3)決定分點：

使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第1小組的起點稍微減4、一點，那么所分的12個

小組可以是3.95?4.25,4.25?4.55,4.55?4.85,…，7.25?7.55.

(4)列頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[3.95,4.25)10.01

(4.25,4.55)10.01

[4.55,4.85)20.02

[4.85,5.15)50.05

[5.15,5.45)110.11

(5.45,5.75)150.15

[5.75,6.05)280.28

[6.05,6.35)130.13

[6.35,6.65)110.11

[6.65,6.95)100.10

[6.95,7.25)20.02

[7.25,7.55]10.01

合計1001.00

(5)繪制頻率分布直方圖如圖:

從表中看到，樣本數(shù)據(jù)落在5.75?6.35之間的頻率是0.28+0.13=0.41,于是可以估

計，在這塊試驗田里長度在5.75?6.35cm之間的麥穗約占41%.

類型三頻率分布直方圖的應(yīng)用

［例3］從某校隨機抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)

據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下:

(1)求頻率分布直方圖中的“，人的值；

(2)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學(xué)生

該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組(只需寫出結(jié)論).

［分析］由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時，需掌握下列關(guān)系式：

(1)噂費X組距=頻率.

（2）痛/至=頻率，此關(guān)系式的變形為亦=樣本量，樣本量X頻率=頻數(shù).

［解］（1）課外閱讀時間落在［4,6）組內(nèi)的有17人，頻率為0.17,所以“=源年=行廣=

0.085.課外閱讀時間落在［8,10）組內(nèi)的有25人，頻率為0.25,所以6=77===b=0.125.

（2）樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組.

通法提煉

在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)

成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本量，頻率之和等于L

［變式訓(xùn)練3］為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳

繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖所示），圖中從左到右各小矩形

的面積之比為24171593,第二小組的頻數(shù)為12.

0.040

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004

0

（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？

（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達標(biāo)率約是多少？

解：（1）頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此

4

第二小組的頻率為2+4+17+15+9+3=0°&

第二小組的頻數(shù)

因為第二小組的頻率=~~樣本量

第二小組的頻數(shù)__12

所以樣本量=,第二小組的頻率=兩

17+15+9+3

（2）由題中直方圖可估計該校全體高一年級學(xué)生的達標(biāo)率約為立二

，十4十1/I1J-ryrJ

XI00%=88%.

課堂達標(biāo)練經(jīng)典

1,從一堆蘋果中任取10個，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）：

125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,則樣本數(shù)據(jù)落在［114.5,124.5）內(nèi)的頻率為（C）

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.5

解析：在125,120,122,105,130,114,116,95,120,134這10個數(shù)字中，落在［114.5,124.5）

內(nèi)的有116,120,120,122,共4個，，樣本數(shù)據(jù)在［114.5,124.5）內(nèi)的頻率為0.4.故選C.

2.從一群學(xué)生中抽取一個一定容量的樣本對他們的學(xué)習(xí)成績進行分析，已知不超過

70分的人數(shù)為8,其累計頻率為0.4,則這個樣本量是（A）

A.20B.40

C.70D.80

Q

解析：由已知不超過70分的人數(shù)為8,累計頻率為0.4,則這個樣本量”=詬=20.故

選A.

3.如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本

落在［15,20］內(nèi)的頻數(shù)為（B）