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文檔簡介
2021中考臨考專題訓練:相似三角形及其應用
一、選擇題
1.如圖,在△ABC中,點、D,E分別在邊AB,AC上,DE〃BC.若BD=2AD,
則()
A也」B隹」
AB20-EC2
2.下列命題是真命題的是()
A.如果兩個三角形相似,相似比為4;9,那么這兩個三角形的周長比為273
B.如果兩個三角形相似,相似比為4;9,那么這兩個三角形的周長比為4;9
C.如果兩個三角形相似,相似比為4;9,那么這兩個三角形的面積比為2;3
D.如果兩個三角形相似,相似比為4;9,那么這兩個三角形的面積比為4;9
Ap2
3.(2020?永州)如圖,在□A3c中,EF//BC,——=一,四邊形BCTE的面積
EB3
為21,則□ABC的面積是()
C.35D.63
4.(2020?重慶A卷)如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的頂點坐標分別是A
(1,2),B(1,1),C(3,1),以原點為位似中心,在原點的同側畫△OEF使
△OEF與△ABC成位似圖形,且相似比為2:1,則線段OF的長度為()
A.75B.2C.4D.2行
5.(2019?重慶)下列命題是真命題的是
A.如果兩個三角形相似,相似比為4:9,那么這兩個三角形的周長比為2:3
B.如果兩個三角形相似,相似比為4:9,那么這兩個三角形的周長比為4:9
C.如果兩個三角形相似,相似比為4:9,那么這兩個三角形的面積比為2:3
D.如果兩個三角形相似,相似比為4:9,那么這兩個三角形的面積比為4:9
6.(2019?貴港)如圖,在△ABC中,點E分別在AB,AC邊上,DE//BC,
ZACD^ZB,若AD=28D,BC=6,則線段CO的長為
A.2>/3B.3V2
C.276D.5
7.(2020.嘉興)如圖,在直角坐標系中,△048的頂點為0(0,0),A(4,3),
B(3,0).以點。為位似中心,在第三象限內作與△OAB的位似比為』的位似圖
3
形△OC0,則點C坐標為()
AA
A.(-1,-1)B.(--,-1)C.(-1,--)D.(-
33
2,-1)
8.如圖,在放AABC中,ZC=90°,NCAB的平分線交BC于D,DE是AB
的垂直平分線,垂足為E.若BC=3,則DE的長為()
A.1B.2C.3D4
BC
/)
二、填空題
9.如圖,在△ABC中,ZACD=ZB,若AO=2,BD=3,則AC長為.
10.在某一時刻,測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m,同時同地測得一棟樓
的影長為90m,則這棟樓的高度為m.
11.(2019?大慶)如圖,在4ABC中,D、E分別是BC,AC的中點,AD與BE
相交于點G,若DG=1,則AD=.
12.如圖,在口ABC。中,過對角線BD上一點P作EF//BC,GH//AB,且CG=2BG,
SABPG=1,則S.AEPH=.
AHD
BGC
13.(2020?南通)如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,AABC
和△。所的頂點都在網(wǎng)格線的交點上,設△ABC的周長為Ci,△DEE的周長為
C2,則G的值等于▲.
14.(2020.杭州)如圖是一張矩形紙片,點E在45邊上,把△3CE沿直線CE對折,
使點3落在對角線AC上的點F處,連接?!耆酎c、E,F,。在同一條直線上,AE=2,
則。尸=,BE=.
D
15.(2019?遼陽)如圖,平面直角坐標系中,矩形ABOC的邊80,CO分別在x軸,
了軸上,A點的坐標為(-8,6),點p在矩形ABOC的內部,點E在3。邊上,滿
足APBEsACBO,當△4PC是等腰三角形時,P點坐標為.
16.(2020湖州)在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中,每個小正方形的頂
點稱為格點,頂點都是格點的三角形稱為格點三角形.如圖,已知R/4A8C是6
X6網(wǎng)格圖形中的格點三角形,則該圖中所有與RrAABC相似的格點三角形
中.面積最大的三角形的斜邊長是—.
三、解答題
17.(2019?張家界)如圖,在平行四邊形A3CO中,連接對角線AC,延長AB至點
E,使連接OE,分別交8C,AC交于點尸,G.
⑴求證:BF=CF;
(2)若BC=6,DG=4,求/G的長.
"--------yrD
G
B
E
18.如圖,AB是。。的直徑,點C為前的中點,CT為。。的弦,且CFLA3,
垂足為E,連接8。交CF于點G,連接。,AD,BF.
(1)求證:△BFG學ACDG;
(2)若AO=BE=2,求BQ的長.
19.如圖,00是△ABC的外接圓,AB是直徑,。是AC中點,直線0。與。。
相交于E,尸兩點,P是。。外一點,且P在直線0。上,連接B4,PC,AF,
滿足NPCA=NABC.
(1)求證:用是。。的切線;
⑵證明:E/=40〃0P;
⑶若8C=8,tanZAFP=~,求OE的長.
3
20.(2019?上海)如圖1,A。、83分別是△A8C的內角NR4C、NABC的平分
線,過點A作AELAD交3。的延長線于點£
圖1圖2
(1)求證:N-iZC;
2
(2)如圖2,如果AE=AB,且BD:DE=2:3,求cos/ABC的值;
(3)如果NA8C是銳角,且△A8C與△ADE相似,求NABC的度數(shù),并直接
寫出上班的值.
SABC
21.在矩形ABC。中,AD=4,M是AO的中點,點E是線段A8上一點,連接
EM并延長交線段CD的延長線于點F.
(1)如圖①,求證:△4而且△OQW;
(2)如圖②,若48=2,過點M作MGLEE交線段8C于點G,求證:AGEF是
等腰直角三角形;
(3)如圖③,若AB=24,過點M作MGVEF交線段BC的延長線于點G,若
MG=nME,求n的值.
22.如圖,A8是。。的直徑,點E為線段03上一點(不與0、3重合),作ECLOB
交。。于點C,作直徑C。過點。的切線交DB的延長線于點P,作AFJ_PC于
點、F,連接
⑴求證:AC平分NE4&
(2)求證:BC=CECP;
(3)當48=4/且各=%寸,求劣弧俄)的長度.
23.如圖,已知△ABCSAAIBICI,相似比為網(wǎng)攵>1),且AABC的三邊長分別
為a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三邊長分別為ai、bi、c\.
⑴若c=ai,求證:a=kc;
⑵若c=m,試給出符合條件的一對4ABC和△A1B1C1,使得。、。、c和⑶、歷、
a都是正整數(shù),并加以說明;
(3)若c=b\,是否存在△ABC和△AFiCi使得攵=2?請說明理由.
24.如圖,已知一個直角三角形紙片ACB,其中NACB=90°,AC=4,BC=3,
E、廠分別是AC、AB邊上的點,連接EE
(1)如圖①,若將紙片AC3的一角沿EE折疊,折疊后點A落在45邊上的點。
處,且使S四邊彩ECBF=3SAEDF,求AE的長;
(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在BC邊上的點M
處,且使M尸〃C4.
①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結論;
②求EF的長.
2021中考臨考專題訓練:相似三角形及其應用
-答案
一、選擇題
ADAE
1.【答案】B【解析】;DE〃BC,.?.△ADEs^ABC,?.?BD=2AD,.?.,=行
ADAC
1.AE1+3生
=§,.?gc=2,故選區(qū)D
2.【答案】B
3.【答案】B
【詳解】解:YE尸〃5c
:.ZAEF=/B,ZAFE=/C
:.UAEF^CABC
...AE=—2
EB3
.AE_2
**7B-5
.SAEB_4
S四邊形6CFE21
?*S四邊形8CFE=21
??SAEB=4
??SABC=25
故選:B.
4.【答案】D
【解析】VA(1,2),B(1,1),C(3,1),/.AB=1,BC=2,AC=6.丁ADEF與
△ABC成位似圖形,且相似比為2,...DF=2AB=2.
5.【答案】B
【解析】A、如果兩個三角形相似,相似比為4:9,那么這兩個三角形的周長比
為4:9,是假命題;
B、如果兩個三角形相似,相彳以比為4:9,那么這兩個三角形的周長比為4:9,
是真命題;
C、如果兩個三角形相似,相似比為4:9,那么這兩個三角形的面積比為16:81,
是假命題;
D、如果兩個三角形相似,相似比為4:9,那么這兩個三角形的面積比為16:81,
是假命題,
故選B.
6.【答案】C
【解析】設4O=2x,BD=x,:.AB=3x,
VDE//BC,:.^ADE^^ABC,
.DEADAE.DE_2x
,?詬一花一就,"~r~3x'
.AE2
??DE=4,——=—>
AC3
■:ZACD=ZB,ZADE=ZB,:.ZADE=ZACD,
VZA=ZA,/.AADE^AACD,
.ADAEDE
''~AC~~AD~~CD'
,幾47r“Q.AD-2y
設AE1=2y,AC=3y,..
3yAD
r-2y4「
/.AD=sJ6y,:.CD=2展,
故選C.
7.【答案】B
【解析】本題考查了在坐標系中,位似圖形點的坐標.在平面直角坐標系中,如
果以原點為位似中心,畫出一個與原圖形位似的圖形,使它與原圖形的相似比為
k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或Jkx,
i4
-ky).由A(4,3),位似比攵=§,可得C(-§,-1)因此本題選B.
8.【答案】A【解析】':AD是N3AC的平分線,AC±BC,AE1DE,:.DC=
DE,AE=AC.又?.?OE是A3的垂直平分線,:.BE^AE,即AB=2AE=2AC,二
Y1
設則在中,丁一,解得:
N8=30°.80=3—x.RtZXBOE3—x=72x=l,.DE
的長為L
二、填空題_
9.【答案】同[Wt/f]VZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,:.AACD^>/\ABC,
R||
???A■—C_—A—D—,曰.A.C.._2,
ABAC2+3AC
,4。=舊或AC=國舍去).
10.【答案】54
11.【答案】3
【解析】VD.E分別是BC,AC的中點,
...點G為AABC的重心,,AG=2DG=2,
,AD=AG+DG=2+1=3.故答案為:3.
12.【答案】4[解析]由“平行四邊形的對角線把平行四邊形分成兩個全等的三角
形”可推出的面積等于口PGCF的面積.
?:CG=2BG,:.BG:BC=\;3,BG:PF=\:2.
?:4BPGS/\BDC,且相似比為1..3,
/.5ABDC=9SABPG=9.
?:kBPGsAPDF,且相似比為1;2,
??SAPDF=4S&BPG=4.
??SSEPH=S”PGCF=9-1-4=4.
13.【答案】—
2
【解析】由圖形易證AABC與4DEF相似,且相似比為1:血,所以周長比為
1:血.故答案為:.
2
14.【答案】2百一1
【解析】設BE=x,則AB=AE+BE=2+x.?.?四邊形ABCD是矩形,,CD=AB
=2+x,AB〃CD,.,.ZDCE=ZBEC.由折疊得/BEC=NDEC,EF=BE=x,
/.ZDCE=ZDEC.,DE=CD=2+x.1?點D,F,E在同一條直線上,/.DF=
DCDFx+2
DE—EF=2+x—x=2.VAB/7CD,/.ADCF^AEAF,:.EA=EF.:.2
2
=x,解得xl=?—1,x2=一6一1.經(jīng)檢驗,xl=^—1,x2=一石一1都
是分式方程的根.??”>(),右一1,即BE=>^—1.
15.【答案】(一三卷)或(一4,3)
【解析】???點尸在矩形ABOC的內部,且是等腰三角形,
:.P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上;
①當P點在AC的垂直平分線上時,點P同時在BC上,AC的垂直平分線與B0
的交點即是E,如圖1所示,
VPELBO,COLBO,
:.PE//CO,
/.APBEs△C8。,
???四邊形A80C是矩形,A點的坐標為(-8,6),
,點P橫坐標為-4,。。=6,30=8,BE=4,
,:APBEs△CB。,
.PE_BE當
??一,IAJ—,
COB068
解得:PE=3,
...點P(-4,3).
②P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上,圓弧與BC的交點為P,
過點尸作PEL30于E,如圖2所示,
VCOLBO,:.PE//C0,
:.APBEs△C8O,
?.?四邊形AB0C是矩形,A點的坐標為(-8,6),
...AC=B0=8,CP=8,AB=0C=6,
BC-VBO2+OC2->/82+62-10?BP-2?
,/4PBEs△CB。,
.PEBEBPPEBE2
..——=——=——,Rr即l:一=——=——,
COBOBC6810
62
解得:PE:BE=-
:.O£=8--=—
55
.??點P(年令,
綜上所述:點2的坐標為:(-三尚)或(-4,3),
故答案為:(-學,二)或(-4,3).
16.【答案】解:?.?在Rf^ABC中,AC=1,BC=2,AAB=或,AC:BC
—1:2,
.?.與RrAABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1:2,
若該三角形最短邊長為4,則另一直角邊長為8,但在6X6網(wǎng)格圖形中,最長線LJ
段為6”,但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形,從而畫不出端點都在格點3
點且長為8的線段,故最短直角邊長應小于4,在圖中嘗試,可畫出,
DE=9Jri-4A
EF=2jIU,DF=5M的三角形,
?.邛=乎=照=M.,.△ABC^ADEF,.,.ZDEF=ZC=90°,BDC
...此時4DEF的面積為:畫X27104-2=10,ADEF為面積最大的三角形,
其斜邊長為:5M.故答案為:5M.
三、解答題
17.【答案】
(1)V四邊形ABCD是平行四邊形,
/.AD//CD,AD=BC,
,ARMSAEAD,
.BFBE
??茄一西’
?;BE=AB,AE=AB+BE,
?BF_1
??一,
AD2
BF=-AD=-BC,
22
BF=CF.
(2)V四邊形ABCD是平行四邊形,
,AD//CD,
XFGCsXDGA,
,空=空,即空」
DGAD42
解得,F(xiàn)G=2.
18.【答案】
解:(1)證明:是前的中點,檢.
,.?A3是0。的直徑,且C凡LAB,
-'-CD=BF>CD-BF.
在^BFG^LCDG中,
ZF=乙CDG,
?:'Z.FGB=Z.DGC,
、BF=CD,
;.△BbG之△COG(AAS).
(2)如圖,過C作C”J_A。,交A。延長線于“,連接AC,BC,
"CD=BC,
:.ZHAC=ZBAC.
?:CELAB,
.CH=CE.
,AC=AC,
.RtAAHC^Rt^AEC(HL),
.AE=AH.
"CD=BC,
:.CD=BC.
又?:CH=CE,
/.RtACDH烏RtACBE(HL),
:.DH=BE=2,
:.AE=AH=AD+DH=2+2=4,
?*.AB=4+2=6.
???AB是。。的直徑,
,ZACB=9Q°,
:.ZACB=ZBEC,
,/NEBC=NABC,
BECsABCA,
?.?'BC_-B'E',
ABBC
:.BC2=ABBE=6x2=n,
:.BF=BC=2后
19.【答案】
解:(1)因為點。是AC中點,所以OOLAC,所以鞏=PC,所以NPCA=NR1C,
因為AB是。。的直徑,
所以NACB=90。,所以NA8C+N8AC=90°,
因為NPC4=NA8C,所以N用GNA8C,
所以N/%C+N8AC=90。,所以以_LAB,所以而是。。的切線.
⑵因為/出0=乙4。0=90。,ZAOD=ZPOA,所以△PAO^^ADO,所以絲=絲,
POOA
所以AO2=ODOP,
所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD-OP.
⑶因為tanNAFP*,所以設AO=2x,
3
則FD=3x,
連接AE,易證△AOESAFOA,
所以吆=絲=%
ADFD3x
所以ED=-AD=-x,
33
所以£F=為,EO=—x,DO~x,
366
在△ABC中,OO為中位線,
所以D0=-BC=4,
2
所以4=4,x=—,所以E£)=±x=二
6535
20.【答案】
解:(1)證明:如圖1中,
VAE1AD,.,.ZDAE=90°,ZE=90°-ZADE,=AD平分NBAC,AZBAD
=-ZBAC,同理NABD=,NABC,VZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+
22
ZABC=180°-ZC,/.ZADE=1(NABC+NBAC)=90°—;NC,AZE=
90°-(90°-1ZC)=|ZC.
(2)解:延長AD交BC于點F.
VAB=AE,.,.ZABE=ZE,BE平分NABC,NABE=NEBC,
.\ZE=ZCBE,;.AE〃BC,/.ZAFB=ZEAD=90°,—,
AFDE
VBD:DE=2:3,.*.cosZABC=—.
ABAE3
(3)?.?△ABC與4ADE相似,ZDAE=90°,NABC中必有一個內角為90。
YNABC是銳角,ZABC/900.當/BAC=NDAE=90。時,
VZE=-ZC,.,.ZABC=ZE=-ZC,VZABC+ZC=90°,.,.ZABC=30°,
22
此時部1=2-
'△ABC
當NC=NDAE=90。時,ZE=-ZC=45°,AZEDA=45O,
2
「△ABC與aADE相似,.\ZABC=450,此時迦=2一a.
SAABC
綜上所述,NABC=30?;?5。,迦=2—6或2一夜.
'△ABC
21.【答案】
(1)證明:???四邊形ABCO是矩形,
/.ZEAM=ZFDM=90°,
?.?M是的中點,
:.AM=DM,
在△AME和△£>M/中,
jNA=NFDB
{AM=DM,
[ZAME=ZDMF
:.△AEM絲△OFM(ASA);
(2)證明:如解圖①,過點G作GHLA。于H,
解圖①
VZA=ZB=ZAHG=90°,
...四邊形ABGH是矩形,
:.GH=AB=2,
?.?M是A。的中點,
:.AM=^AD=2,:.AM=GH,
,JMGLEF,;.NGME=90°
:.ZAME+ZGMH=9Q°.
VZAME+ZAEM=90°,
,NAEM=NGMH,
在△AEM和△"MG中,
(AM=GH
{NAEM=NGMH,
[ZA=ZAHG
:./\AEMg△HMG,
:.ME=MG,
:.ZEGM=45a,
由⑴得△AEMg叢DFM,
:.ME=MF,
':MGLEF,
:4EMG9叢FMG,
:.GE=GF,
:.ZEGF=2ZEGM=90a,
.?.△GE尸是等腰直角三角形.
(3)解:如解圖②,過點G作GHLAO交AO延長線于點”,
解圖②
VZA=ZB=ZAHG=9Q°,
二四邊形A8G”是矩形,
:.GH=AB=2yj3,
':MGLEF,
:.ZGME=9Q°,
/.ZAME+ZGMH=90°,
VZAME+ZAEM=90°,
:.NAEM=NGMH,
又?.?NA=NG"M=90°,
:.AAEMS*HMG,
?EM_AM
,,'MG=GH,
在RtAGME中,tan/MEG=等=小.
LLIVIv
/.n=百
22.【答案】
(1)證明:?.?尸尸切。。于點C,CO是。。的直徑,
:.CD1PF,
XVAF1PC,
J.AF//CD,
:.ZOCA=ZCAF,
":OA=OC,
:.ZOAC=ZOCA,
:.ZCAF=ZOAC,
平分NFAB;
(2)證明:?.SB是。。的直徑,
/.ZACB=90°,
':ZDCP=9Q°,
:.ZACB=ZDCP=90°,
又?:NBAC=ND,
:.△ACBsXDCP,
:.ZEBC=ZP,
VCE1AB,
:.ZBEC=90°,
?.?CD是。。的直徑,
/.ZD5C=90°,
:.ZCBP=90°,
:.ZBEC=ZCBP,
:ACBESACPB,
.BC=CE
,?PLCB,
:.BC2=CECP;
(3)解:平分NE4B,CFLAF,CE1AB,
:.CF=CE,
..CF=3
,CP~4J
.CE=3
?'CP~4f
設CE=3k,則CP=4k,
,叱=3/4仁]2廬,
:.BC=2y[3k,
CP3”、行
在RSBEC中,VsinZ£BC=^=^y^=^-,
:.ZEBC=60°,
.?.△OBC是等邊三角形,
:.ZDOB=120°,
.Q1207r2s4島
,,BD-180-3,
23.【答案】
(1)證明:?.?△ABCS^AIBICI,且相似比為如>1),
:又
?*.ai=k..a=kill,<,?u—kc.
(2)解:取a=8,h=6,c=4,同時取ai=4,b\=3,ci=2.
分hc
此時一=7=一=2,;
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