2021年中考 臨考專題訓練：相似三角形及其應用（含答案）

2021中考臨考專題訓練：相似三角形及其應用

一、選擇題

1.如圖，在△ABC中,點、D,E分別在邊AB,AC上，DE〃BC.若BD=2AD,

則（）

A也」B隹」

AB20-EC2

2.下列命題是真命題的是（）

A.如果兩個三角形相似，相似比為4；9,那么這兩個三角形的周長比為273

B.如果兩個三角形相似，相似比為4；9,那么這兩個三角形的周長比為4；9

C.如果兩個三角形相似，相似比為4；9,那么這兩個三角形的面積比為2；3

D.如果兩個三角形相似，相似比為4；9,那么這兩個三角形的面積比為4；9

Ap2

3.（2020?永州）如圖，在□A3c中，EF//BC,——=一，四邊形BCTE的面積

EB3

為21,則□ABC的面積是（）

C.35D.63

4.（2020?重慶A卷）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A

（1,2）,B（1,1）,C（3,1）,以原點為位似中心，在原點的同側畫△OEF使

△OEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2:1,則線段OF的長度為（）

A.75B.2C.4D.2行

5.（2019?重慶）下列命題是真命題的是

A.如果兩個三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個三角形的周長比為2：3

B.如果兩個三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個三角形的周長比為4：9

C.如果兩個三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個三角形的面積比為2：3

D.如果兩個三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個三角形的面積比為4：9

6.（2019?貴港）如圖，在△ABC中，點E分別在AB,AC邊上，DE//BC,

ZACD^ZB,若AD=28D,BC=6,則線段CO的長為

A.2>/3B.3V2

C.276D.5

7.（2020.嘉興）如圖，在直角坐標系中，△048的頂點為0（0,0）,A（4,3）,

B（3,0）.以點。為位似中心，在第三象限內作與△OAB的位似比為』的位似圖

3

形△OC0,則點C坐標為（）

AA

A.(-1,-1)B.(--,-1)C.(-1,--)D.(-

33

2,-1)

8.如圖，在放AABC中，ZC=90°,NCAB的平分線交BC于D,DE是AB

的垂直平分線，垂足為E.若BC=3,則DE的長為（）

A.1B.2C.3D4

BC

/)

二、填空題

9.如圖，在△ABC中，ZACD=ZB,若AO=2,BD=3,則AC長為.

10.在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m,同時同地測得一棟樓

的影長為90m,則這棟樓的高度為m.

11.（2019?大慶）如圖，在4ABC中，D、E分別是BC,AC的中點，AD與BE

相交于點G,若DG=1,則AD=.

12.如圖，在口ABC。中，過對角線BD上一點P作EF//BC,GH//AB,且CG=2BG,

SABPG=1,則S.AEPH=.

AHD

BGC

13.（2020?南通）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,AABC

和△。所的頂點都在網(wǎng)格線的交點上，設△ABC的周長為Ci,△DEE的周長為

C2,則G的值等于▲.

14.（2020.杭州）如圖是一張矩形紙片，點E在45邊上，把△3CE沿直線CE對折,

使點3落在對角線AC上的點F處，連接?！耆酎c、E,F,。在同一條直線上，AE=2,

則。尸=,BE=.

D

15.（2019?遼陽）如圖，平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊80,CO分別在x軸,

了軸上，A點的坐標為（-8,6）,點p在矩形ABOC的內部，點E在3。邊上，滿

足APBEsACBO,當△4PC是等腰三角形時，P點坐標為.

16.（2020湖州）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂

點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形.如圖，已知R/4A8C是6

X6網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與RrAABC相似的格點三角形

中.面積最大的三角形的斜邊長是—.

三、解答題

17.（2019?張家界）如圖，在平行四邊形A3CO中，連接對角線AC,延長AB至點

E,使連接OE,分別交8C,AC交于點尸，G.

⑴求證：BF=CF；

（2）若BC=6,DG=4,求/G的長.

"--------yrD

G

B

E

18.如圖，AB是。。的直徑，點C為前的中點，CT為。。的弦，且CFLA3,

垂足為E,連接8。交CF于點G,連接。，AD,BF.

(1)求證:△BFG學ACDG;

(2)若AO=BE=2,求BQ的長.

19.如圖，00是△ABC的外接圓，AB是直徑，。是AC中點，直線0。與。。

相交于E,尸兩點，P是。。外一點，且P在直線0。上，連接B4,PC,AF,

滿足NPCA=NABC.

(1)求證:用是。。的切線；

⑵證明:E/=40〃0P;

⑶若8C=8,tanZAFP=~,求OE的長.

3

20.(2019?上海)如圖1,A。、83分別是△A8C的內角NR4C、NABC的平分

線，過點A作AELAD交3。的延長線于點￡

圖1圖2

(1)求證：N-iZC；

2

(2)如圖2,如果AE=AB,且BD：DE=2：3,求cos/ABC的值；

(3)如果NA8C是銳角，且△A8C與△ADE相似，求NABC的度數(shù)，并直接

寫出上班的值.

SABC

21.在矩形ABC。中，AD=4,M是AO的中點，點E是線段A8上一點，連接

EM并延長交線段CD的延長線于點F.

(1)如圖①，求證：△4而且△OQW；

(2)如圖②，若48=2,過點M作MGLEE交線段8C于點G,求證：AGEF是

等腰直角三角形；

(3)如圖③，若AB=24,過點M作MGVEF交線段BC的延長線于點G,若

MG=nME,求n的值.

22.如圖,A8是。。的直徑，點E為線段03上一點(不與0、3重合)，作ECLOB

交。。于點C,作直徑C。過點。的切線交DB的延長線于點P,作AFJ_PC于

點、F,連接

⑴求證：AC平分NE4&

(2)求證：BC=CECP；

(3)當48=4/且各=%寸，求劣弧俄)的長度.

23.如圖，已知△ABCSAAIBICI,相似比為網(wǎng)攵>1),且AABC的三邊長分別

為a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三邊長分別為ai、bi、c\.

⑴若c=ai,求證：a=kc；

⑵若c=m,試給出符合條件的一對4ABC和△A1B1C1,使得。、。、c和⑶、歷、

a都是正整數(shù)，并加以說明；

(3)若c=b\,是否存在△ABC和△AFiCi使得攵=2?請說明理由.

24.如圖，已知一個直角三角形紙片ACB,其中NACB=90°,AC=4,BC=3,

E、廠分別是AC、AB邊上的點，連接EE

(1)如圖①，若將紙片AC3的一角沿EE折疊，折疊后點A落在45邊上的點。

處，且使S四邊彩ECBF=3SAEDF,求AE的長；

(2)如圖②，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M

處，且使M尸〃C4.

①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結論；

②求EF的長.

2021中考臨考專題訓練：相似三角形及其應用

-答案

一、選擇題

ADAE

1.【答案】B【解析】；DE〃BC,.?.△ADEs^ABC,?.?BD=2AD,.?.,=行

ADAC

1.AE1+3生

=§,.?gc=2,故選區(qū)D

2.【答案】B

3.【答案】B

【詳解】解：YE尸〃5c

:.ZAEF=/B,ZAFE=/C

：.UAEF^CABC

...AE=—2

EB3

.AE_2

**7B-5

.SAEB_4

S四邊形6CFE21

?*S四邊形8CFE=21

??SAEB=4

??SABC=25

故選：B.

4.【答案】D

【解析】VA(1,2),B(1,1),C(3,1),/.AB=1,BC=2,AC=6.丁ADEF與

△ABC成位似圖形，且相似比為2,...DF=2AB=2.

5.【答案】B

【解析】A、如果兩個三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個三角形的周長比

為4：9,是假命題；

B、如果兩個三角形相似，相彳以比為4：9,那么這兩個三角形的周長比為4：9,

是真命題；

C、如果兩個三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個三角形的面積比為16：81,

是假命題；

D、如果兩個三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個三角形的面積比為16：81,

是假命題，

故選B.

6.【答案】C

【解析】設4O=2x,BD=x,：.AB=3x,

VDE//BC,：.^ADE^^ABC,

.DEADAE.DE_2x

,?詬一花一就，"~r~3x'

.AE2

??DE=4,——=—>

AC3

■:ZACD=ZB,ZADE=ZB,：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA,/.AADE^AACD,

.ADAEDE

''~AC~~AD~~CD'

,幾47r“Q.AD-2y

設AE1=2y,AC=3y,..

3yAD

r-2y4「

/.AD=sJ6y,:.CD=2展,

故選C.

7.【答案】B

【解析】本題考查了在坐標系中，位似圖形點的坐標.在平面直角坐標系中，如

果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為

k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或Jkx,

i4

-ky).由A(4,3),位似比攵=§,可得C(-§,-1)因此本題選B.

8.【答案】A【解析】'：AD是N3AC的平分線，AC±BC,AE1DE,：.DC=

DE,AE=AC.又?.?OE是A3的垂直平分線，：.BE^AE,即AB=2AE=2AC,二

Y1

設則在中，丁一，解得：

N8=30°.80=3—x.RtZXBOE3—x=72x=l,.DE

的長為L

二、填空題_

9.【答案】同[Wt/f]VZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,：.AACD^>/\ABC,

R||

???A■—C_—A—D—,曰.A.C.._2,

ABAC2+3AC

，4。=舊或AC=國舍去).

10.【答案】54

11.【答案】3

【解析】VD.E分別是BC,AC的中點，

...點G為AABC的重心，，AG=2DG=2,

，AD=AG+DG=2+1=3.故答案為：3.

12.【答案】4［解析］由“平行四邊形的對角線把平行四邊形分成兩個全等的三角

形”可推出的面積等于口PGCF的面積.

?：CG=2BG,：.BG：BC=\；3,BG：PF=\：2.

?：4BPGS/\BDC,且相似比為1..3,

/.5ABDC=9SABPG=9.

?：kBPGsAPDF,且相似比為1；2,

??SAPDF=4S&BPG=4.

??SSEPH=S”PGCF=9-1-4=4.

13.【答案】—

2

【解析】由圖形易證AABC與4DEF相似，且相似比為1:血，所以周長比為

1:血.故答案為：.

2

14.【答案】2百一1

【解析】設BE=x,則AB=AE+BE=2+x.?.?四邊形ABCD是矩形，，CD=AB

=2+x,AB〃CD,.，.ZDCE=ZBEC.由折疊得/BEC=NDEC,EF=BE=x,

/.ZDCE=ZDEC.，DE=CD=2+x.1?點D,F,E在同一條直線上，/.DF=

DCDFx+2

DE—EF=2+x—x=2.VAB/7CD,/.ADCF^AEAF,:.EA=EF.：.2

2

=x,解得xl=?—1,x2=一6一1.經(jīng)檢驗，xl=^—1,x2=一石一1都

是分式方程的根.??”>（），右一1，即BE=>^—1.

15.【答案】（一三卷）或（一4,3）

【解析】???點尸在矩形ABOC的內部，且是等腰三角形，

：.P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與B0

的交點即是E,如圖1所示,

VPELBO,COLBO,

:.PE//CO,

/.APBEs△C8。，

???四邊形A80C是矩形，A點的坐標為(-8,6),

，點P橫坐標為-4,。。=6,30=8,BE=4,

,：APBEs△CB。，

.PE_BE當

??一,IAJ—,

COB068

解得：PE=3,

...點P(-4,3).

②P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P,

過點尸作PEL30于E,如圖2所示，

VCOLBO,：.PE//C0,

:.APBEs△C8O,

?.?四邊形AB0C是矩形，A點的坐標為(-8,6),

...AC=B0=8,CP=8,AB=0C=6,

BC-VBO2+OC2->/82+62-10?BP-2?

,/4PBEs△CB。，

.PEBEBPPEBE2

..——=——=——，Rr即l：一=——=——，

COBOBC6810

62

解得：PE：BE=-

：.O￡=8--=—

55

.??點P（年令,

綜上所述：點2的坐標為：（-三尚）或（-4,3）,

故答案為：（-學,二）或（-4,3）.

16.【答案】解：?.?在Rf^ABC中，AC=1,BC=2,AAB=或,AC：BC

—1：2,

.?.與RrAABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2,

若該三角形最短邊長為4,則另一直角邊長為8,但在6X6網(wǎng)格圖形中，最長線LJ

段為6”，但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點3

點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于4,在圖中嘗試，可畫出，

DE=9Jri-4A

EF=2jIU,DF=5M的三角形，

?.邛=乎=照=M.,.△ABC^ADEF,.,.ZDEF=ZC=90°,BDC

...此時4DEF的面積為：畫X27104-2=10,ADEF為面積最大的三角形,

其斜邊長為：5M.故答案為：5M.

三、解答題

17.【答案】

(1)V四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AD//CD,AD=BC,

,ARMSAEAD,

.BFBE

??茄一西’

?；BE=AB,AE=AB+BE,

?BF_1

??一，

AD2

BF=-AD=-BC,

22

BF=CF.

(2)V四邊形ABCD是平行四邊形,

，AD//CD,

XFGCsXDGA,

，空=空，即空」

DGAD42

解得，F(xiàn)G=2.

18.【答案】

解:(1)證明:是前的中點，檢.

,.?A3是0。的直徑，且C凡LAB,

-'-CD=BF>CD-BF.

在^BFG^LCDG中，

ZF=乙CDG,

?:'Z.FGB=Z.DGC,

、BF=CD,

；.△BbG之△COG(AAS).

(2)如圖，過C作C”J_A。，交A。延長線于“，連接AC,BC,

"CD=BC，

：.ZHAC=ZBAC.

?:CELAB,

.CH=CE.

，AC=AC,

.RtAAHC^Rt^AEC(HL),

.AE=AH.

"CD=BC，

:.CD=BC.

又?：CH=CE,

/.RtACDH烏RtACBE(HL),

：.DH=BE=2,

：.AE=AH=AD+DH=2+2=4,

?*.AB=4+2=6.

???AB是。。的直徑，

，ZACB=9Q°,

：.ZACB=ZBEC,

,/NEBC=NABC,

BECsABCA,

?.?'BC_-B'E',

ABBC

：.BC2=ABBE=6x2=n,

：.BF=BC=2后

19.【答案】

解:(1)因為點。是AC中點，所以OOLAC,所以鞏=PC,所以NPCA=NR1C,

因為AB是。。的直徑，

所以NACB=90。，所以NA8C+N8AC=90°,

因為NPC4=NA8C,所以N用GNA8C,

所以N/%C+N8AC=90。，所以以_LAB,所以而是。。的切線.

⑵因為/出0=乙4。0=90。，ZAOD=ZPOA,所以△PAO^^ADO,所以絲=絲,

POOA

所以AO2=ODOP,

所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD-OP.

⑶因為tanNAFP*,所以設AO=2x,

3

則FD=3x,

連接AE,易證△AOESAFOA,

所以吆=絲=%

ADFD3x

所以ED=-AD=-x,

33

所以￡F=為，EO=—x,DO~x,

366

在△ABC中，OO為中位線,

所以D0=-BC=4,

2

所以4=4,x=—,所以E￡)=±x=二

6535

20.【答案】

解：（1）證明：如圖1中,

VAE1AD,.,.ZDAE=90°,ZE=90°-ZADE,=AD平分NBAC,AZBAD

=-ZBAC,同理NABD=，NABC,VZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+

22

ZABC=180°-ZC,/.ZADE=1(NABC+NBAC)=90°—；NC,AZE=

90°-(90°-1ZC)=|ZC.

(2)解：延長AD交BC于點F.

VAB=AE,.,.ZABE=ZE,BE平分NABC,NABE=NEBC,

.\ZE=ZCBE,；.AE〃BC,/.ZAFB=ZEAD=90°,—,

AFDE

VBD：DE=2：3,.*.cosZABC=—.

ABAE3

(3)?.?△ABC與4ADE相似,ZDAE=90°,NABC中必有一個內角為90。

YNABC是銳角，ZABC/900.當/BAC=NDAE=90。時，

VZE=-ZC,.，.ZABC=ZE=-ZC,VZABC+ZC=90°,.，.ZABC=30°,

22

此時部1=2-

'△ABC

當NC=NDAE=90。時，ZE=-ZC=45°,AZEDA=45O,

2

「△ABC與aADE相似，.\ZABC=450,此時迦=2一a.

SAABC

綜上所述，NABC=30?；?5。，迦=2—6或2一夜.

'△ABC

21.【答案】

(1)證明：???四邊形ABCO是矩形，

/.ZEAM=ZFDM=90°,

?.?M是的中點，

：.AM=DM,

在△AME和△￡>M/中，

jNA=NFDB

{AM=DM,

[ZAME=ZDMF

：.△AEM絲△OFM(ASA)；

(2)證明：如解圖①，過點G作GHLA。于H,

解圖①

VZA=ZB=ZAHG=90°,

...四邊形ABGH是矩形，

：.GH=AB=2,

?.?M是A。的中點，

：.AM=^AD=2,：.AM=GH,

,JMGLEF,；.NGME=90°

：.ZAME+ZGMH=9Q°.

VZAME+ZAEM=90°,

，NAEM=NGMH,

在△AEM和△"MG中，

(AM=GH

{NAEM=NGMH,

[ZA=ZAHG

：./\AEMg△HMG,

：.ME=MG,

：.ZEGM=45a,

由⑴得△AEMg叢DFM,

：.ME=MF,

'：MGLEF,

:4EMG9叢FMG,

:.GE=GF,

：.ZEGF=2ZEGM=90a,

.?.△GE尸是等腰直角三角形.

(3)解：如解圖②，過點G作GHLAO交AO延長線于點”,

解圖②

VZA=ZB=ZAHG=9Q°,

二四邊形A8G”是矩形，

：.GH=AB=2yj3,

'：MGLEF,

：.ZGME=9Q°,

/.ZAME+ZGMH=90°,

VZAME+ZAEM=90°,

：.NAEM=NGMH,

又?.?NA=NG"M=90°,

：.AAEMS*HMG,

?EM_AM

,,'MG=GH,

在RtAGME中，tan/MEG=等=小.

LLIVIv

/.n=百

22.【答案】

(1)證明：?.?尸尸切。。于點C,CO是。。的直徑,

：.CD1PF,

XVAF1PC,

J.AF//CD,

：.ZOCA=ZCAF,

"：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZCAF=ZOAC,

平分NFAB；

(2)證明：?.SB是。。的直徑，

/.ZACB=90°,

'：ZDCP=9Q°,

：.ZACB=ZDCP=90°,

又?：NBAC=ND,

：.△ACBsXDCP,

：.ZEBC=ZP,

VCE1AB,

：.ZBEC=90°,

?.?CD是。。的直徑，

/.ZD5C=90°,

：.ZCBP=90°,

：.ZBEC=ZCBP,

:ACBESACPB,

.BC=CE

,?PLCB，

：.BC2=CECP；

(3)解：平分NE4B,CFLAF,CE1AB,

：.CF=CE,

..CF=3

,CP~4J

.CE=3

?'CP~4f

設CE=3k,則CP=4k,

，叱=3/4仁]2廬，

：.BC=2y[3k,

CP3”、行

在RSBEC中，VsinZ￡BC=^=^y^=^-,

：.ZEBC=60°,

.?.△OBC是等邊三角形，

：.ZDOB=120°,

.Q1207r2s4島

,,BD-180-3,

23.【答案】

(1)證明：?.?△ABCS^AIBICI,且相似比為如>1),

：又

?*.ai=k..a=kill,<,?u—kc.

(2)解：取a=8,h=6,c=4,同時取ai=4,b\=3,ci=2.

分hc

此時一=7=一=2,；