2021屆人教a版 平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

1.下列選項中，說法正確的是（）

A.若非零向量滿足忖+4=同一|耳，則￡與石共線

711

B.命題“在AAHC中，若A>=,貝！JsinA>—”的逆否命題為真命題

62

2

C.命題“三七eR,x0-x0<（）"的否定為"HxeR,x2-x>0”

D.設(shè)｛《,｝是公比為4的等比數(shù)列，貝m4>1”是“｛q｝為遞增數(shù)列”的充要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共線，逆否命題，命題的否定，充要條件的定義和性質(zhì)，依次判斷每個選項得

到答案.

【詳解】

A.若非零向量癡滿足卜++問-阿，則￡與囚方向相反，則Z與坂共線，A正確；

13.命題“在AAHC中，若A>2，則sinA>，"，取4=文得到sinA=」，故原

6262

命題為假，故逆否命題為假命題，8錯誤；

。命題“m/eR,%2-/《（）”的否定為：“VXGR,X2—X>0"，C錯誤；

數(shù)列單調(diào)遞增，知。錯誤;

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量共線，逆否命題，命題的否定，充耍條件，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能

力.

2.設(shè)AABC的三個內(nèi)角A,B.C,向量機(jī)=(>/3sinA,sinB),n=(cosB,V3COSA),

若%〃=l+cos(A+3),則C=()

71,71c2乃c5乃

A.-B.—C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】

解：因為向量玩=(GsinA,sin5),h=(cosB,A/3COSA),若

m-n=l+cos(A+B)=5/3sinAcosB+5/3sinBcosA

1+cos(A+B)=5/3sin(A+B)1-cosC=VJsinC

>

/.V3sinC+cosC=12sin(C+—)=1

6

解得為選C

3.設(shè)。，〃?均為單位向量，且它們的夾角為T，當(dāng)卜一妨|取最小值時，實數(shù)人的值

為().

1

A.一一B.-1

2

1

C.-D.1

2

【答案】A

【解析】

【分析】

將忖-碼平方再分析最值即可.

【詳解】

忸一可2=汗2—2妨-5+（防）2=攵2+左+1.故當(dāng)氏=-g時，忖一網(wǎng)取最小值.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行向量的模長運(yùn)用，常用平方再分析的方法，屬于基礎(chǔ)題型.

一ub

4.4.4.設(shè)。b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使普+臺=0成立的是（）

同w

—*—?I—?—?

A.a=2bB.aIlbC.a=——bD.aLb

3

【答案】C

5b-*—

【解析】試題分析：由于三+占=0,所以方向與G相同的單位向量和方向與b相同

的單位向量是相反向量，故選項C正確.

考點(diǎn)：1.單位向量；2.共線向量.

5.在平行四邊形ABC。中，E為8c的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則正=（

3--1—>3—?1一1—.3—>1—3—?

A.-AB+-ADB.-AB——ADC.-AB+-ADD.-AB--AD

42422424

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的基本定理、平面向量的共線定理、平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合已

知和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

FC=FE+EC=-AE+-BC=-（AB+-BC）+-BC=-AB+-BC^-AB+-AD

222222424

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的基本定理、平面向量共線定理、平面向量的加法的幾何意義，屬

于基礎(chǔ)題.

6.已知向量麗=2+35，BC=5a+3b>CD=-3a+3b>貝U（）

A.4、B、C三點(diǎn)共線B.4、B、。三點(diǎn)共線

C.A、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、。三點(diǎn)共線

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出8心+。方=24月，得麗=2而；根據(jù)平面向量的共線定理即可判斷.

【詳解】

■.■BC+o5=2a+6b=2（a+3b）=2AB,

即8萬=2A分，

...A、B、。三點(diǎn)共線.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的共線定理，判斷點(diǎn)共線需先判斷向量共線，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知向量同=26,忖=4,且1石=一12,則方與5的夾角為（）

【答案】D

【解析】

【分析】

直接由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.

【詳解】

設(shè)￡與加的夾角為8,由同=2@q=4,=儂6=芾|=［言］=一岑,

57r

所以

6

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式.

8.AABC三邊長分別是3,4,5,則通+配+訶=().

A.12B.2C.0D.0

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

AB+BC+CA=AC+CA=O^故選D.

點(diǎn)睛：本題考查向量的加法法則中的三角形法則.三角形法則的特點(diǎn)是首尾相連，所以

AB+BC+CA=O-

9.若向量H=2sinl5°，W=4sin75°,Z與右的夾角為30°,則Z石等于()

J31

(A)V3(B)—(C)2后(D)-

22

【答案】A

【解析】

試題分析：ab=|a||^|cos30=2sinl5°x2sin75°x1=

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算

10.若M、N分別是AABC邊AB、AC的中點(diǎn)，貝!I().

A.MNB.MN=-^BCC.MN^2BCD.MN=-2BC

【答案】A

【解析】

N分別是AABC邊A3、AC的中點(diǎn)

:.A^=AN-AM=-AC--AB=-(AC-AB}=-BC

222、>2

故選A

二、填空題

11.已知向量a=（l,，〃），5=（3,6）.若向量￡出的夾角為三，則實數(shù)團(tuán)的值為.

【答案】-立

3

【解析】

【分析】

求出兩向量的模，根據(jù)向量數(shù)量積的公式列方程解出m.

【詳解】

iaI=Jm?+1‘b=J9+3=2-y/3'a,b=3+>/3m，

;向量A,6的夾角為§，

**?3+y/3m=Jm?+1也道,—,

解得m=_立.

3

故答案為-立

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟記數(shù)量積公式，熟練計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

___..,?，.，■?']I

12.已知。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足。4+。8+0。=0,48?4。=2,KZBAC=-,

3

則AOBC的面積為.

【答案】—

【解析】

試題分析：因為±4+礪+歷=0,所以。為三角形A8C的重心，所以A08C的面

積是總面積的三分之一，根據(jù)已知條件AB-AC^bccos-^2,bc=4,

3

CSin

SgBC=1^A=,故S&OAB=?SMBC=-y-

考點(diǎn)：向量運(yùn)算.

13.已知向量￡=（一2,4）,力=（〃?/）（其中加為實數(shù)），若僅叫_LB,則m=.

【答案】①=1或根=一3.

【解析】

【分析】

由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求得a的坐標(biāo)，再利用向量垂直的條件為數(shù)量積等于零，

建立等式求得結(jié)果.

【詳解】

由（。一初?3=（—2—m,3）?（機(jī),1）=—2m—m2+3=0，

解得根=1或m=一3,

故答案為：〃2=1或加=—3.

【點(diǎn)睛】

本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.

14.設(shè)向量石，G均為單位向量，且21=6-辰，則向量a，B的夾角等于

【答案】

【解析】

【分析】

首先將21=5-辰變形得2互-5=-樨，結(jié)合三個向量都是單位向量，利用向量

—1

數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，兩邊平方，得到4+1-2無5=3,求得a-b=q,之后應(yīng)用向量

2

夾角余弦公式求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)向量a，b.均為單位向量，且2。=6-6e,

所以2&-6=一任，兩邊平方得4+1-2G-5=3，

--1

所以。包=一,

2

所以c°s&5〉=茴

又因為向量夾角的取值范圍為［0,兀I，所以向量不，5的夾角為^■.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)向量夾角的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有向量數(shù)量積的

運(yùn)算性質(zhì)，向量夾角余弦公式，正確應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.

15.已知2=(1,2),6=(-3,2),當(dāng)k=時，法+石與”35平行.

【答案】—彳

3

【解析】

妨+5=%(1,2)+(-3,2)=(%-3,2%+2),

4-35=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).

Vka+b與2一35平行，.??-4(b3)T0(2k+2)=0,

解得后=_?.

3

三、解答題

16.如圖，M,N分別是正六邊形ABC。比'的對角線AC,CE上的點(diǎn)，且

AMCN

"~=上二=九.若B,M,N三點(diǎn)共線,試求4的值.

ACCE

【解析】

【分析】

根據(jù)正六邊形性質(zhì)利用相似列方程，解得結(jié)果.

【詳解】

解:,連接BE交AC于0,過N作NP平行AC交

BE于P,設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為1,則

BO=-,OC^—,:.OM=--(1-2)73=73(2--).

2222

PN=LNE=L(I-A^,

22

BP=2.21X(1_2)V3=1+1

?，BOOM

所以——=——=>乙_/

BPPN-+3A-(1-2)V3

222

解得4=

3

【點(diǎn)睛】

本題考查正六邊形性質(zhì)以及相似三角形應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

17.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=(2sin*2x,l),OB=(1,-2>/3sinxcosx+1),

f(x)=--OAOB+l.

(1)求y=/(x)的最小正周期;

(2)將/(X)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的兩倍，再將所得圖象向左

平移[個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x),且a2g],尸€(-￥，-￡),

6L63JV63J

34

g(a)=M，g^=--,求cos2(a-y?)-1的值.

98

【答案】(l)乃；(2)-

625

【解析】

【分析】

(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的正余弦公式及輔助角公式化簡/(x)

的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最小正周期即可；

(2)根據(jù)函數(shù)＞=Asin(5+s)圖象的伸縮變換公式求出函數(shù)g(x)的表達(dá)式，再利

用兩角差的正弦公式和二倍角的余弦公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(1)因為。A=(2sin?x,l),OB-(1,sinxcosx+1),

1------Q[-1

所以/(x)=-Q0A08+l=-sirrx+J3sinxcosx+]

-1+cos2x+V3sin2x1.(萬、

=-------------------+—=sm2x+——，

226J

函數(shù)y=f(x)的最小正周期為』=》.

2

(2)由⑴知，/(x)=sin[2x+*J,將f(x)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)

大為原來的兩倍得到函數(shù)y=sin卜+看)，再將其圖象向左平移看個單位后得到函數(shù)

(乃)34

g(x)=sin卜+耳/又g(a)=g,g(4)=一丁

即sin。+引方叫尸+§=-丁

萬2萬5乃71

因為ae—,——，p6

63T,-7

~,冗冗c冗、兀C

所以a+=e—,7r,/7+—e--,0

323I2

斗」,

.?.4I+3j5Mr+23j5

sin(a-/?)=sin10+(

a+?)cos[￡+-cos[a+ylsinQ71

=sin

3.3_f_llpL_Z

55(5八5)25

所以cos2(a-/?)-1=-2sir)2(々一夕)

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、利用函數(shù)＞=4411（5+9）圖象的伸縮變換公

式求變化后的解析式、兩角和的正弦公式和二倍角的余弦公式；考查運(yùn)算求解能力和知

識的綜合運(yùn)用能力；熟練掌握兩角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，并觀察出角之間

的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.

18.已知A(T,0),3(0,2),C(—3,l)且福.而=5,AD2=10.

(1)求。點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若。的橫坐標(biāo)小于零，試用而，而，表示

【答案】⑴(-2,3)或(2,1)；(2)AC=-AB+AD-

【解析】

【分析】

⑴設(shè)。(x,y),則通=。,2),而=(x+l,y),利用通.而=5與而2=]0列方

程求得x，N的值，從而可得結(jié)果；(2)求得通=(1,2),而=(-1,3),而=(-2,1),

設(shè)/=mAB+nAD，利用向量相等列方程組求出犯〃的值即可得結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)。(x,y),則旗=(1,2),而=(x+l,y),

ABAD=x+l+2y=5①

2o

AD'=(x+l)+/=10②

x=-2fx=2

由①②<或<?

[y=31y=i

。點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,3)或(2,1).

(2)。點(diǎn)坐標(biāo)為(—2,3)時，

通=(1,2),而=(-1,3),前=(-2,1),

設(shè)AC-mAB+nAD,

所以(一2,1)=加(1,2)+“(-1,3),

一2=根一〃m=-l

=><

3=2m4-3/71〃=1

AC=-AB+AI5-

19.如圖所示，設(shè)MMP是AABC三邊上的點(diǎn)，且兩=；團(tuán)，CN=^CA,

AP=^AB,若A*=a，AC=b＞試用。力將麗,而表示出來.

____2-1-11tB1r2r

【答案】MN=——a+-b,NP=—a——h

3333