2021學(xué)年滬教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)- 第13講：函數(shù)的表示法

自學(xué)資料

主題：函數(shù)的表示法

自學(xué)五步法

◎興趣起航

g樂學(xué)善思

1、解析法：用等式來表示一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，這個(gè)等式稱為函數(shù)

的解析式（或函數(shù)關(guān)系式）.簡(jiǎn)單明了，能從解析式了解函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，便于理論上的分析與

研究，但求對(duì)應(yīng)值時(shí)需要逐個(gè)計(jì)算，且有的函數(shù)無法用解析式表示.

【例1】填空：

（1）正方形的邊長X和面積y之間的函數(shù)解析式是；

（2）長方形的周長為10厘米，長是厘米），寬是y（厘米），則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是.

【答案】（1）y=f；（2）y=5-x.

【解析】（1）根據(jù)正方形面積=邊長的平方，即得：y=V；

（2）根據(jù)長方形周長=2（長+寬），即得2（x+y）=10,解得:y=5-x.

【總結(jié)】考查函數(shù)解析式與實(shí)際問題的結(jié)合應(yīng)用，用已知量替代即可.

【例2】已知矩形的面積是24平方厘米，其長為y（厘米），寬為x（厘米），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖像

大致在象限，y隨x的增大而.

【答案】第一，減小.

【解析】根據(jù)矩形面積計(jì)算公式，可得◎=24,即得y=竺，由x>0,可知函數(shù)圖像在第

X

象限，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，&=24>0,可知y隨x的增大而減小.

【總結(jié)】考查利用公式解決實(shí)際問題與反比例函數(shù)的增減性.

【例3】某高速公路全長200公里，汽車以80公里每小時(shí)的速度行駛，開了x小時(shí)后，剩下的路程y(公里)

關(guān)于行駛的時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為.

【答案】y=200-80x.

【解析】行程=速度X時(shí)間，可得汽車行程S=80x,則剩余路程y=200-S=200-80x.

【總結(jié)】考查行程問題建立等量關(guān)系表示相應(yīng)的量.

【例4】某人將2萬元現(xiàn)金存入銀行，存款的年利率為1.5%,存入x年，則到期后取出的本利和y關(guān)于期數(shù)

x的函數(shù)解析式為.

【答案】y=20000+300x.

【解析】根據(jù)題意可得每年利率為20000xl.5%=300元，

則存入x期到期的本利和為：y=20000+300x.

【總結(jié)】考查利息問題，注意所要求解的是哪個(gè)量.

【例5】若點(diǎn)P(x,>)在第一、三象限的角平分線上，則用變量x來表示變量y的函數(shù)解析式為

【答案】y=x.

【解析】點(diǎn)P(x,y)在一、三象限角平分線上，則有43=45。，且有兇=刨，點(diǎn)在一、三

象限，則有x、y同號(hào)，由此即可得y=x.

【總結(jié)】考查象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系.

【例6】從A市向B市打長途電話，收費(fèi)的方式如下：0~3分鐘收費(fèi)2.4元，3分鐘以后每加1分鐘加收1

元.

(1)求當(dāng)時(shí)間色3分鐘時(shí)。是整數(shù))，電話費(fèi)y(元)和時(shí)間r(分鐘)之間

的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若某次通話總費(fèi)用為9.4元，求通話的時(shí)間.

【答案】(1)y=r-0.6；(2)10.

【解析】⑴3分鐘以內(nèi)收2.4元，超過3分鐘部分為(一3)分鐘，

由此可得總費(fèi)用y=2.4+l(r-3)=/-0.6;

(2)令y=t-0.6=94,解得：f=10.

【總結(jié)】考查分段函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

【例7】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到直線I,直線/與反比例函數(shù)y=?

X

的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（a,3）,試確定反比例函數(shù)的解析式.

【答案】y=~.

X

【解析】直線y=-x繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。得到直線解析式即為y=x,直線/與反比例函數(shù)交于點(diǎn)

A（a,3）,即可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,3）,（3,3）在反比例函數(shù)y=&上，則有4=3,

x3

解得：k=9,即反比例函數(shù)解析式為y=2.

X

【總結(jié)】考查特殊正比例函數(shù)的旋轉(zhuǎn)，正反比例函數(shù)交點(diǎn)的結(jié)合應(yīng)用.

【例8】將長為38厘米，寬為5厘米的長方形白紙，按如圖所示的方式粘合在一起，粘合部分白紙為2厘米

（1）求10張白紙粘合后的長度？

（2）設(shè)x（張）白紙粘合后的總長為y（厘米），寫出y和x的函數(shù)關(guān)系式.

【難度】★★

【答案】（1）362cm;（2）y=36x+2.

【解析】（1）粘合處的重疊部分長度為2加，10張白紙粘合在一起，共有9處重疊,

則粘合后的長度為38x10-2x9=362cm；

（2）粘合處的重疊部分長度為2即，x張白紙粘合在一起，共有（x-1）處重疊，

則粘合后的長度y=38x-2（%-1）=36%+2.

【總結(jié)】考查找規(guī)律的應(yīng)用，注意疊合部分的長度.

【例9】某市城建部門經(jīng)過長期市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該市年新建商品房面積尸（萬平方米）與市場(chǎng)新房均價(jià)x（千元/

平方米）之間存在函數(shù)關(guān)系P=25x；年新房銷售面積。（萬平方米）與市場(chǎng)新房均價(jià)x（千元/平方米）之間的函

數(shù)關(guān)系為。=坨120-10.

x

（1）如果年新建商品房的面積與年新房銷售面積相等，求市場(chǎng)新房均價(jià)和年新房銷售總額；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，如果市場(chǎng)新房均價(jià)上漲1千元，那么該市年新房銷售總額是增加還是減少?變化了

多少？

【答案】（1）單價(jià)2千元，銷售總額10億元；（2）減少1億元.

【解析】（1）令25x=0-10,整理得：5X2+2X-24=0,解得：=-2.4,x,=2,

X

即得新房銷售均價(jià)為2千元/平方米，銷售總額為0.2x（120+2-10）=10億元；

（2）依題意新房均價(jià)為2+1=3千元/平方米，年銷售面積為120+3-10=30萬平方米，

則銷售總額為0.3x30=9億元，即銷售總額減少，減少10-9=1億元.

【總結(jié)】考查根據(jù)函數(shù)解析式解決函數(shù)問題，根據(jù)題目要求進(jìn)行計(jì)算即可.

【例10】小強(qiáng)利用星期日參加了一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，他從果農(nóng)處以每千克3元的價(jià)格購進(jìn)若干千克草莓

到市場(chǎng)上銷售，在銷售了10千克時(shí)，銷售收入是50元，余下的他每千克降價(jià)1元出售，全部售完，兩

次共銷售收入70元，已知在降價(jià)前銷售收入y（元）與銷售重量x（千克）之間成正比例關(guān)系.請(qǐng)你根據(jù)

以上的信息解答下列問題：

（1）求降價(jià)前銷售收入y（元）與售出草莓重量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小強(qiáng)共批發(fā)購進(jìn)多少千克的草莓；

（3）小強(qiáng)決定將這次賣草莓賺的錢全部捐給汶川地震災(zāi)區(qū)，那么小強(qiáng)共捐款多少元？

【答案】（1）y=5x;（2）15千克；（3）25元.

【解析】（1）售出草莓重量x與銷售收入>成正比，可設(shè)y=依，依題意可得10%=50,

解得：k-5,即得y=5x;

（2）由（1）可知降價(jià)前草莓銷售單價(jià)為5元/千克，則降價(jià)后單價(jià)為5-1=4,

由此可得購進(jìn)草莓總量為10+（70-50）4-4=15千克；

（3）小強(qiáng)銷售總利潤為70-15X3=25元，即捐款總額為25元.

【總結(jié)】考查函數(shù)的分段，對(duì)銷售問題的理解應(yīng)用.

【例11]如圖，奧運(yùn)圣火抵達(dá)某市奧林匹克廣場(chǎng)后，沿圖中直角坐標(biāo)系中的一段反比例函數(shù)圖象傳遞.動(dòng)

點(diǎn)7（%,〃）表示火炬位置，火炬從離北京路10米處的M點(diǎn)開始傳遞，到離北京路1000米的N點(diǎn)時(shí)傳遞

活動(dòng)結(jié)束.迎圣火臨時(shí)指揮部設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)。（北京路與奧運(yùn)路的十字路口），Q47B為少先隊(duì)員鮮花方

陣，方陣始終保持矩形形狀且面積恒為10000平方米（路線寬度均不計(jì)）.

（1）求圖中反比例函數(shù)的關(guān)系式（不需寫出自變量的取值范圍）；

（2）當(dāng)鮮花方陣的周長為500米時(shí)，確定此時(shí)火炬的位置（用坐標(biāo)表示）；

（3）設(shè)1=機(jī)-〃，用含f的代數(shù)式表示火炬到指揮部的距離；當(dāng)火炬離指揮部最近時(shí)，確定此時(shí)火炬的

位置（用坐標(biāo)表示）.

V0~~奧林匹克廣場(chǎng)

（火炬）

【答案】(1)y=^--,(2)(50,200)或(200,50);

(3)?+20000,(100,100).

【解析】(1)方陣面積恒為10000平方米，

即得孫=10000,

所以反比例函數(shù)解析式為y=

X

(2)鮮花方陣周長為500,即得2(〃?+“)=500,又加=10000,

解得::即得火炬位置對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(50,200)或⑵)0,50);

(3)由f=tnn=10000,可得：m2+n'=—n)'+2mn=t2+20000,

即得火炬到指揮部距離為=G+20000,火炬離指揮部距離最近時(shí)，則有f=0,即

得,則火炬位置對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(100,100).

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為解方程題型即可.

【例12]如圖所示：長方形4BCD中，A8=5,4。=3,點(diǎn)P從4點(diǎn)出發(fā)，沿長方形

ABC。的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，再次回到A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的距離是x,AAPC的面積是y,求y和

x的函數(shù)關(guān)系式及定義域.

^x（0<x<5）

--x+20（5<x<8）

【答案】y='2

-x-12（8<x<13）

-yx+40（13<x<16）

【解析】由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡可知，

當(dāng)0<xW5時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在邊上,

13

AP=x,y=-APBC=-x；

22

當(dāng)5<xW8時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在8C邊上，CP=S-x,。|--------------N|C

y=；CPA3=；(8_x)x5=_|x+2();

當(dāng)8<xV13時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在C。邊上，CP=x-8,

ii3

y=-CPAD=-(x-8)x3=-x-l2；

當(dāng)13Vx<16時(shí)，AP=l6-x,

^=|AP-CD=1(16-X)X5=-|X+40.

【總結(jié)】考查函數(shù)的分段解析式，用題目條件分別對(duì)應(yīng)表示線段長度再進(jìn)行代值計(jì)算，注意分

類討論.

二、列表法：用表格形式來表示一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法；從表格中直接

找到自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，查找方便，但無法將自變量與函數(shù)值的全部對(duì)應(yīng)值都列出來，且難以看出規(guī)律.

【例13】函數(shù)y=G的部分對(duì)應(yīng)值如下表:

X???-1012...

y...202h

根據(jù)表格回答問題：

(1)函數(shù)的解析式為，定義域?yàn)椋琤=

(2)請(qǐng)?jiān)倥e一些對(duì)應(yīng)值，猜想該函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱.

【答案】(1)y=2f,全體實(shí)數(shù)，8；(2)y軸.

【解析】(1)函數(shù)y=s2過點(diǎn)(],2),即得：a=2,則函數(shù)解析式為y=2x,,對(duì)應(yīng)定義域?yàn)槿?/p>

體實(shí)數(shù)，令x=2,即得。=y=2x2)=8;

(2)x互為相反數(shù)，對(duì)應(yīng)y值相等，可知函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

【總結(jié)】考查根據(jù)函數(shù)圖像上一點(diǎn)確定相應(yīng)函數(shù)解析式并適當(dāng)猜想應(yīng)用.

(2)若出售10支鉛筆，售價(jià)應(yīng)為元；

(3)根據(jù)你的預(yù)測(cè)，付款20元，可買支鉛筆;

（4）請(qǐng)寫出售價(jià)y與所售鉛筆數(shù)量無的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】（1）鉛筆的數(shù)量，售價(jià)，鉛筆的數(shù)量，售價(jià)，鉛筆的數(shù)量，售價(jià)，鉛筆的數(shù)量;

（2）5；（3）40；（4）y=0.5x.

【解析】（1）略（函數(shù)相關(guān)基本概念）；

（2）根據(jù)表格可知，售價(jià)與所售鉛筆支數(shù)成正比，即可得每支鉛筆單價(jià)為0.5元，

出售10支鉛筆，售價(jià)為10X0.5=5元；

（3）可買鉛筆支數(shù)為20?0.5=40支；

（4）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即得y=0.5x.

【總結(jié)】考查函數(shù)的基本定義和判定，總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量的關(guān)系應(yīng)用.

【例15】如果函數(shù)y=ar+b的部分對(duì)應(yīng)值如下表:

X-2-10123

y6420-2-4

根據(jù)表格回答：

（1）求方程ajc+t>=0的解？

（2）不等式ax+XO的解集又是多少?

【答案】（1）x=l；（2）x>1.

【解析】（1）根據(jù)表格可知，x=l時(shí)，y=0,即得方程奴+b=0的解為x=l;

（2）由表格可知，y隨著x的增大而減小，x=l時(shí)，y=0,y<0,即y值從。開始逐漸

減小，對(duì)應(yīng)的x值從1開始逐漸增大，即可得"+6<0的解集為x>l.

【總結(jié)】考查根據(jù)表格確定相應(yīng)自變量取值范圍，注意相應(yīng)函數(shù)的增減性即可，不需要求解代

值計(jì)算.

【例16]在下圖中，每個(gè)正方形由邊長為1的小正方形組成:

觀察圖形，填寫下列表格:

■■H

/?=1M=2〃=3M=4，=5n=6

正方形邊長1357n（奇數(shù)）

黑色小正方形個(gè)

數(shù)

正方形邊長2468n（偶數(shù)）

黑色小正方形個(gè)

數(shù)

【答案】1,5,9,13,2/?-1；4,8,12,16,In.

【解析】觀察相應(yīng)圖形可知，分別從〃為奇數(shù)和偶數(shù)觀察，邊長每增加2,黑色小正方形個(gè)數(shù)

增加4個(gè)，”為奇數(shù)，小正方形個(gè)數(shù)從1開始增長，即得黑色小正方形個(gè)數(shù)為

1+4（〃-1）+2=2〃-1;〃為偶數(shù)，小正方形個(gè)數(shù)從4開始增長，即得黑色小正方形個(gè)數(shù)為

4+4（〃-2）+2=2〃，即可得到對(duì)應(yīng)表格中的數(shù)字.

【總結(jié)】考查找規(guī)律方法的應(yīng)用，注意數(shù)字之間的變化.

【例17】某市全面推行農(nóng)村合作醫(yī)療，農(nóng)民每年每人只拿出10元就可以享受合作醫(yī)療:

住院費(fèi)（元）報(bào)銷費(fèi)（％）

不超過3000元部分15

3000-400025

4000-500030

5000-1000035

100000-2000040

超過2000045

設(shè)報(bào)銷的費(fèi)用是y元

（I）求住院費(fèi)不超過3000元時(shí)，報(bào)銷費(fèi)y與住院費(fèi)x元之間的關(guān)系;

（2）求住院費(fèi)不超過4000時(shí)，報(bào)銷費(fèi)y與住院費(fèi)x之間的關(guān)系；

（3）某人住院費(fèi)報(bào)銷了805元，求花費(fèi)的總費(fèi)用.

15%x(0<x<3000)

【答案】(1)y=15°/ox；(2)y='(3)43507G.

25%x-300(3000<x<4000)

【解析】(1)住院費(fèi)不超過3000元，報(bào)銷費(fèi)用y與住院費(fèi)x成正比，則有y=15%x；

(2)住院費(fèi)不超過4000元，需根據(jù)費(fèi)用是否超過3000元進(jìn)行分類討論，即：

當(dāng)04x43000時(shí)，y=\5%x;

當(dāng)3000cXW4000時(shí)，y=3000x15%+25%(x-3000)=25%》-300;

(3)由(2)可知費(fèi)用不超過4000元時(shí)，最高報(bào)銷費(fèi)用為25%x4000-300=700元，

由表格知費(fèi)用不超過5000元時(shí)，最高報(bào)銷費(fèi)用為700+(5000-4000)x30%=1000元，現(xiàn)報(bào)

銷費(fèi)用為805元，在700與1000之間，可知住院費(fèi)用在4000與5000之間，

令y=700+30%(x-4(XX))=805,解得：x=4350,即住院費(fèi)用為4350元.

【總結(jié)】考查分段函數(shù)的應(yīng)用，注意是整體討論還是分段進(jìn)行討論，是否進(jìn)行分段計(jì)算.

三、圖像法

1、圖像法：用圖像來表示一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法；函數(shù)與自變量的

對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)的變化情況及趨勢(shì)能夠很直觀地顯示出來，但從圖像上找自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值一般只

能是近似的，且只能反映出變量間關(guān)系的一部分而不是全體.

2、三種表示法的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化：由函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖像，一般分為“列表、描點(diǎn)、

連線”三個(gè)步驟，通常稱作描點(diǎn)作圖法；同樣，函數(shù)圖像中點(diǎn)的坐標(biāo)或表格中自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，也

是函數(shù)解析式所表示的方程的一個(gè)解.

【例18】一輛客車從上海出發(fā)開往北京，設(shè)客車發(fā)f小時(shí)后與北京的距離為S千米，下列圖像能大致反

應(yīng)S和f的函數(shù)關(guān)系的是()

【答案】A

【解析】客車發(fā)車時(shí)，與北京距離最遠(yuǎn)，即對(duì)應(yīng)y值最大；客車到達(dá)北京時(shí)，與北京距離最近

為0,符合條件的圖像為A選項(xiàng).

【總結(jié)】考查圖像法表達(dá)函數(shù)關(guān)系，注意相應(yīng)函數(shù)圖像上的點(diǎn)的意義.

【例19]圖中是某水池有水Q(萬噸)與排水時(shí)間，小時(shí)的函數(shù)圖像.試根據(jù)圖像，回答下列問題:

(1)水池內(nèi)有水萬噸；

(2)向水池內(nèi)注水小時(shí)；每小時(shí)

注水萬噸：

【答案】(1)100；(2)3,—：(3)5,60.

3

【解析】(1)f=0時(shí)，2=100,

可知水池內(nèi)原有水100萬噸；

(2)f=3時(shí)，水池內(nèi)水量達(dá)到最多Q=300,

可知注水時(shí)間為36,

注水速度為迎二更=迎萬噸；

33

(3)/=8時(shí)，水池內(nèi)水排空，可知排水時(shí)間為8-3=53排水速度為乎=60萬噸.

【總結(jié)】考查函數(shù)圖像的應(yīng)用，注意函數(shù)上相應(yīng)特殊點(diǎn)的意義和相應(yīng)的狀態(tài).

【例20】已知，在矩形ABCD中，AB=3,8c=4,點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)。P,過點(diǎn)A作AE_L￡>P,

垂足為E,設(shè)。P=x,AE=y,則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖像是().

ABCD

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可得“9即得：孫=12,圖像為反比例函數(shù)的一

段，同時(shí)易得X的取值范圍為3Vx45,故選C.

【總結(jié)】考查與平行四邊形相關(guān)的圖形面積的綜合應(yīng)用，兩個(gè)變量之積不變成反比例.

【例21]如圖是一位同學(xué)騎自行車出行時(shí)，所行路程S（k"）和時(shí)間f（m山）的函數(shù)關(guān)系圖像，從中得到

正確的信息是（）

A.整個(gè)行程的平均速度是,切?/〃

60

B.前20分鐘的速度比后半個(gè)小時(shí)的速度慢

C.前20分鐘的速度比后半個(gè)小時(shí)的速度快

D.從起點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，該同學(xué)共用了50分鐘

【答案】C

【解析】根據(jù)函數(shù)圖像，可知這位同學(xué)行程為76，行車時(shí)間為60min=l/z,得平均速度為

7kmih,故A、D錯(cuò)誤，同時(shí)根據(jù)圖像的傾斜程度，即可確定相應(yīng)的平均速度快慢，直

線越陡峭，速度越快，可知前20分鐘比后半個(gè)小時(shí)速度快，B錯(cuò)誤，C正確.

【總結(jié)】考查對(duì)函數(shù)圖像上點(diǎn)的意義的理解應(yīng)用.

【例22】折線表示一輛電瓶車的行程圖，騎車者7:30離開家，14時(shí)回到家，根據(jù)圖像中提供的有關(guān)信息,

解答下列問題：

（1）離家最遠(yuǎn)的地方離家千米；

（2）在目的地游玩并午餐用了分鐘；

（3）回家所用的時(shí)間是；

（4）回家的平均速度.

【答案】（1）10；（2）192；（3）0.8/2；

（4）\2.5km/h.

【解析】（1）根據(jù)圖像y的最大值為10,即離家最遠(yuǎn)距離為10千米；

（2）10一一13.2期間圖像y值保持不變，在此期間即為游玩并午餐時(shí)間，

共用時(shí)（13.2-10）x60=192分鐘；

（3）回家時(shí)間為14-13.2=0.8/1；

（4）回家平均速度為10+0.8=12.5也?/〃.

【總結(jié)】考查對(duì)函數(shù)圖像上點(diǎn)的意義的理解應(yīng)用.

【例23】小華、爸爸、爺爺同時(shí)從家中出發(fā)，到達(dá)同一目的地后立即返回，小華去時(shí)騎自行車，返回時(shí)步

行，爺爺去時(shí)步行，返回時(shí)騎自行車，爸爸往返都步行，三人步行速度不等，小華與爺爺騎車的速度相

等，每個(gè)人的行走路程與時(shí)間的關(guān)系可用下面三個(gè)圖象分別表示，根據(jù)圖象回答下列問題：

(2)小華家距離目的地多遠(yuǎn)？

(3)小華和爺爺騎車的速度是多少?三人的步行速度分別是多少？

【答案】(1)第一個(gè)圖像對(duì)應(yīng)爺爺，第二個(gè)圖像對(duì)應(yīng)爸爸，第三個(gè)圖像對(duì)應(yīng)小華；

(2)1200m；(3)小華和爺爺騎車速度為200〃?/min,爺爺步行速度為60,〃/min,

爸爸步行速度為lOOw/min,小華步行速度為80m/inin.

【解析】(1)根據(jù)圖像的傾斜程度，即可確定相應(yīng)的平均速度快慢，直線越陡峭，速度越

快，可知第一個(gè)圖為先步行后騎車，表示爺爺，第二個(gè)圖為來回都步行，表示爸爸，第三

個(gè)圖為先騎車后步行，表示小華；

(2)根據(jù)圖像可知小華到達(dá)的最遠(yuǎn)距離為1200”，即小華家與目的地距離為120(加；

(3)根據(jù)圖像，小華與爺爺騎車6min到達(dá)目的地，騎車速度為1200+6=200〃?/min；

圖像一，爺爺步行20min到達(dá)目的地，步行速度為1200+20=60m/min；爸爸步行12min到

達(dá)目的地，步行速度為1200+12=100〃?/min；小華步行21-6=15min到家，步行速度為

1200+15=80，〃/min.

【總結(jié)】考查對(duì)函數(shù)圖像法的觀察分析，根據(jù)直線的傾斜程度即可判斷相應(yīng)的速度大小解決問

題.

【例24】某水電站的蓄水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，每個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水量與時(shí)間的關(guān)系如圖(甲)所示，

出水口出水量與時(shí)間的關(guān)系如圖(乙)所示.已知某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，進(jìn)行機(jī)組試運(yùn)行，試機(jī)時(shí)至少打開一個(gè)

水口，且該水池的蓄水量與時(shí)間的關(guān)系如圖丙所示，根據(jù)圖像說明：

(1)進(jìn)水口單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量是多少?出水口單位時(shí)間內(nèi)出水量是多少?

(2)求0點(diǎn)到3點(diǎn)這段時(shí)間水池內(nèi)水量y與時(shí)間x的函數(shù)解析式及定義域;

(3)試說明3到4點(diǎn)和4點(diǎn)到6點(diǎn)這個(gè)時(shí)間段內(nèi)進(jìn)出水口的開放情況.

【答案】（1）1萬立方米/時(shí)，2萬立方米/時(shí)；（2）y=2x（O4x43）;（3）3點(diǎn)到4點(diǎn)開

放1個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口；4點(diǎn)到6點(diǎn)開放2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口.

【解析】（1）根據(jù)（甲）圖像可知，1小時(shí)進(jìn)水1萬立方米，即單位時(shí)間進(jìn)水量為1萬立方米

/時(shí)；根據(jù)（乙）圖像可知，1小時(shí)出水2萬立方米，即單位時(shí)間出水量為2萬立方米/時(shí)；

（2）根據(jù)圖像可知，0點(diǎn)到3點(diǎn)函數(shù)為正比例函數(shù)，設(shè)函數(shù)解析式為、="，函數(shù)過點(diǎn)（3,6）,則

有3%=6,解得：k=2,即相應(yīng)函數(shù)解析式為y=2x（0V3）;

（3）根據(jù)圖像可知3點(diǎn)到4點(diǎn)之間1小時(shí)減少1立方米，至少開放1個(gè)進(jìn)水口，則為開放1

個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口；4點(diǎn)到6點(diǎn)之間2小時(shí)內(nèi)水量保持不變，至少開放1個(gè)進(jìn)水口，則為

開放2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口.

【總結(jié)】考查進(jìn)出口問題，注意觀察函數(shù)圖像體現(xiàn)的單位時(shí)間內(nèi)水量變化情況，確定相應(yīng)的進(jìn)

水口和出水口的開放情況.

【例25】小剛從家門口騎車去單位上班，先走平路到達(dá)A,再走上坡路到達(dá)最后走下坡路到達(dá)單位,

所用的時(shí)間和路程的關(guān)系如圖所示，下班后，如果他按照原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分

別保持和上班的時(shí)候一致，求他從單位到家的時(shí)間.

【答案】15分.

【解析】根據(jù)圖像可知，小剛走上坡路騎車

速度為切?/min,小剛走卜坡路

8-35

騎車速度為~^--km/mm,從單位

12-82

到家的過程中，先走上坡路，

再走下坡路，最后走平路，

則到家所需時(shí)間為（4-2）4+（2-1）,+3=15分鐘.

【總結(jié)】考查函數(shù)圖像傾斜程度的意義，根據(jù)一定時(shí)間內(nèi)的行程即可確定相應(yīng)行車速度.

4

【例26]函數(shù)％=x（xW0）,y2=M（x>。）的圖像如圖所示，則結(jié)論：①兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,

x

2）；②當(dāng)x>2時(shí),y>y；③當(dāng)x=l時(shí),8C=3；④當(dāng)x逐漸增大時(shí)，弘隨著x的增大而增大，力隨著工

的增大而減小.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是

【答案】①③④

【解析】令x=±,解得：x=±2,由x>0,則有x=2,此時(shí)y=x=2,

x

即得交點(diǎn)坐標(biāo)（2,2）,①正確；對(duì)同一x值而言，函數(shù)圖像在上方即相應(yīng)函數(shù)值越大，

x>2時(shí)y在上方，即乂>必，②錯(cuò)誤；令x=l，得8（1,1）,C（l,4）,則有BC=3,③正

確；根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，x>0時(shí)，4=1>0,正比例函數(shù)％隨x增大而

增大，％=4>0,反比例函數(shù)%隨%增大而減小，可知④正確；

綜上，①③④正確.

【總結(jié)】考查正反比例函數(shù)性質(zhì)和交點(diǎn)的結(jié)合應(yīng)用.

【例27】在四邊形48C。中，動(dòng)點(diǎn)尸從4開始沿A-8-C-。的路徑勻速運(yùn)動(dòng)到。為止，在這個(gè)過程中，設(shè)

△APO的面積是S,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f,則S關(guān)于，的函數(shù)圖像為

（）.

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)P在移動(dòng)過程中，S先從0增大，然后保持不變，最后減小為0,由此

排除A、C選項(xiàng)，同時(shí)，由可知點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)間長于在4?上運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即

圖形面積變化相對(duì)慢，排除B,故選D.

【總結(jié)】考查動(dòng)點(diǎn)問題，根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)確定相應(yīng)的圖形面積表示，同時(shí)注意相應(yīng)線段的傾斜程

度表示面積變化的快慢.

【例28]如圖，表示玲玲騎自行車離家的距離與時(shí)間的關(guān)系，她9點(diǎn)鐘離開家，15點(diǎn)回到家，請(qǐng)根據(jù)圖

像回答下列的問題：

(1)玲玲到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時(shí)間，離家多催離

(2)她何時(shí)開始第一次休息?休息了多長時(shí)間？!

(3)第一次休息時(shí)，離家多遠(yuǎn)？30

(4)11：00~12:00她騎了多遠(yuǎn)？

(5)她在9:00-10:00和10:00-10:30的平均

速度是多少？17

(6)她在何時(shí)至何時(shí)停止休息用午餐？

(7)她在停止前進(jìn)后返回，騎了多少千米？

15----

(8)返回時(shí)的平均速度是多少？/

【答案】略

【解析】(1)根據(jù)圖像可知玲玲到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地行時(shí)間是12：00,離家30km;

(2)10:30開始休息，休息時(shí)間為30分鐘；

(3)第一次休息時(shí)離家17版；

(4)11:00~12:00行程為30-17=13初I；

(5)9:00~10:00平均速度15+1=15癡/〃，10:00~10:30平均速度(17-15)+0.5=4妨?//7；

(6)12:00~13:00停止休息用午餐；

(7)停止前進(jìn)后返回騎了30珈；

(8)返回時(shí)平均速度為30+(15-13)=15h〃//z.

【總結(jié)】考查對(duì)函數(shù)圖像的觀察，注意函數(shù)上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的意義.

【例29】在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)從M(1,0)出發(fā)，沿由A(-1,1),B(-1,-1),C

(1,-1),D(1,1)四點(diǎn)組成的正方形邊線(如圖1)按一定方向運(yùn)動(dòng).圖2是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s(個(gè)單

位)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間，(秒)之間的函數(shù)圖象，圖3是尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s之間的函數(shù)圖象的

一部分.

(1)s與f之間的函數(shù)關(guān)系式是；

(2)與圖③相對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是:P點(diǎn)出發(fā)秒首次到達(dá)點(diǎn)B；

(3)補(bǔ)全圖3中函數(shù)圖象.

【解析】(1)圖像為正比例函數(shù)的一部分，過點(diǎn)(2,1),即得：s=$(CO)；

(2)根據(jù)縱坐標(biāo)的變化，可知運(yùn)動(dòng)路線為。-A-N,令s=[=5,得：f=10;

2

(3)如圖.

【總結(jié)】考查動(dòng)點(diǎn)問題的應(yīng)用，主要運(yùn)動(dòng)過程中的量的變化.

三，，能力實(shí)踐

【習(xí)題1】與函數(shù)y=-3x的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像的函數(shù)解析式為.

【答案】y=3x.

【解析】函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，即對(duì)同一個(gè)x值而言，y值互為相反數(shù)，任取函數(shù)圖像上一點(diǎn)

即可確定對(duì)稱的函數(shù)解析式為y=3x.

【總結(jié)】根據(jù)題目條件在原函數(shù)上找一些相應(yīng)的特殊點(diǎn)進(jìn)行解題計(jì)算.

【習(xí)題2】某水庫在汛期當(dāng)水庫內(nèi)貯滿水時(shí)，泄洪閘會(huì)自動(dòng)打開，到水庫內(nèi)剩下一半水量時(shí)停止排水，當(dāng)

水庫再次注滿水后，又一次自動(dòng)將水量排剩一半，假設(shè)水庫的進(jìn)水量和排水量都是勻速的，這一過程中

水庫的存水量v與時(shí)間f之間函數(shù)關(guān)系的大致圖像是

()

【答案】D

【解析】依題意可得水庫水量最低位為原水量一半，從全滿到排到一半到全滿，沒有排空的過

程，即可排除A、B、C選項(xiàng)，D正確.

【總結(jié)】考查根據(jù)描述的情境題目確定相應(yīng)的大致函數(shù)圖像.

【習(xí)題3】小張第一次離家到縣城上學(xué)，假期回家寫了一首小詩：“首次離家今日返，父親早早到車站，父

子見面細(xì)端詳，雙雙高興把家還若用y表示小張和父親行進(jìn)中離開家的距離，用x表示父親離家的時(shí)

間，則與詩意大致吻合的圖像是（）

【答案】B

【解析】依小詩所表達(dá)的題意可知父親比小張?jiān)绲杰囌荆堅(jiān)俳?jīng)過一段時(shí)間后才到達(dá)車站與

父親碰面，兩人在車站聊了一會(huì)才回家的，在函數(shù)圖像上的反饋即為B選項(xiàng).

【總結(jié)】考查根據(jù)描述的情境題目確定相應(yīng)的大致函數(shù)圖像.

【習(xí)題4】某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，對(duì)自來水用戶按分段計(jì)費(fèi)方式收取水費(fèi)，若每月用水不超過7/,則

按1元加？收費(fèi)；若每月用水超過7加，則超過部分按2元加3收費(fèi).如果某居民戶今年5月繳納了17元

水費(fèi)，那么這戶居民今年5月的用水量為多少立方米？

【答案】12.

【解析】設(shè)居民用水量為尤立方米，用水量不超過7加時(shí)，最高收費(fèi)為7元，現(xiàn)收費(fèi)17元，可

知X27,則用費(fèi)應(yīng)該分段計(jì)算，依題意則有7+2（x-7）=17,解得：x=12,

即這戶居民5月用水量為12立方米.

【總結(jié)】考查函數(shù)的分段問題.

【習(xí)題5】某市的空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定：

（1）5公里以內(nèi)（含5公里），票價(jià)2元.（不足5公里的，按5公里計(jì)算）

（2）5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元.已知相鄰的兩個(gè)公共汽車站之間相距1公里，如果沿

途（包括起點(diǎn)和終點(diǎn)）共有21個(gè)站點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)題意，寫出票價(jià)y與里程x之間的函數(shù)解析式，并畫出函

數(shù)圖象.

2（0<x<5）

3（5<X<10）gm

【答案】y=\\，、，圖像略.

4（10<x<15）

5（15<x<20）

【解析】全程共有21個(gè)站點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)相距1公里，可知全程為20公里，每5公里票價(jià)增

加1元，可將函數(shù)分為4段，每段為5公里，由此即得：當(dāng)0<x45時(shí)，y=2；

當(dāng)5<x410時(shí)，y=3;當(dāng)10<x415時(shí)，y=4;當(dāng)15<x420時(shí)，y=5,圖像略.

【總結(jié)】考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意確定好分段標(biāo)準(zhǔn)即可.

【習(xí)題6】夏日的一個(gè)星期六，小紅全家上午8時(shí)自駕車從家出發(fā)，到距她家180b"的一旅游景點(diǎn)去玩，

若小紅離家的距離s（初?）與時(shí)間/（/?）的關(guān)系可以用下圖中的折線表示，根據(jù)圖象提供的信息，解答下

列問題：

（1）小紅全家是幾點(diǎn)鐘到達(dá)目的地?游玩了多少小時(shí)？

（2）求出返程途中，距離s（km）與時(shí)間f（力）的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）：

（3）小紅全家是什么時(shí)間到家的?返回時(shí)小汽車的平均速度是多少？

點(diǎn)鐘到達(dá)目的地，10-14時(shí)期間在旅游景點(diǎn)，可知全家游玩時(shí)間為14-10=4力；

（2）設(shè)函數(shù)解析式為5=公+人，函數(shù)過點(diǎn)

ly解得：…M440,即得相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為

(14,180),(15,90),則有

s=-90/+1440；

(3)令s=-90r+1440=0,解得：r=16,即小紅全家16點(diǎn)到家,

返回時(shí)小汽車平均速度為180+（16-14）=90加/〃.

【總結(jié)】考查根據(jù)函數(shù)圖像確定相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)橫縱坐標(biāo)軸表示的量確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)

系.

【習(xí)題7】用洗衣粉洗衣物時(shí)，漂洗的次數(shù)與衣物中洗衣粉的殘留量近似地滿足反比例函數(shù)關(guān)系，寄宿生

小紅、小敏晚飯后用同一種洗衣粉各自洗一件同樣的衣服，漂洗時(shí)，小紅每次用一盆水（約10升），小

敏每次用半盆水（約5升），如果她們都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小紅的衣服中殘留的洗衣粉還

有1.5克，小敏的衣服中殘留的洗衣粉還有2克.

（1）請(qǐng)幫助小紅、小敏求出各自衣服中洗衣粉的殘留量y與漂洗次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)洗衣粉的

殘留量降至0.5克時(shí)，便視為衣服漂洗干凈，從節(jié)約用水的角度來看，你認(rèn)為誰的漂洗方法值得提倡，為

什么？

【答案】（1）小紅：y=』，小敏：%=2；（2）小敏.

2xx

【解析】（1）根據(jù)題意可分別設(shè)小紅、小敏洗衣粉殘留量與漂洗次數(shù)解析式為y=&和

X

%=%，函數(shù)分別過（1,1.5）和（1,2）,即可得：仁=1.5,占=2,即得相應(yīng)函數(shù)解析式分別

X

為y=-和必=2；

2xx

（2）令x=2=（）.5,解得x=3,小紅漂洗干凈至少用水3xl0=30L;令%=2=0.5,

2xx

解得：x=4,小敏漂洗干凈至少用水4x5=20L；20<30,從節(jié)約用水來說，

可知小敏的漂洗方法值得提倡.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，根據(jù)題目條件解決問題.

【習(xí)題8】依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù).《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民每月收入不超過

3500元，不需交稅；超過3500元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，都應(yīng)納稅，且根據(jù)超過部分的多少按不同

的稅率納稅，詳細(xì)的稅率如下表：

級(jí)別全月應(yīng)納稅所得額稅率（％）

1不超過1500元的3

2超過1500元至4500元的部分10

3超過4500元至9000元的部分20

4超過9000元至35000元的部分25

.?.

(1)某工廠一名工人2016年5月的收入為4000元，問他應(yīng)交稅款多少元？

(2)設(shè)x表示公民每月收入(單位：元)，y表示應(yīng)交稅款(單位：元)，當(dāng)6000WxW8000時(shí)，請(qǐng)寫出

y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)某公司一名職員2016年8月應(yīng)交稅款600元，問該月他的收入是多少元？

【答案】(1)15；(2)y=10%x-455；(3)9275元.

【解析】(1)月收入4000元，則全月應(yīng)納所得稅額為4000-3500=500元，根據(jù)稅率表，則

應(yīng)交稅款為500x3%=15元；

(2)6000WxW8000時(shí)，全月應(yīng)納所得稅額25004X-350044500,由此可得應(yīng)交稅款分為兩

部分，則有y=15(X)x3%+(x-35(X)-15(X))-10%=10%x-455;

(3)若工資在8000元以下，最高稅款為10%x8000-455=345元，工資在12500元以下，最

高稅款為20%x4500+10%x3000+3%xl500=1245元，可知該職工收入在

8000-12500之間，依題意有345+20%(彳-8000)=600,解得：x=9275,

即這名職工該月收入為9275元.

【總結(jié)】考查分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，納稅問題，注意先判斷所處范圍再進(jìn)行計(jì)算.

【習(xí)題9】如圖，在甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行400米跑步比賽中，路程s(米)與時(shí)間，(秒)之間的函數(shù)關(guān)系的

圖像分別為折線OA8和線段OC,請(qǐng)根據(jù)圖上信息回答下列問題：

(1)先到達(dá)終點(diǎn)；

(2)第秒時(shí)，追上；

(3)比賽全程中，的速度始終保持不變；

(4)寫出優(yōu)勝者在比賽過程中所跑的路程6(米)與時(shí)間/(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式

(4/1、

【答案】（1）乙；