2025屆天津市東麗區(qū)民族中學數(shù)學高三上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆天津市東麗區(qū)民族中學數(shù)學高三上期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)列的通項公式為．則“”是“為遞增數(shù)列”的（）條件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要2．設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則3．復數(shù)的共軛復數(shù)記作，已知復數(shù)對應復平面上的點，復數(shù):滿足.則等于（）A． B． C． D．4．定義兩種運算“★”與“◆”，對任意，滿足下列運算性質：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．5．已知集合，，則（）A． B． C． D．6．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．7．設函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查．畫出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85，90）的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，9．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（即質數(shù)）的和”，如，．在不超過20的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不對10．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個坐位的寬度()，每個座位寬度為，估計彎管的長度，下面的結果中最接近真實值的是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．12．過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點，若為線段的中點，且（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若,則=______,=______.14．命題“”的否定是______．15．西周初數(shù)學家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)能構成勾股數(shù)的概率為__________．16．已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上，則實數(shù)的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設是直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過一個定點.18．（12分）已知關于的不等式解集為（）.（1）求正數(shù)的值；（2）設，且，求證：.19．（12分）2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當務之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費用（百萬元）2361013151821銷量（萬盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，，，并對其進行兩次檢測，當?shù)谝淮螜z測合格后，才能進行第二次檢測．第一次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測過程相互獨立，設經(jīng)過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學期望．附：（1）相關系數(shù)（2），，，．20．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸，且兩坐標系取相同的長度單位.已知曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），直線的極坐標方程：（1）求曲線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的最大值.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，曲線：（為參數(shù)）以原點為極點，軸正半軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）判斷點與直線的位置關系并說明理由；（Ⅱ）設直線與曲線的兩個交點分別為，，求的值.22．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點可知，解得，由此得到若是遞增數(shù)列，則，根據(jù)推出關系可確定結果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”，則，即，化簡得：，又，，，則是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調性求解參數(shù)范圍，屬于基礎題.2、C【解析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題．3、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的幾何意義得出復數(shù)，進而得出，由得出可計算出，由此可計算出.【詳解】由于復數(shù)對應復平面上的點，，則，，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，考查了復數(shù)的坐標表示、共軛復數(shù)以及復數(shù)的除法，考查計算能力，屬于基礎題.4、B【解析】

根據(jù)新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項.【詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.【點睛】本題考查定義新運算，關鍵在于理解，運用新定義進行求值，屬于中檔題.5、B【解析】

求出集合，利用集合的基本運算即可得到結論.【詳解】由，得，則集合，所以，.故選：B.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，利用函數(shù)的性質求出集合是解決本題的關鍵，屬于基礎題.6、D【解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時，最?。藭r由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.7、A【解析】

由求出范圍，結合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關系，即可求解.【詳解】當時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質，整體代換是解題的關鍵，屬于基礎題.8、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù)，同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為：，行駛速度超過的頻率為：．故選：B．【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9、A【解析】

首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結果.【詳解】不超過的素數(shù)有，，，，，，，，共個，從這個素數(shù)中任選個，有種可能；其中選取的兩個數(shù)，其和等于的有，，共種情況，故隨機選出兩個不同的數(shù)，其和等于的概率．故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.10、B【解析】

為彎管，為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個座位的寬度，則設弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認為，即于是，長所以是最接近的，其中選項A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學生的分析問題的能力，屬于基礎題.11、B【解析】

構造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可得到結論.【詳解】設,則函數(shù)的導數(shù),，，即函數(shù)為減函數(shù),,，則不等式等價為，則不等式的解集為,即的解為，，由得或，解得或,故不等式的解集為.故選:.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式，考查學生分析問題解決問題的能力,是難題.12、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質，考查了離心率的求解，同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關系應用，對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】

①根據(jù)換底公式計算即可得解；②根據(jù)同底對數(shù)加法法則，結合①的結果即可求解.【詳解】①由題：,則；②由①可得：.故答案為：①1，②0【點睛】此題考查對數(shù)的基本運算，涉及換底公式和同底對數(shù)加法運算，屬于基礎題目.14、，【解析】

根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結果即可.【詳解】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題，則該命題的否定是：，故答案為：，．【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關系，屬于基礎題．15、【解析】

由組合數(shù)結合古典概型求解即可【詳解】從11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)有種不同的方法，其中能構成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【點睛】本題考查古典概型與數(shù)學文化，考查組合問題，數(shù)據(jù)處理能力和應用意識.16、【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，右準線方程，得到交點坐標代入拋物線方程求解即可．【詳解】解：雙曲線的右準線，漸近線，雙曲線的右準線與漸近線的交點，交點在拋物線上，可得：，解得．故答案為．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質以及拋物線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設點，，，由，，結合斜率公式化簡得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過一個定點.【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設點，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過一個定點.【點睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過定點問題，屬于中檔題.18、（1）1；（2）證明見解析.【解析】

（1）將不等式化為，求解得出，根據(jù)解集確定正數(shù)的值；（2）利用基本不等式以及不等式的性質，得出，，，三式相加，即可得證.【詳解】（1）解：不等式，即不等式∴，而，于是依題意得（2）證明：由（1）知，原不等式可化為∵，∴，同理，三式相加得，當且僅當時取等號綜上.【點睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應用，屬于中檔題.19、（1）0.98;可用線性回歸模型擬合．（2）【解析】

（1）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出，代入相關系數(shù)公式求出，根據(jù)的大小來確定結果；（2）求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率，發(fā)現(xiàn)它們相同，那么經(jīng)過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，服從二項分布，利用二項分布的期望公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，由公式，，∴與的關系可用線性回歸模型擬合；（2）藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率分別為，，，由題意，，.【點睛】本題考查相關系數(shù)的求解，考查二項分布的期望，是中檔題.20、（1）；（2）10【解析】

（1）消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標方程；（2）將代入曲線C的極坐標方程，利用根與系數(shù)的關系，求得，進而得到=，結合三角函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】（1）由題意，曲線C的參數(shù)方程為，消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為，即，又由，代入可得曲線C的極坐標方程為.（2）將代入，得，即，所以=，其中，當時，取最大值，最大值為10.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及曲線的極坐標方程的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于中檔試題.21、（Ⅰ）點在直線上；見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）直線：，即，所以直線的直角坐標方程為，因為，所以點在直線上；（Ⅱ）根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得.【詳解】（Ⅰ）直線：，即，所以直線的直角坐標方程為，因為，所以點在直線上；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的普通方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得，設兩根為，，所以，，故與異號，所以，，所以.【點睛】本題考查在極坐標參數(shù)方程中方程互化，還考查了直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.22、（1）見解析（2）【解析】分析：(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應用常規(guī)法，作出線面角，放在三角形當中來求解.詳解：（Ⅰ）