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文檔簡介
吉林省長春二中2025屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,則拋物線的準線方程為()A. B.C. D.2.點在圓上,點在直線上,則的最小值是()A. B.C. D.3.若方程表示圓,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.4.下列橢圓中,焦點坐標是的是()A. B.C. D.5.下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線,則與的夾角為0°C.已知各項都不為零的數(shù)列{an}滿足an+1-2an=0,則該數(shù)列為等比數(shù)列D.點(π,0)是函數(shù)y=sinx圖象上一點6.在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為()A. B.C. D.7.已知圓,若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A,B,且,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.8.在一次體檢中,發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個單位的職工中體重超過的人員的體重如下(單位:).若規(guī)定超過為顯著超重,從甲、乙兩個單位中體重超過的職工中各抽取1人,則這2人中,恰好有1人顯著超重的概率為()A. B.C. D.9.已知是兩個數(shù)1,9的等比中項,則圓錐曲線的離心率為()A.或 B.或C. D.10.礦山爆破時,在爆破點處炸開的礦石的運動軌跡可看作是不同的拋物線,根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍,這個范圍的邊界可以看作一條拋物線,叫“安全拋物線”,如圖所示.已知某次礦山爆破時的安全拋物線的焦點為,則這次爆破時,礦石落點的最遠處到點的距離為()A. B.2C. D.11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.12.函數(shù)的導數(shù)為()A.B.CD.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設有下列命題:①當,時,不等式恒成立;②函數(shù)在上的最小值為2;③函數(shù)在上的最大值為;④若,,且,則的最小值為其中真命題為________________.(填寫所有真命題的序號)14.已知點和,圓,當圓C與線段沒有公共點時,則實數(shù)m的取值范圍為___________15.已知點為橢圓上的動點,為圓的任意一條直徑,則的最大值是__________16.定義在R上的函數(shù)滿足,其中為自然對數(shù)的底數(shù),,則滿足的a的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,當以為始邊,為終邊的角時,.(1)求的方程(2)過點的直線交于兩點,以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點,線段交于點,求的面積與的面積的比值18.(12分)已知數(shù)列中,數(shù)列的前n項和為滿足.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)在和中插入k個數(shù)構成一個新數(shù)列:,2,,4,6,,8,10,12,,…,其中插入的所有數(shù)依次構成首項和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項和.19.(12分)設為數(shù)列的前n項和,且滿足(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若,且成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和20.(12分)“既要金山銀山,又要綠水青山”.濱江風景區(qū)在一個直徑為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路(如圖所示).在點與圓弧上的一點(不同于A,B兩點)之間設計為直線段小路,在直線段小路的兩側(cè)(注意是兩側(cè))種植綠化帶;再從點到點設計為沿弧的弧形小路,在弧形小路的內(nèi)側(cè)(注意是一側(cè))種植綠化帶(注:小路及綠化帶的寬度忽略不計).(1)設(弧度),將綠化帶總長度表示為的函數(shù);(2)試確定的值,使得綠化帶總長度最大.(弧度公式:,其中為弧所對的圓心角)21.(12分)定義:設是空間的一個基底,若向量,則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標.已知是空間的單位正交基底,是空間的另一個基底,若向量在基底下的坐標為(1)求向量在基底下的坐標;(2)求向量在基底下的模22.(10分)已知圓心為的圓過原點,且直線與圓相切于點.(1)求圓的方程;(2)已知過點的直線的斜率為,且直線與圓相交于兩點.①若,求弦的長;②若圓上存在點,使得成立,求直線的斜率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求出橢圓的右焦點,從而可求拋物線的準線方程.【詳解】,橢圓右焦點坐標為,故拋物線的準線方程為,故選:C.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),一般地,如果拋物線的方程為,則拋物線的焦點的坐標為,準線方程為,本題屬于基礎題.2、B【解析】根據(jù)題意可知圓心,又由于線外一點到已知直線的垂線段最短,結合點到直線的距離公式,即可求出結果.【詳解】由題意可知,圓心,所以圓心到的距離為,所以的最小值為.故選:B.3、D【解析】將方程化為標準式即可.【詳解】方程化為標準式得,則.故選:D.4、B【解析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點即可判斷作答.【詳解】對于A,橢圓的焦點在x軸上,A不是;對于B,橢圓,即,焦點在y軸上,半焦距,其焦點為,B是;對于C,橢圓,即,焦點在y軸上,半焦距,其焦點為,C不是;對于D,橢圓,即,焦點在y軸上,半焦距,其焦點為,D不是.故選:B5、B【解析】四個選項中需要分別利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),向量共線的定義,等比數(shù)列的定義以及三角函數(shù)圖像判斷,根據(jù)題意結合知識點,即可得出結果.【詳解】選項A,由于此對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,并且結合對數(shù)函數(shù)定義域,即可求得結果,所以是真命題;選項B,向量共線,夾角可能是或,所以是假命題;選項C,將式子變形可得,符合等比數(shù)列定義,所以是真命題;選項D,將點代入解析式,等號成立,所以是真命題;故選B.【點睛】本題考查命題真假的判定,根據(jù)題意結合各知識點即可判斷真假,需要熟練掌握對數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、向量夾角以及三角函數(shù)的基本性質(zhì).6、C【解析】求解不等式,利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得:,由幾何概型的概率計算公式可得:在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選:.7、D【解析】根據(jù)圓的割線定理,結合圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為:,半徑,由圓的割線定理可知:,顯然有,或,因為,所以,于是有,因為,所以,而,或,所以,故選:D8、B【解析】列舉出所有選取的情況,再找出滿足題意的情況,根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況,其中是指甲單位抽取1人的體重,代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種,如下所示:,,,,,,,,,,,,,,,其中滿足題意的有6種:,,,,,故抽取的這2人中,恰好有1人顯著超重的概率為:.故選:.9、A【解析】根據(jù)題意可知,當時,根據(jù)橢圓離心率公式,即可求出結果;當時,根據(jù)雙曲線離心率公式,即可求出結果.【詳解】因為是兩個數(shù)1,9的等比中項,所以,所以,當時,圓錐曲線,其離心率為;當時,圓錐曲線,其離心率為;綜上,圓錐曲線的離心率為或.故選:A.10、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線的頂點,結合拋物線的性質(zhì)求出p值即可計算作答.【詳解】依題意,拋物線的頂點坐標為,則拋物線的頂點到焦點的距離為,p>0,解得,于是得拋物線的方程為,由得,,即拋物線與軸的交點坐標為,因此,,所以礦石落點的最遠處到點的距離為.故選:D11、B【解析】求出函數(shù)的定義域,解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為,由,可得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:B.12、B【解析】由導數(shù)運算法則可求出.【詳解】,.故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可;②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可;③分子、分母同除,利用基本不等式即可判斷;④設,,利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于,,故恒成立,當且僅當時取等號,所以①正確;,當且僅當,即時取等號,由于,所以②不正確;因為,所以,當且僅當時取等號,而,即函數(shù)的最大值為,所以③正確;設,,則,,,,,所以,當且僅當,時取等號,故的最小值為,所以④正確.故答案為:①③④【點睛】易錯點睛:利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù);(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.14、【解析】當點和都在圓的內(nèi)部時,結合點與圓的位置關系得出實數(shù)m的取值范圍,再由圓心到直線的距離大于半徑得出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】當點和都在圓的內(nèi)部時,,解得或直線的方程為,即圓心到直線的距離為,當圓心到直線的距離大于半徑時,,且.綜上,實數(shù)m的取值范圍為.故答案為:15、【解析】設點,則且,計算得出,再利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)即可求得的最大值.【詳解】解:圓的圓心為,半徑長為,設點,由點為橢圓上的動點,可得:且,由為圓的任意一條直徑可得:,,,,,當時,取得最大值,即.故答案為:.16、【解析】設,求出其導數(shù)結合條件得出在上單調(diào)遞減,將問題轉(zhuǎn)化為求解,由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設,則由,則所以在上單調(diào)遞減.又由,即,即,所以故答案為:三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)過點作,垂足為,過點作,垂足為,根據(jù)拋物線的定義,得到,求得,即可求得拋物線的方程;(2)設直線的方程為,聯(lián)立方程組求得,得到,由拋物線的定義得到,根據(jù),求得,設,得到,進而求得,因為為的中點,求得,即可求解.【小問1詳解】解:由題意,拋物線,可得其準線方程,如圖所示,過點作,垂足為,過點作,垂足為,因為時,,可得,又由拋物線的定義,可得,解得,所以拋物線的方程為.【小問2詳解】解:由拋物線,可得,設,因為直線的直線過點,設直線的方程為聯(lián)立方程組,整理得,可得,則,因為為的中點,所以,由拋物線的定義得,設圓與直線相切于點,因為交于點,所以且,所以,即,解得,設,則,且,可得,因為,所以點為的中點,所以,又因為為的中點,可得,所以,即的面積與的面積的比值為.18、(1)證明見解析;(2)2735.【解析】(1)利用給定的遞推公式結合“當時,”計算推理作答.(2)插入所有項構成數(shù)列,,再確定數(shù)列的前50項中含有數(shù)列和的項數(shù)計算作答.【小問1詳解】依題意,,當時,,兩式相減得:,則有,而,即,所以數(shù)列是以2為首項,2為公式的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知,,即,插入的所有項構成數(shù)列,,數(shù)列中前插入數(shù)列的項數(shù)為:,而前插入數(shù)列的項數(shù)為45,因此,數(shù)列的前50項中包含數(shù)列前9項,數(shù)列前41項,所以.19、(1)證明見解析;(2)答案見解析.【解析】(1)利用給定的遞推公式,結合“當時,”變形,再利用等差中項的定義推理作答.(2)利用(1)的結論,利用等比中項的定義列式計算,再利用等差數(shù)列前n項和公式計算作答.【小問1詳解】依題意,,當時,有,兩式相減得:,同理可得,于是得,即,而當時,,所以數(shù)列為等差數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知數(shù)列為等差數(shù)列,設其首項為,公差為d,依題意,,解得或,當時,,當時,.20、(1);(2).【解析】(1)在直角三角形中,求出,在扇形中利用弧長公式求出弧的長度,則可得函數(shù);(2)利用導數(shù)可求得結果.【詳解】(1)如圖,連接在直角三角形中,所以由于則弧的長為(2)由(1)可知,令得,因為所以,當單調(diào)遞增,當單調(diào)遞減,所以當時,使得綠化帶總長度最大.【點睛】關鍵點點睛:仔細審題,注意題目中的關鍵詞“兩側(cè)”和“一側(cè)”是解題關鍵.21、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)向量在基底下的坐標為,得出向量在基底下的坐標;(2)根據(jù)向量在基底下的坐標直接計算模即可【小問1詳解】因為向量在基底下坐標為,則,所以向量在基底下的坐標為.【小問2詳解】因為向量在基底下的坐標為,所以向量在基底下的模為.22、(1);(2)①
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