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文檔簡介
2025屆廣東省揭陽市普寧華美實驗學校高三數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知正項等比數(shù)列的前項和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.3.設、,數(shù)列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立B.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立C.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立D.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立4.已知等比數(shù)列的前項和為,若,且公比為2,則與的關系正確的是()A. B.C. D.5.設,集合,則()A. B. C. D.6.已知,,則()A. B. C.3 D.47.連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為,連接4個焦點的四邊形的面積為,則當取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.已知點,是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點,且在點處的切線與直線AB平行,則()A.,b為任意非零實數(shù) B.,a為任意非零實數(shù)C.a(chǎn)、b均為任意實數(shù) D.不存在滿足條件的實數(shù)a,b9.等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側棱,直角邊AE繞斜邊AB旋轉,則在旋轉的過程中,有下列說法:(1)四面體EBCD的體積有最大值和最小值;(2)存在某個位置,使得;(3)設二面角的平面角為,則;(4)AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P,則點P的軌跡為橢圓.其中,正確說法的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.410.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值是()A.8 B.32 C.64 D.12811.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.12.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設,則在區(qū)間上的取值范圍為_______.14.已知函數(shù),則曲線在點處的切線方程為___________.15.設為定義在上的偶函數(shù),當時,(為常數(shù)),若,則實數(shù)的值為______.16.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內切圓面積的最大值是_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的模為______.18.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,且過點.求橢圓的方程;已知是橢圓的內接三角形,①若點為橢圓的上頂點,原點為的垂心,求線段的長;②若原點為的重心,求原點到直線距離的最小值.19.(12分)隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展,我國對于環(huán)境保護越來越重視,企業(yè)的環(huán)保意識也越來越強.現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng),并制定如下方案:每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用預算定為1200萬元,日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng),若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標,則立即檢查污染源處理系統(tǒng);若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標,則立即同時啟動另外2套系統(tǒng)進行1小時的監(jiān)測,且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標,也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設每個時間段(以1小時為計量單位)被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標的概率均為,且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標情況相互獨立.(1)當時,求某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行成本為300元/小時(不啟動則不產(chǎn)生運行費用),除運行費用外,所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實施,問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)?并說明理由.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)在處的切線方程;(2)若函數(shù)沒有零點,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以為極點,軸正半軸為極軸的極坐標中,曲線:.(1)當時,求與的交點的極坐標;(2)直線與曲線交于,兩點,線段中點為,求的值.22.(10分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),.(1)若曲線在點處的切線與直線平行,求的值;(2)若,問函數(shù)有無極值點?若有,請求出極值點的個數(shù);若沒有,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若,則,故或,當時,直線,直線,此時兩條直線平行;當時,直線,直線,此時兩條直線平行.所以當時,推不出,故“”是“”的不充分條件,當時,可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷,前者應根據(jù)系數(shù)關系來考慮,后者依據(jù)兩個條件之間的推出關系,本題屬于中檔題.2、C【解析】
由可得,故可求的值.【詳解】因為,所以,故,因為正項等比數(shù)列,故,所以,故選C.【點睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質:(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.3、D【解析】
取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調情況,進而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調遞增,且不存在最大值,故排除AB選項;由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個不動點,且,,因為當時,數(shù)列單調遞增,則;當時,數(shù)列單調遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運用,考查邏輯推理能力,屬于難題.4、C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用,屬于基礎題.5、B【解析】
先化簡集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算,意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.6、A【解析】
根據(jù)復數(shù)相等的特征,求出和,再利用復數(shù)的模公式,即可得出結果.【詳解】因為,所以,解得則.故選:A.【點睛】本題考查相等復數(shù)的特征和復數(shù)的模,屬于基礎題.7、D【解析】
先求出四個頂點、四個焦點的坐標,四個頂點構成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點構成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點的坐標為,四個焦點的坐標為,四個頂點形成的四邊形的面積,四個焦點連線形成的四邊形的面積,所以,當取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點,焦點,菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.8、A【解析】
求得的導函數(shù),結合兩點斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡可得,為任意非零實數(shù).【詳解】依題意,在點處的切線與直線AB平行,即有,所以,由于對任意上式都成立,可得,為非零實數(shù).故選:A【點睛】本題考查導數(shù)的運用,求切線的斜率,考查兩點的斜率公式,以及化簡運算能力,屬于中檔題.9、C【解析】
解:對于(1),當CD⊥平面ABE,且E在AB的右上方時,E到平面BCD的距離最大,當CD⊥平面ABE,且E在AB的左下方時,E到平面BCD的距離最小,∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值,故(1)正確;對于(2),連接DE,若存在某個位置,使得AE⊥BD,又AE⊥BE,則AE⊥平面BDE,可得AE⊥DE,進一步可得AE=DE,此時E﹣ABD為正三棱錐,故(2)正確;對于(3),取AB中點O,連接DO,EO,則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角,為θ,直角邊AE繞斜邊AB旋轉,則在旋轉的過程中,θ∈[0,π),∠DAE∈[,π),所以θ≥∠DAE不成立.(3)不正確;對于(4)AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P,P到BC的距離為:dP﹣BC,因為<1,所以點P的軌跡為橢圓.(4)正確.故選:C.點睛:該題考查的是有關多面體和旋轉體對應的特征,以幾何體為載體,考查相關的空間關系,在解題的過程中,需要認真分析,得到結果,注意對知識點的靈活運用.10、C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,逐次計算,結合判斷條件,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行上述程序框圖,可得第1次循環(huán),滿足判斷條件,;第2次循環(huán),滿足判斷條件,;第3次循環(huán),滿足判斷條件,;第4次循環(huán),滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出.故選:C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認真審題,逐次計算,結合判斷條件求解是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.11、D【解析】
根據(jù)框圖,模擬程序運行,即可求出答案.【詳解】運行程序,,
,,,,,結束循環(huán),故輸出,故選:D.【點睛】本題主要考查了程序框圖,循環(huán)結構,條件分支結構,屬于中檔題.12、B【解析】
由題意首先確定幾何體的空間結構特征,然后結合空間結構特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長為正方體挖去一個以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積應注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面,計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算,而表面積是側面積與底面圓的面積之和.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉化為關于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.14、【解析】
根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用點斜式求切線方程.【詳解】因為,所以,又故切線方程為,整理為,故答案為:【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于容易題.15、1【解析】
根據(jù)為定義在上的偶函數(shù),得,再根據(jù)當時,(為常數(shù))求解.【詳解】因為為定義在上的偶函數(shù),所以,又因為當時,,所以,所以實數(shù)的值為1.故答案為:1【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.16、【解析】令直線:,與橢圓方程聯(lián)立消去得,可設,則,.可知,又,故.三角形周長與三角形內切圓的半徑的積是三角形面積的二倍,則內切圓半徑,其面積最大值為.故本題應填.點睛:圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)幾何法:若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質來解決,這就是幾何法.(2)代數(shù)法:若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可首先建立起目標函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,求函數(shù)最值的常用方法有配方法,判別式法,重要不等式及函數(shù)的單調性法等.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、1【解析】
整理已知利用復數(shù)的除法運算方式計算,再由求模公式得答案.【詳解】因為,即所以的模為1故答案為:1【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算與求模,屬于基礎題.18、;①;②.【解析】
根據(jù)題意列出方程組求解即可;①由原點為的垂心可得,軸,設,則,,根據(jù)求出線段的長;②設中點為,直線與橢圓交于,兩點,為的重心,則,設:,,,則,當斜率不存在時,則到直線的距離為1,,由,則,,,得出,根據(jù)求解即可.【詳解】解:設焦距為,由題意知:,因此,橢圓的方程為:;①由題意知:,故軸,設,則,,,解得:或,,不重合,故,,故;②設中點為,直線與橢圓交于,兩點,為的重心,則,當斜率不存在時,則到直線的距離為1;設:,,,則,,則,則:,,代入式子得:,設到直線的距離為,則時,;綜上,原點到直線距離的最小值為.【點睛】本題考查橢圓的方程的知識點,結合運用向量,韋達定理和點到直線的距離的知識,屬于難題.19、(1);(2)不會超過預算,理由見解析【解析】
(1)求出某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,可得某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)設某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運行費用為元,則的可能取值為900,1500.求得,,求得其分布列和期望,對其求導,研究函數(shù)的單調性,可得期望的最大值,從而得出結論.【詳解】(1)某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為.(2)設某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運行費用為元,則的可能取值為900,1500.,令,則當時,,在上單調遞增;當時,,在上單調遞減,的最大值為,實施此方案,最高費用為(萬元),,故不會超過預算.【點睛】本題考查獨立重復事件發(fā)生的概率、期望,及運用求導函數(shù)研究期望的最值,由根據(jù)期望值確定方案,此類題目解決的關鍵在于將生活中的量轉化為數(shù)學中和量,屬于中檔題.20、(1).(2)【解析】
(1)利用導數(shù)的幾何意義求解即可;(2)利用導數(shù)得出的單調性以及極值,從而得出的圖象,將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題,由
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