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文檔簡介
2025屆廣東廣州市增城區(qū)數(shù)學高三第一學期期末監(jiān)測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.2.已知是雙曲線的左、右焦點,是的左、右頂點,點在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的漸近線方程為()A. B. C. D.3.記為等差數(shù)列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-134.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.5.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級,一級空氣質(zhì)量最好,一級和二級都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達標天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.6.已知向量,滿足,在上投影為,則的最小值為()A. B. C. D.7.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.8.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.259.已知,且,則的值為()A. B. C. D.10.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.11.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.3312.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)、分別為橢圓:的左、右兩個焦點,過作斜率為1的直線,交于、兩點,則________14.正四面體的一個頂點是圓柱上底面的圓心,另外三個頂點圓柱下底面的圓周上,記正四面體的體積為,圓柱的體積為,則的值是______.15.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個元素,則實數(shù)a的值為_______.16.如圖是某幾何體的三視圖,俯視圖中圓的兩條半徑長為2且互相垂直,則該幾何體的體積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.18.(12分)已知點,直線與拋物線交于不同兩點、,直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、,連接,點關(guān)于直線的對稱點為點,連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.19.(12分)已知點是拋物線的頂點,,是上的兩個動點,且.(1)判斷點是否在直線上?說明理由;(2)設(shè)點是△的外接圓的圓心,點到軸的距離為,點,求的最大值.20.(12分)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),為的前n項和,求證:.21.(12分)已知在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若,,且.(1)求的值;(2)求的面積.22.(10分)設(shè)橢圓,直線經(jīng)過點,直線經(jīng)過點,直線直線,且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點,且直線軸,求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0,四邊形為平行四邊形,求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形能否為矩形,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.2、D【解析】
根據(jù)為等腰三角形,可求出點P的坐標,又由的斜率為可得出關(guān)系,即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖,因為為等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.3、B【解析】
由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,前項和公式,考查了學生運算求解能力.4、A【解析】
根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.6、B【解析】
根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對所求模長進行平方運算,可將問題轉(zhuǎn)化為模長和夾角運算,代入即可求得.【詳解】在上投影為,即又本題正確選項:【點睛】本題考查向量模長的運算,對于含加減法運算的向量模長的求解,通常先求解模長的平方,再開平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過夾角取值范圍的分析,得到的最小值.7、A【解析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當且僅當時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算,屬于中檔題.8、D【解析】
由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項可求得首項,即可求出前n項和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項和.故的最大值為.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用,考查求前n項和的最值問題,同時還考查了余弦定理的應(yīng)用.9、A【解析】
由及得到、,進一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.10、A【解析】
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)相等的條件,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,是基礎(chǔ)題.11、C【解析】
依次遞推求出得解.【詳解】n=1時,,n=2時,,n=3時,,n=4時,,n=5時,.故選:C【點睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、C【解析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由橢圓的標準方程,求出焦點的坐標,寫出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出弦長,利用定義可得,進而求出?!驹斀狻坑芍?,焦點,所以直線:,代入得,即,設(shè),,故由定義有,,所以?!军c睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長的求法,注意直線過焦點,位置特殊,采取合適的弦長公式,簡化運算。14、【解析】
設(shè)正四面體的棱長為,求出底面外接圓的半徑與高,代入體積公式求解.【詳解】解:設(shè)正四面體的棱長為,則底面積為,底面外接圓的半徑為,高為.∴正四面體的體積,圓柱的體積.則.故答案為:.【點睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法,考查計算能力,屬于中檔題.15、2【解析】
利用AB中有且只有一個元素,可得,可求實數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素,所以,即.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,集合交集的運算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).16、20【解析】
由三視圖知該幾何體是一個圓柱與一個半球的四分之三的組合,利用球體體積公式、圓柱體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知,該幾何體是由一個半徑為2的半球的四分之三和一個底面半徑2、高為4的圓柱組合而成,其體積為.故答案為:20.【點睛】本題考查三視圖以及幾何體體積,考查學生空間想象能力以及數(shù)學運算能力,是一道容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用分段討論法去掉絕對值,結(jié)合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最小值,把問題化為,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)當時,則所以不等式的解集為.(2)等價于,而,故等價于,所以或,即或,所以實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度一般.18、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)點、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,求出點、的坐標,利用直線、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點到直線、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長公式計算出,即可得出關(guān)于的表達式,結(jié)合不等式可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)點、,則,直線的方程為:,由,消去并整理得,由韋達定理可知,,,代入直線的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)設(shè)點到直線、的距離分別為、,則,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韋達定理得,,,得,設(shè)點到直線的高為,則,,,,解得,因此,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與直線平行的證明,考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是難題.19、(1)不在,證明見詳解;(2)【解析】
(1)假設(shè)直線方程,并于拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達定理,計算,可得,然后驗證可得結(jié)果.(2)分別計算線段中垂線的方程,然后聯(lián)立,根據(jù)(1)的條件可得點的軌跡方程,然后可得焦點,結(jié)合拋物線定義可得,計算可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)直線方程,根據(jù)題意可知直線斜率一定存在,則則由所以將代入上式化簡可得,所以則直線方程為,所以直線過定點,所以可知點不在直線上.(2)設(shè)線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為,直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由,所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得:線段的中垂線的方程為則由(1)可知:所以即,所以點軌跡方程為焦點為,所以當三點共線時,有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用,第(1)問中難點在于計算處,第(2)問中關(guān)鍵在于得到點的軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程,結(jié)合韋達定理,屬難題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用與的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項求和法即可求解.【詳解】解析:(1)當時,;當,,可得,又∵當時也成立,;(2),【點睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項求和法,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2)【解析】
(1)將代入等式,結(jié)合正弦定理將邊化為角,再將及代入,即可求得的值;(2)根據(jù)(1)中的值可求得和,進而可得,由三角形面積公式即可求解.【詳解】(1)由,得,由正弦定理將邊化為角可得,∵,∴,∴,化簡可得,∴解得.(2)∵在中,,∴,∴,∴,∴.【點睛】本題考查了正弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用,正弦差角公式的應(yīng)用,三角形面積公式求法,屬于基
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