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文檔簡介

云南省大理州大理市下關第一中學2025屆數(shù)學高三上期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.2.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D.3.正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點,則()A. B.1 C. D.24.已知函數(shù),若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知正四面體的棱長為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.6.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.7.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.8.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.259.設一個正三棱柱,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點,算一次爬行,若它選擇三個方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.10.一物體作變速直線運動,其曲線如圖所示,則該物體在間的運動路程為()m.A.1 B. C. D.211.已知為一條直線,為兩個不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則12.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有點的()A.橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再向左平移個單位長度B.橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再向右平移個單位長度C.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位長度D.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向右平移個單位長度二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,且,則________.14.若在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是_______15.若,則__________.16.已知,則_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)證明:.18.(12分)選修4—5;不等式選講.已知函數(shù).(1)若的解集非空,求實數(shù)的取值范圍;(2)若正數(shù)滿足,為(1)中m可取到的最大值,求證:.19.(12分)設函數(shù),(1)當,,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值為1,求證:.20.(12分)如圖1,已知四邊形BCDE為直角梯形,,,且,A為BE的中點將沿AD折到位置如圖,連結PC,PB構成一個四棱錐.(Ⅰ)求證;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大??;②在棱PC上存在點M,滿足,使得直線AM與平面PBC所成的角為,求的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)曲線在點處的切線斜率為.(i)求;(ii)若,求整數(shù)的最大值.22.(10分)在極坐標系中,曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,設與交于、兩點,中點為,的垂直平分線交于、.以為坐標原點,極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.(1)求的直角坐標方程與點的直角坐標;(2)求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設,根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設,,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當時,;當時,;綜上所述:.故選:C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意的兩種情況.2、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),排除選項B;又,,所以排除選項A、C,故選D.3、B【解析】

根據(jù)可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為,得出,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解:依題意、是函數(shù)的極值點,也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列,所以∴.故選:B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標和性質(zhì)以應用,屬于中檔題.4、C【解析】

求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由得,在時,是增函數(shù),是增函數(shù),是增函數(shù),∴是增函數(shù),∴由得,解得.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查解函數(shù)不等式,解題關鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性,解題時可先確定函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)求解.5、A【解析】

如圖設平面,球心在上,根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,重心的性質(zhì),結合已知求出的值.【詳解】如圖設平面,球心在上,由正四面體的性質(zhì)可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因為為重心,因此,則,因此,因此,則,故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質(zhì),考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質(zhì),屬于中檔題.6、A【解析】

首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設中點為,連接,,可知,,同時易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算,屬于基礎題.7、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結合即可得到結論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當直線經(jīng)過點時最大,所以,故選D.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用目標函數(shù)的幾何意義,結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.8、C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當時,,于是有,則.故選:C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9、D【解析】

由題意,設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意,設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當時,,故選:D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題,關鍵在于運用遞推的知識,得出相鄰的項的關系,這是常用的方法,屬于難度題.10、C【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運動路程可用定積分表示,計算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運動的路程公式,可得.所以物體在間的運動路程是.故選:C【點睛】本題考查了定積分的實際應用,考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結合,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】A.若,則或,故A錯誤;B.若,則或故B錯誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.12、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關系,即可容易求得.【詳解】為得到,將橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),故可得;再將向左平移個單位長度,故可得.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移,涉及誘導公式的使用,屬基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)垂直向量的坐標表示可得出關于實數(shù)的等式,即可求得實數(shù)的值.【詳解】,且,則,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù),涉及垂直向量的坐標表示,考查計算能力,屬于基礎題.14、【解析】

由題意可得導數(shù)在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當時,顯然,符合題意;當時,在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.15、【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數(shù)公式可得,兩邊平方,由同角三角函數(shù)基本關系式,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算得解.【詳解】,得,在等式兩邊平方得,解得.故答案為:.【點睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)基本關系式,二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎題.16、【解析】

對原方程兩邊求導,然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導,得,令,則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式,考查利用導數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),.(Ⅱ)見解析【解析】

(1)由,分和兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由題,得,利用等比數(shù)列求和公式,即可得到本題答案.【詳解】(Ⅰ)解:由題,得當時,,得;當時,,整理,得.數(shù)列是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,,;(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,,故.故得證.【點睛】本題主要考查根據(jù)的關系式求通項公式以及利用等比數(shù)列的前n項和公式求和并證明不等式,考查學生的運算求解能力和推理證明能力.18、(1);(2)見解析.【解析】試題分析:(1)討論三種情況去絕對值符號,可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因為,要證,只需證,即證,只需證即可得結果.試題解析:(1)去絕對值符號,可得所以,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.(2)由(1)知,,所以.因為,所以要證,只需證,即證,即證.因為,所以只需證,因為,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2xy設:證明:x+y-2xy==令,∴原式====當時,19、(1)或;(2)證明見解析【解析】

(1)將化簡,分類討論即可;(2)由(1)得,,展開后再利用基本不等式即可.【詳解】(1)當時,,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根據(jù),當且僅當時,等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題,考查學生基本的計算能力,是一道基礎題.20、Ⅰ詳見解析;Ⅱ①,②或.【解析】

Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB,這樣就可以證明出;Ⅱ以點A為坐標原點,分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,可以求出相應點的坐標,求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量,利用空間向量的數(shù)量積,求出二面角的大??;求出平面PBC的法向量,利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明:Ⅰ在圖1中,,,為平行四邊形,,,,當沿AD折起時,,,即,,又,平面PAB,又平面PAB,.解:Ⅱ以點A為坐標原點,分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,由于平面ABCD則0,,0,,1,,0,,1,1,,1,,0,,設平面PBC的法向量為y,,則,取,得0,,設平面PCD的法向量b,,則,取,得1,,設二面角的大小為,可知為鈍角,則,.二面角的大小為.設AM與面PBC所成角為,0,,1,,,,平面PBC的法向量0,,直線AM與平面PBC所成的角為,,解得或.【點睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直,考查了利用向量數(shù)量積,求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點問題.21、(1)在上增;在上減;(2)(i);(ii)2【解析】

(1)求導求出,對分類討論,求出的解,即可得出結論;(2)(i)由,求出的值;(ii)由(i)得所求問題轉(zhuǎn)化為,恒成立,設,,只需,根據(jù)的單調(diào)性,即可求解.【詳解】(1)當時,,即在上增;當時,,,,,即在上增;在上減;(2)(i),.(ⅱ),即,即,只需.當時,,在單調(diào)遞增,所以滿足題意;當時,,,,所以在上減,在上增,令,..在單調(diào)遞減,所以所以在上單調(diào)遞減,,綜上可知,整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查函數(shù)導數(shù)的綜合應用,涉及函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式恒成立,考查分類討論思想,屬于中檔題.22、(1),;(2)見解析.【解析】

(1)將曲線的極坐標方程變形為,再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,將直線的方程與曲線的方程

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