2025屆天津市新四區(qū)示范校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆天津市新四區(qū)示范校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且2.下列說(shuō)法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實(shí)數(shù),“”是“”的充分不必要條件3.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元4.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個(gè)表面中任選個(gè),則選取的個(gè)表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.5.已知為圓:上任意一點(diǎn),,若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C.() D.()6.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.7.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.如圖,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.9.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn),漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.11.已知向量,(其中為實(shí)數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知直線:與圓:交于,兩點(diǎn),與平行的直線與圓交于,兩點(diǎn),且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號(hào)有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為_(kāi)_______.14.已知,則_____15.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集是,則的值為_(kāi)____.16.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,且,則面積的最大值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),證明:對(duì);(2)若函數(shù)在上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍。18.(12分)設(shè),,其中.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)對(duì),證明:恒為定值.19.(12分)已知函數(shù),,使得對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根,且,求證:.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且軸,直線交軸于點(diǎn),,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn),且滿足,求的面積.21.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)對(duì)及,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.2、D【解析】

由特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題可判斷選項(xiàng)A;可能相交,可判斷B選項(xiàng);利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯(cuò)誤;,,則可能相交,故B錯(cuò)誤;若,則,所以,故,所以C錯(cuò)誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱(chēng)命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.3、D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對(duì)數(shù),再求出四個(gè)面中任選2個(gè)的方法數(shù),從而可計(jì)算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個(gè)面中任選個(gè)面共有種不同的選法,而選取的個(gè)表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù).5、B【解析】

如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.6、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn),由拋物線的定義可知,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.7、A【解析】

用排除法,通過(guò)函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項(xiàng);由于,所以,排除C選項(xiàng);由于當(dāng)時(shí),,排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.8、D【解析】

先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.10、B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為,可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.再把點(diǎn)代入,求得k的值,可得要求的雙曲線的方程.【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.又在雙曲線上,則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程,雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個(gè)條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).12、D【解析】

求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時(shí)滿足條件,根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點(diǎn)到直線的距離公式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式定理,求出含的系數(shù)和含的系數(shù),相乘即可.【詳解】的展開(kāi)式中,所求項(xiàng)為:,的系數(shù)為.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

化簡(jiǎn)得,利用周期即可求出答案.【詳解】解:,∴函數(shù)的最小正周期為6,∴,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)題意可知的兩根為,再根據(jù)解集的區(qū)間端點(diǎn)得出參數(shù)的關(guān)系,再求解即可.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù),關(guān)于的不等式的解集是的兩根為:和;所以有:且;且;;故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的解集與參數(shù)之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到,再由余弦定理得到,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出,最后利用面積公式得到,由基本不等式求出的取值范圍,即可得到面積的最值;【詳解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴,∴面積的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面積公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)證明;(2)【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得函數(shù)的最小值,得到要證明的結(jié)論;(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解,法一:對(duì)a分類(lèi)討論,分別研究a的不同取值下,導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域,從而得到結(jié)論.法二:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域,再利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)存在極值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,于是,.又因?yàn)椋?dāng)時(shí),且.故當(dāng)時(shí),,即.所以,函數(shù)為上的增函數(shù),于是,.因此,對(duì),;(2)方法一:由題意在上存在極值,則在上存在零點(diǎn),①當(dāng)時(shí),為上的增函數(shù),注意到,,所以,存在唯一實(shí)數(shù),使得成立.于是,當(dāng)時(shí),,為上的減函數(shù);當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù);所以為函數(shù)的極小值點(diǎn);②當(dāng)時(shí),在上成立,所以在上單調(diào)遞增,所以在上沒(méi)有極值;③當(dāng)時(shí),在上成立,所以在上單調(diào)遞減,所以在上沒(méi)有極值,綜上所述,使在上存在極值的的取值范圍是.方法二:由題意,函數(shù)在上存在極值,則在上存在零點(diǎn).即在上存在零點(diǎn).設(shè),,則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).即的值域?yàn)椋?,?dāng)實(shí)數(shù)時(shí),在上存在零點(diǎn).下面證明,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在極值.事實(shí)上,當(dāng)時(shí),為上的增函數(shù),注意到,,所以,存在唯一實(shí)數(shù),使得成立.于是,當(dāng)時(shí),,為上的減函數(shù);當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù);即為函數(shù)的極小值點(diǎn).綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在極值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,涉及函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,考查構(gòu)造法的應(yīng)用,是一道綜合題.18、(1)1(2)1【解析】分析:(1)當(dāng)時(shí)可得,可得.(2)先得到關(guān)系式,累乘可得,從而可得,即為定值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒為定值1.點(diǎn)睛:本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算,解題時(shí)要注意所給出的的定義,并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由于運(yùn)算量較大,解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性,避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.19、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)根據(jù)題意,在上單調(diào)遞減,求導(dǎo)得,分類(lèi)討論的單調(diào)性,結(jié)合題意,得出的解析式;(2)由為方程的兩個(gè)實(shí)根,得出,,兩式相減,分別算出和,利用換元法令和構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求出,即可證出結(jié)論.【詳解】(1)根據(jù)題意,對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),都有恒成立.則在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,?dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減.,當(dāng)時(shí),由,有,此時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,綜上,,所以.(2)由為方程的兩個(gè)實(shí)根,得,兩式相減,可得,因此,令,由,得,則,構(gòu)造函數(shù).則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,即,可知,故,命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的解析式、以及利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想、解題分析能力和計(jì)算能力.20、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)離心率以及,即可列方程求得,則問(wèn)題得解;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的,即可求得參數(shù),則三角形面積得解.【詳解】(1)設(shè),由題意可得.因?yàn)槭堑闹形痪€,且,所以,即,因?yàn)檫M(jìn)而得,所以橢圓方程為(2)由已知得兩邊平方整理可得.當(dāng)直線斜率為時(shí),顯然不成立.直線斜率不為時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立消去,得,所以,由得將代入整理得,展開(kāi)得,整理得,所以.即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的方程,以及橢圓三角形面積的求解,屬綜合中檔題.21、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

詳解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),由,解得.所以不等式的解集為.(Ⅱ)因?yàn)椋?由題意知對(duì),,即,因?yàn)?,所以,解?【點(diǎn)睛】⑴絕對(duì)值不等式解法的基本思路是:去掉絕對(duì)值號(hào),把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解,轉(zhuǎn)化的方法一般有:①絕對(duì)值定義法;②平方法;③零點(diǎn)區(qū)域法.⑵不等式的恒成

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