內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市集寧區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市集寧區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.2．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.3．已知圓，過(guò)點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度與最短弦的長(zhǎng)度比值為5∶4，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.64．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓上不存在點(diǎn)，使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.6．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A. B.C. D.7．若集合，，則A. B.C. D.8．若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.1010．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則11．設(shè)為實(shí)數(shù)，則曲線：不可能是（）A.拋物線 B.雙曲線C.圓 D.橢圓12．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓平分圓的周長(zhǎng),則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)___________14．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為_(kāi)_____.15．直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則______16．已知向量，，若與垂直，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且B，A，C成等差數(shù)列.（1）求A的大?。唬?）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).19．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值20．（12分）已知圓，圓心在直線上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線被圓截得的弦的長(zhǎng)21．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和是，求證：.22．（10分）已知.（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角內(nèi)角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，，若，.求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.2、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.3、C【解析】由題意，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)10，則最短弦的長(zhǎng)度為8，進(jìn)而可得，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度與最短弦的長(zhǎng)度比值為5∶4，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)10，則最短弦的長(zhǎng)度為8，所以由弦長(zhǎng)公式有，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.4、C【解析】點(diǎn)P取端軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，使得∠F1PF2是最大角．已知橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2是鈍角，可得b≥c，利用離心率計(jì)算公式即可得出【詳解】∵點(diǎn)P取端軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，使得∠F1PF2是最大角已知橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2是鈍角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).5、B【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)并代入到方程中，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過(guò)點(diǎn)且，將點(diǎn)代入方程，故離心率為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知點(diǎn)在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目6、C【解析】采用疊加法求出，由可得，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)分析在或6取到最小值，代值運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，，式相加可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)取到，但，，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，所以的最小值為.故選：C7、A【解析】通過(guò)解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關(guān)系示意圖，可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋獠坏仁郊?，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由條件結(jié)合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結(jié)合可得當(dāng)點(diǎn)不為雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，可得，即當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B9、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，解得；故選：C10、D【解析】根據(jù)空間里面直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，若，則或相交，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項(xiàng)正確.故選：D.11、A【解析】根據(jù)圓的方程、橢圓的方程、雙曲線的方程和拋物線的方程特征即可判斷.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)榍€C的方程中都是二次項(xiàng)，所以根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征曲線C不可能是拋物線，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，曲線C為圓，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)且時(shí)，曲線C為橢圓，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.12、C【解析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，這兩個(gè)事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，故錯(cuò)誤；C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是紅球，兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，故正確D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】根據(jù)兩圓的公共弦過(guò)圓的圓心即可獲解【詳解】?jī)蓤A相減得公共弦所在的直線方程為由題知兩圓的公共弦過(guò)圓的圓心,所以即,又,所以到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為故答案為:614、【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組得到最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z最大，聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)，則取得最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是線性規(guī)劃問(wèn)題，解決線性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想，需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)直線時(shí)，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率比較；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.15、6【解析】利用弦心距、半徑與弦長(zhǎng)的幾何關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離公式即可求弦長(zhǎng).【詳解】由題設(shè)，圓心為，則圓心到直線距離為，又圓的半徑為，故.故答案為：16、【解析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）單調(diào)增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)由求解.（2）將時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，令用導(dǎo)數(shù)法由求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)所以令，解得，所以單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以時(shí)，恒成立，令則令因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故符合要求；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故存在使得則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不符合要求；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故存在使得則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不符合要求.綜上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；18、（1）（2）【解析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合內(nèi)角和定理得出A的大?。唬?）先由余弦定理，結(jié)合，，得到的關(guān)系式，再由的面積為，得到的關(guān)系式，兩式聯(lián)立可求出，進(jìn)而可確定結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)锽，A，C成等差數(shù)列，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，由余弦定理可得：；又的面積為，所以，所以，所以,所以周長(zhǎng)為.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點(diǎn)M，連接，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為20、（1）；（2）【解析】（1）由圓的一般式方程求出圓心代入直線即可求出得值，即可求解；（2）先計(jì)算圓心到直線的距離，利用即可求弦長(zhǎng).【詳解】（1）由圓，可得所以圓心為，半徑又圓心在直線上，即，解得所以圓的一般方程為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，圓心，半徑圓心到直線的距離則直線被圓截得的弦的長(zhǎng)為所以，直線被圓截得弦的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的求法（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長(zhǎng)為，則；（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于，，聯(lián)立直線與圓的方程，消去得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，從而可求出，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)果.21、（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）在等式兩邊同時(shí)除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得的表達(dá)式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，