云南省玉溪市元江縣第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析_第1頁(yè)
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云南省玉溪市元江縣第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái),構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A. B. C. D.2.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A,與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為.若,則()A. B. C. D.3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問(wèn)題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無(wú)袤;上袤四尺,無(wú)廣;高七尺.問(wèn)積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺4.復(fù)數(shù)的虛部為()A.—1 B.—3 C.1 D.25.如圖,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.6.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶(鐵皮厚度忽略不計(jì)),底面直徑為cm,高度為cm,現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球,在能蓋住蓋子的情況下,最多能裝()(附:)A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)7.幻方最早起源于我國(guó),由正整數(shù)1,2,3,……,這個(gè)數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對(duì)角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50508.如圖所示,已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,雙曲線的右支上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.9.已知集合,,則()A. B.C.或 D.10.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是A. B.C. D.11.已知數(shù)列為等比數(shù)列,若,且,則()A. B.或 C. D.12.設(shè)集合,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若x,y滿足,則的最小值為_(kāi)_______.14.已知函數(shù),令,,若,表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則_________15.若,則______.16.設(shè),則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項(xiàng)是1.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,是數(shù)列的前項(xiàng)和,求使成立的正整數(shù)的值.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,證明:當(dāng)時(shí),;(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn),求的值.19.(12分)某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì),健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”,提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度,推出了健身促銷(xiāo)活動(dòng),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi),超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元(不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來(lái)該健身館健身,設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的概率分別為,,健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別為,,且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).(1)設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量(單位:元),求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)此促銷(xiāo)活動(dòng)推出后,健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來(lái)參與健身活動(dòng),以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),預(yù)測(cè)此次促銷(xiāo)活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.20.(12分)某公司為了鼓勵(lì)運(yùn)動(dòng)提高所有用戶的身體素質(zhì),特推出一款運(yùn)動(dòng)計(jì)步數(shù)的軟件,所有用戶都可以通過(guò)每天累計(jì)的步數(shù)瓜分紅包,大大增加了用戶走步的積極性,所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”,統(tǒng)計(jì)了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù),規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”,步數(shù)在8000以下的為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”,采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個(gè)用戶,得到如下列聯(lián)表:運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)男3560女26總計(jì)100(1)(i)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;(ii)據(jù)此列聯(lián)表判斷,能否有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”?(2)將頻率視作概率,從該公司的所有人“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”中任意抽取3個(gè)用戶,求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期望.附:21.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,若,四邊形是平行四邊形,且.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點(diǎn)在線段上,且平面,,,求二面角的余弦值.22.(10分)設(shè)函數(shù),().(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求實(shí)數(shù)a、m的值;(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根?證明你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進(jìn)去的,即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形,且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱(chēng)圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題。2、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形,得為等腰三角形,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出,,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡(jiǎn)即可【詳解】如圖,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作.由拋物線定義知,所以,,,,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題3、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體,此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球,所以為的中點(diǎn),設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.4、B【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算,得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算,虛部的概念,屬于簡(jiǎn)單題.5、D【解析】

先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm,得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm,得到不等式,計(jì)算得到答案.【詳解】由題意,若要裝更多的球,需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切,且相鄰四個(gè)球兩兩相切,這樣,相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體,易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm,每裝兩個(gè)球稱(chēng)為“一層”,這樣裝層球,則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm,若想要蓋上蓋子,則需要滿足,解得,所以最多可以裝層球,即最多可以裝個(gè)球.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.7、C【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對(duì)角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、C【解析】

易得,,又,平方計(jì)算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率的問(wèn)題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.9、D【解析】

首先求出集合,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

依照偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),a﹣1=﹣2a,即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且f(x)是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x);奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù).11、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,通分化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意,數(shù)列為等比數(shù)列,則,又,即,所以,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了推理能力與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】解:;∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5【解析】

先作出可行域,再做直線,平移,找到使直線在y軸上截距最小的點(diǎn),代入即得?!驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線,平移直線,由圖可得,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),直線在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點(diǎn)睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題,是基礎(chǔ)題。14、4【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,求得,,,進(jìn)而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),且,,可得,,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,所以,即,又由表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于中檔試題.15、【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù),進(jìn)一步求出的值.【詳解】解:若,則,即,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):定積分的應(yīng)用,被積函數(shù)的原函數(shù)的求法,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.16、121【解析】

在所給的等式中令,,令,可得2個(gè)等式,再根據(jù)所得的2個(gè)等式即可解得所求.【詳解】令,得,令,得,兩式相加,得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題,難度較易.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,解方程可得首項(xiàng)和公比,可得所求通項(xiàng)公式;(Ⅱ),由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和可得,解方程可得所求值.【詳解】(Ⅰ)等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項(xiàng)是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:則相減可得:化簡(jiǎn)可得:,即為解得:【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,以及方程思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點(diǎn),等價(jià)研究的零點(diǎn),先求導(dǎo)數(shù):,這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn),一個(gè)是a與零,一個(gè)是x與2,當(dāng)時(shí),,沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)時(shí),先減后增,從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件,再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性,即得a的值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),等價(jià)于.設(shè)函數(shù),則.當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減.而,故當(dāng)時(shí),,即.(2)設(shè)函數(shù).在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)時(shí),,沒(méi)有零點(diǎn);(ii)當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.故是在的最小值.①若,即,在沒(méi)有零點(diǎn);②若,即,在只有一個(gè)零點(diǎn);③若,即,由于,所以在有一個(gè)零點(diǎn),由(1)知,當(dāng)時(shí),,所以.故在有一個(gè)零點(diǎn),因此在有兩個(gè)零點(diǎn).綜上,在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),.點(diǎn)睛:利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題,從而構(gòu)建不等式求解.19、(1)見(jiàn)解析,40元(2)6000元【解析】

(1)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況,因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情況,分情況計(jì)算即可(2)根據(jù)(1)結(jié)果求均值.【詳解】解:(1)由題設(shè)知可能取值為0,20,40,60,80,則;;;;.故的分布列為:020406080所以數(shù)學(xué)期望(元)(2)此次促銷(xiāo)活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)為:(元)【點(diǎn)睛】考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法,中檔題.20、(1)(i)填表見(jiàn)解析(ii)沒(méi)有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”(2)詳見(jiàn)解析【解析】

(1)(i)由已給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表,(ii)計(jì)算出后可得;(2)由列聯(lián)表知從運(yùn)動(dòng)達(dá)人中抽取1個(gè)用戶為女用戶的概率為,的取值為,,由二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算出各概率得分布列,由期望公式計(jì)算期望.【詳解】解(1)(i)運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)男352560女142640總計(jì)4951100(ii)由列聯(lián)表得所以沒(méi)有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”(2)由列聯(lián)表知從運(yùn)動(dòng)達(dá)人中抽取1個(gè)用戶為女用戶的概率為,.易知所以的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表,考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查隨機(jī)變量的概率分布列和期望.屬于中檔題.本題難點(diǎn)在于認(rèn)識(shí)到.21、(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,從而B(niǎo)D⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形,由此能證明AB=AD.(Ⅱ)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)O且與CE平行的直線為x軸,以BC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】(Ⅰ)證明:,即,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平面,所以,因?yàn)?,所以平面,所以,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危运倪呅问橇庑?,故;解法一:(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)槠矫?,平面平面于,所以,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,取的中點(diǎn)為,連接,則,因?yàn)槠矫嫫矫妫悦?,以為坐?biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸,

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