北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．當(dāng)圓的圓心到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，（）A B.C. D.2．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.3．已知橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn),則的值為A. B.C. D.4．“”是“函數(shù)在上無(wú)極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.6．已知空間三點(diǎn)，，在一條直線(xiàn)上，則實(shí)數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-27．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能為（）A.外離 B.外切C.內(nèi)含 D.內(nèi)切8．已知命題：若直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線(xiàn)的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.9．已知直線(xiàn)l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A. B.C.﹣1 D.110．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球11．若將雙曲線(xiàn)繞其對(duì)稱(chēng)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，且該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B.C.2 D.12．已知雙曲線(xiàn)的方程為，則下列關(guān)于雙曲線(xiàn)說(shuō)法正確的是（）A.虛軸長(zhǎng)為4 B.焦距為C.焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為4 D.漸近線(xiàn)方程為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，按照以下規(guī)律排列的數(shù)陣中，第i行從左向右第j個(gè)數(shù)記為，如，，則______；令則______14．已知空間向量，，若，則______15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則的面積為_(kāi)__________.16．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn).（1）求過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程；（2）求線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，若的面積為，求直線(xiàn)的方程.19．（12分）已知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且.（1）求該拋物線(xiàn)的方程；（2）若點(diǎn)A在第一象限，且拋物線(xiàn)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)交y軸于點(diǎn)M，求的面積.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于兩點(diǎn).求的最大值.21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）王同學(xué)入讀某大學(xué)金融專(zhuān)業(yè)，過(guò)完年剛好得到紅包6000元，她計(jì)劃以此作為啟動(dòng)資金進(jìn)行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費(fèi)，余款作為資金全部投入下個(gè)月，如此繼續(xù).設(shè)第n個(gè)月月底的投資市值為an.（1）求證：數(shù)列{-5000}為等比數(shù)列；（2）如果王同學(xué)想在第二年過(guò)年的時(shí)候給奶奶買(mǎi)一臺(tái)全身按摩椅（商場(chǎng)標(biāo)價(jià)為12899元），將一年后投資市值全部取出來(lái)是否足夠？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出圓心坐標(biāo)和直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)滿(mǎn)足題意，再利用兩直線(xiàn)垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線(xiàn)垂直時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.2、C【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：C3、C【解析】根據(jù)題意可知，結(jié)合的條件，可知，故選C考點(diǎn)：橢圓和雙曲線(xiàn)性質(zhì)4、B【解析】根據(jù)極值的概念，可知函數(shù)在上無(wú)極值，則方程的，再根據(jù)充分、必要條件判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，可得，若函數(shù)在上無(wú)極值，所以對(duì)于方程，,解得.所以“”是“函數(shù)在上無(wú)極值”的必要不充分條件.故選：B.5、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線(xiàn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.6、C【解析】根據(jù)三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，利用向量共線(xiàn)原理，解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)榭臻g三點(diǎn)，，在一條直線(xiàn)上，所以,故.所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線(xiàn)原理，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷.【詳解】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，，；則，所以?xún)蓤A不可能內(nèi)含.故選：C.8、D【解析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個(gè)選項(xiàng)的真假.【詳解】因?yàn)椤叭糁本€(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對(duì)于等軸雙曲線(xiàn)，，所以離心率為，所以q為真命題.所以假命題，故A錯(cuò)誤；為假命題，故B錯(cuò)誤；為假命題，故C錯(cuò)誤；為真命題，故D正確.故選：D9、A【解析】利用兩直線(xiàn)垂直斜率關(guān)系，即可求解.【詳解】直線(xiàn)l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查兩直線(xiàn)垂直間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，這兩個(gè)事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，故錯(cuò)誤；C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是紅球，兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，故正確D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；故選：C11、C【解析】由題意，可知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為120°，再確定參數(shù)的正負(fù)即可求解.【詳解】雙曲線(xiàn)，令，則，顯然，則一條漸近線(xiàn)方程為，繞其對(duì)稱(chēng)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，則漸近線(xiàn)就需要旋轉(zhuǎn)到與坐標(biāo)軸重合，故漸近線(xiàn)方程的傾斜角為120°，即，該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，可知，所以，所以.故選：C12、D【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線(xiàn)中，焦點(diǎn)在軸上，，，，所以虛軸長(zhǎng)為6，故A錯(cuò)誤；焦距為，故B錯(cuò)誤；漸近線(xiàn)方程為，故D正確；焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，故C錯(cuò)誤；故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.55②.【解析】令易知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用累加法求及通項(xiàng)公式，結(jié)合求通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，最后兩次應(yīng)用錯(cuò)位相減法求即可.【詳解】由題設(shè)知：令，則是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以，即，由上可得：，則，而，所以，則，所以，，所以，令，則，所以，故，綜上，，則.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)圖總結(jié)規(guī)律，易知是等差數(shù)列，應(yīng)用累加法求，再由求通項(xiàng)公式，最后應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.14、7【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知，因?yàn)?，所以，即，解得故答案為?15、【解析】求出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出答案.【詳解】解：由題意知，，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，解得，或，即，所以.故答案為：.16、【解析】由雙曲線(xiàn)定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以，解得，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求解即可；（2）求出線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出斜率然后求解垂直平分線(xiàn)方程.試題解析：（1）∵點(diǎn)∴∴由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)的方程（2）∵點(diǎn)∴線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為∵∴線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率為∴由點(diǎn)斜式得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為18、（1）；（2）或.【解析】（1）本題首先可以設(shè)動(dòng)點(diǎn)，然后根據(jù)題意得出，通過(guò)化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；（2）本題首先可排除直線(xiàn)斜率不存在時(shí)情況，然后設(shè)直線(xiàn)方程為，通過(guò)聯(lián)立方程并化簡(jiǎn)得出，則，，再然后根據(jù)得出，最后根據(jù)的面積為即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為，所以，化簡(jiǎn)可得，故軌跡方程為.（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得，，令、，則，，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得或，故直線(xiàn)方程為：或.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法以及拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交的相關(guān)問(wèn)題的求解，能否根據(jù)題意列出等式是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的關(guān)鍵，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，在計(jì)算時(shí)要注意斜率為這種情況，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是中檔題.19、（1）;（2）10.【解析】（1）由根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求出可得拋物線(xiàn)方程；（2）求出拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可求三角形面積.【小問(wèn)1詳解】由拋物線(xiàn)的定義可知，即，拋物線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】，且A在第一象限，，即A(4,4)，顯然切線(xiàn)的斜率存在，故可設(shè)其方程為，由，消去得，即，令，解得，切線(xiàn)方程為.令x=0，得，即,又，，.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，．利用橢圓的定義求出，然后求解，得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得到弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再通過(guò)換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，則，，，，橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，由得由得由，得設(shè)，則，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，的最大值為21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知求出首項(xiàng)和公差即可求出