湖南省醴陵二中、醴陵四中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖南省醴陵二中、醴陵四中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知空間中四點(diǎn)，，，，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.02．直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.C. D.3．過(guò)點(diǎn)（-2，1）的直線(xiàn)中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長(zhǎng)的直線(xiàn)的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=04．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5．已知圓與直線(xiàn)，則圓上到直線(xiàn)的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.46．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則（）A. B.C. D.8．“”是“方程為雙曲線(xiàn)方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.10．函數(shù)直線(xiàn)與的圖象相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.11．下列問(wèn)題中是古典概型的是A.種下一粒楊樹(shù)種子，求其能長(zhǎng)成大樹(shù)的概率B.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C.在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1.5概率D.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率12．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱、的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值為_(kāi)__________.14．已知橢圓和雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)和，設(shè)橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為，，為兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則的取值范圍是______15．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B，則直線(xiàn)的一般式方程為_(kāi)__________.16．如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為46，（1）求n；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)19．（12分）已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，若對(duì)任意的正整數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線(xiàn)段上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面BEF內(nèi)；（2）若，，，求直線(xiàn)與平面BEF所成角的正弦值22．（10分）圓與軸的交點(diǎn)分別為，且與直線(xiàn)，都相切（1）求圓的方程；（2）圓上是否存在點(diǎn)滿(mǎn)足？若存在，求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意，求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點(diǎn)，，，，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點(diǎn)D到平面ABC的距離為.故選：C.2、D【解析】由直線(xiàn)斜率概念可寫(xiě)出傾斜角的正切值，進(jìn)而可求出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以?xún)A斜角.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結(jié)果.3、A【解析】當(dāng)直線(xiàn)被圓截得的最弦長(zhǎng)最大時(shí)，直線(xiàn)要經(jīng)過(guò)圓心，即圓心在直線(xiàn)上，然后根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得所求【詳解】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標(biāo)為∵直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最大，∴直線(xiàn)過(guò)圓心，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（-2，1），所以所求直線(xiàn)的方程為，即故選：A4、B【解析】由空間向量?jī)?nèi)容知，構(gòu)成基底的三個(gè)向量不共面，對(duì)選項(xiàng)逐一分析【詳解】對(duì)于A(yíng)：，因此A不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B：根據(jù)題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內(nèi)，與向量不共面，因此B正確；對(duì)于C：，故C不滿(mǎn)足題意；對(duì)于D：顯然有，選項(xiàng)D不滿(mǎn)足題意.故選：B5、B【解析】根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線(xiàn)的距離，∵，∴在圓上到直線(xiàn)距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).故選：B.6、C【解析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.7、D【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，解得.故選：D.8、C【解析】先求出方程表示雙曲線(xiàn)時(shí)滿(mǎn)足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線(xiàn)方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線(xiàn)方程”的充要條件.故選：C.9、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，根據(jù)大角對(duì)大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.【詳解】解：若，且，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.10、C【解析】先求出AB坐標(biāo)，表示出，規(guī)定函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求最小值.【詳解】聯(lián)立解得可得點(diǎn)．聯(lián)立解得可得點(diǎn)．由題意可得解得，令，其中，∴．∴函數(shù)單調(diào)遞減；．因此，的最小值為故選：C【點(diǎn)睛】距離的最值求解：（1）幾何法求最值；（2）代數(shù)法：表示出距離，利用函數(shù)求最值.11、D【解析】A、B兩項(xiàng)中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限多個(gè)；D項(xiàng)中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個(gè)．故選D【考點(diǎn)】古典概型的判斷12、D【解析】根據(jù)題意，解不等式求出集合，由，得，進(jìn)而求出，從而可求出集合，最后根據(jù)并集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因?yàn)椋瑒t，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集的定義和并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設(shè)，球心，得到外接球半徑關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求出的最小值，即可得到答案；【詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設(shè)，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時(shí)，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.14、【解析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計(jì)算作答,【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，不妨令焦點(diǎn)和在x軸上，點(diǎn)P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線(xiàn)定義得：，解得，，因，即，而O是線(xiàn)段的中點(diǎn)，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線(xiàn)的離心率的三種方法：①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.15、【解析】已知圓的圓心，點(diǎn)在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線(xiàn)的方程.【詳解】，圓心，點(diǎn)在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線(xiàn)是兩圓相交的公共弦所在直線(xiàn)，所以?xún)蓤A相減就是直線(xiàn)的方程，，所以直線(xiàn)的一般式方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)，那么以圓心和圓外一點(diǎn)連線(xiàn)段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點(diǎn)所在直線(xiàn)方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線(xiàn)方程.16、【解析】取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，設(shè)，利用三角形的邊角關(guān)系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)A作，交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，所以，所以，EH=，因?yàn)槿忮F的體積為，所以，解得：，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AH于點(diǎn)F，則，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿(mǎn)足，則三棱錐的外接球的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的外接球問(wèn)題，棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線(xiàn)上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）求出雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可得出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由拋物線(xiàn)的定義求出的值，代入拋物線(xiàn)的方程可求得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由雙曲線(xiàn)方程可得，，所以，解得.則曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，所以，.因此，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，由拋物線(xiàn)的定義及已知可得，解得.代入拋物線(xiàn)方程可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.18、（1）9（2）【解析】（1）根據(jù)要求列出方程，求出的值；（2）求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，列出不等式組，求出的取值范圍，從而求出，得到系數(shù)最大項(xiàng).【小問(wèn)1詳解】由題意得：，解得：或，因?yàn)?，所以（舍去），從而【小?wèn)2詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為：，則系數(shù)為，要求其最大值，則只要滿(mǎn)足，即9!r!9-r!?2r≥9!r-1!10-r19、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得，解方程得，，進(jìn)而得，故恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)或4時(shí)，取得最小值，進(jìn)而得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知，.聯(lián)立方程組，解得，.所以，，由題意，即.令，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)或4時(shí)，取得最小值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）見(jiàn)解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線(xiàn)性質(zhì)知，由線(xiàn)面平行判定定理證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)，可用表示出點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關(guān)于的方程，從而解得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）平面，，兩兩互相垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，設(shè)，且，則，，即，設(shè)平面的法向量，又，，則，令，則，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，又，，則，令，則，，；，解得：或，二面角的余弦值為，二面角為銳二面角，不滿(mǎn)足題意，舍去，即.在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，時(shí)，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的線(xiàn)面平行關(guān)系的證明、存在性問(wèn)題的求解；求解存在性問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用共線(xiàn)向量的方式將所求點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，進(jìn)而利用二面角的向量求法構(gòu)造方程；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二面角的范圍，造成參數(shù)值求解錯(cuò)誤.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)、、、AC與BD的交點(diǎn)為O，由直四棱柱的性質(zhì)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定、的坐標(biāo)可得，即可證結(jié)論.（2）由題設(shè)，求出、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求得面BEF的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線(xiàn)與平面BEF所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】由題意，，設(shè)，，，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BD，AC所在直線(xiàn)為x，y軸建立如下空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，得，即，因此點(diǎn)在平面BEF內(nèi)【小問(wèn)2詳解】由（1）及