2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計案例1.1回歸分析學(xué)案含解析北師大版選修1-2

PAGE§1回來分析授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁[自主梳理]一、線性回來方程y＝a＋bx的求法1．平均值的符號表示假設(shè)樣本點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，在統(tǒng)計上，用eq\x\to(x)表示一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均值，即eq\x\to(x)＝________＝________；用eq\x\to(y)表示一組數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均值，即eq\x\to(y)＝________＝________.2．參數(shù)a、b的求法b＝eq\f(lxy,lxx)＝______________＝______________，a＝______________.二、相關(guān)系數(shù)1．相關(guān)系數(shù)r的計算假設(shè)兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，，yn)，則變量間線性相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(lxy,\r(lxxlyy))＝______________＝______________.2．相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)(1)r的取值范圍為________；(2)|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關(guān)程度越________；(3)|r|值越接近0，Q越大，變量之間的線性相關(guān)程度越________．3．相關(guān)性的分類(1)當(dāng)________時，兩個變量正相關(guān)；(2)當(dāng)________時，兩個變量負相關(guān)；(3)當(dāng)________時，兩個變量線性不相關(guān)．三、可線性化的回來分析曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lny______y＝aebxc＝lnau＝lny______y＝aeeq\f(b,x)c＝lnav＝eq\f(b,x)u＝lnyy＝a＋______blnxv＝lnxu＝y(tǒng)______[雙基自測]1．下列變量是相關(guān)關(guān)系的是()A．人的身高與視力B．圓心角的大小與其所對的圓弧長C．直線上某點的橫坐標與縱坐標D．人的年齡與身高2．已知回來方程y＝1.5x－15，則下面正確的是()A.eq\x\to(y)＝1.5，eq\x\to(x)＝15 B．15是回來系數(shù)aC．1.5是回來系數(shù)a D．當(dāng)x＝10時，y＝03．對于線性相關(guān)系數(shù)r，下列敘述正確的是()A．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相關(guān)程度越大，反之，相關(guān)程度越小B．r∈(－∞，＋∞)，r越大，相關(guān)程度越大，反之，相關(guān)程度越小C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小D．以上說法都不對4．對于指數(shù)曲線y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，經(jīng)過非線性化回來分析之后，可以轉(zhuǎn)化成的形式為________．[自主梳理]一、1.eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)ieq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i2.eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)二、1.eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))2．(1)[－1,1](2)高(3)低3.(1)r>0(2)r<0(3)r＝0三、u＝c＋bvu＝c＋bxu＝c＋vu＝a＋bv[雙基自測]1．D2.A3.C4.u＝c＋bx授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第2頁探究一線性回來方程[例1]假設(shè)一個人從誕生到死亡，在每個生日那天都測量身高，并作出這些數(shù)據(jù)散點圖，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內(nèi)的增長數(shù)據(jù)有時可以用線性回來來分析．下表是一位母親給兒子作的成長記錄：年齡x/周歲3456789身高y/cm90.897.6104.2110.9115.7122.0128.5年齡x/周歲10111213141516身高y/cm134.2140.8147.6154.2160.9167.6173.0(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出這些數(shù)據(jù)的線性回來方程．[解析](1)數(shù)據(jù)的散點圖如圖：(2)因為eq\x\to(x)＝eq\f(1,14)×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,14)×(90.8＋97.6＋…＋173.0)＝132，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi－14\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－14\x\to(x)2)≈6.316，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝71.998，所以數(shù)據(jù)的線性回來方程為y＝6.316x＋71.998.求線性回來方程的一般步驟：作出散點圖，依據(jù)散點圖推斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；若線性相關(guān)，則依據(jù)公式計算回來系數(shù)b和回來截距a；寫出線性回來方程y＝bx＋a.利用線性回來方程可以進行預(yù)料、估計．1．某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析探討，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與試驗室每天100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x(℃)101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616該農(nóng)科所確定的探討方案：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回來方程，剩下的2組數(shù)據(jù)用于回來方程檢驗．(1)若選取12月1日和12月5日這兩日的數(shù)據(jù)進行檢驗，請依據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回來方程y＝bx＋a；(2)若由線性回來方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回來方程是牢靠的，試問(1)中所得到的線性回來方程是否牢靠？若牢靠，請預(yù)料溫差為14℃解析：(1)由數(shù)據(jù)，求得eq\x\to(x)＝12，eq\x\to(y)＝27，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xiyi＝11×25＋13×30＋12×26＝977，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝112＋132＋122＝434，所以b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xiyi－3\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－3\x\to(x)2)＝eq\f(977－3×12×27,434－3×122)＝eq\f(5,2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝－3.所以y關(guān)于x的線性回來方程為y＝eq\f(5,2)x－3.(2)當(dāng)x＝10時，y＝eq\f(5,2)×10－3＝22，|22－23|<2；當(dāng)x＝8時，y＝eq\f(5,2)×8－3＝17，|17－16|<2.所以得到的線性回來方程是牢靠的．當(dāng)x＝14時，有y＝eq\f(5,2)×14－3＝32.所以預(yù)料溫差為14℃時的發(fā)芽數(shù)約為32顆．探究二相關(guān)系數(shù)[例2]關(guān)于兩個變量x和y的7組數(shù)據(jù)如下表所示：x21232527293235y711212466115325試推斷x與y之間是否有線性相關(guān)關(guān)系．[解析]eq\x\to(x)＝eq\f(1,7)×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi－7\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－7\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－7\x\to(y)2))＝eq\f(18542－7×27.4×81.3,\r(5414－7×27.42×124393－7×81.32))≈0.8375.由于r≈0.8375與1比較接近，∴x與y具有線性相關(guān)關(guān)系．回來分析是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的基礎(chǔ)上的，對于相關(guān)關(guān)系不明確的兩個變量，可先作散點圖，由圖粗略的分析它們是否具有相關(guān)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，求其回來方程，并作回來分析．2．下面的數(shù)據(jù)是從年齡在40歲到60歲的男子中隨機抽出的6個樣本，分別測定了心臟的功能水平y(tǒng)(滿分100)，以及每天花在看電視上的平均時間x(小時).看電視的平均時間x4.44.62.75.80.24.6心臟功能水平y(tǒng)525369578965(1)求心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r；(2)求心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x的線性回來方程，并探討方程是否有意義；(3)估計平均每天看電視3小時的男子的心臟功能水平．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.7167，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(52＋53＋…＋65)≈64.1667，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－6eq\x\to(x)2≈(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.71672≈19.7668，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－6eq\x\to(y)2≈(522＋532＋…＋652)－6×64.16672≈964.8077，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi－6eq\x\to(x)eq\x\to(y)≈(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.7167×64.1667≈－124.6302.(1)心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x之間的相關(guān)系數(shù)：r≈eq\f(－124.6302,\r(19.7668×964.8077))≈－0.9025.(2)b≈eq\f(－124.6302,19.7668)≈－6.3050，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈87.6005，心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x的線性回來方程為y＝87.6005－6.3050x.由(1)知y與x之間有較強的線性關(guān)系，這個方程是有意義的．(3)將x＝3代入線性回來方程y＝87.6005－6.3050×3，可得y≈68.7，即平均每天看電視3小時，心臟功能水平約為68.7.探究三可線性化的回來分析問題[例3]假設(shè)學(xué)生在初一和初二的數(shù)學(xué)成果是線性相關(guān)的，若10個學(xué)生的初一數(shù)學(xué)成果(x)和初二數(shù)學(xué)成果(y)列表如下：x74717268767367706574y76757170767965776272試求初一數(shù)學(xué)和初二數(shù)學(xué)成果間的線性回來方程．[解析]依據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖(圖略)，可看出y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，由題意可以求得eq\x\to(x)＝71，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝50520，eq\x\to(y)＝72.3，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝51467，所以b＝eq\f(51467－10×71×72.3,50520－10×712)≈1.2182，a≈72.3－1.2182×71＝－14.192，則線性回來方程為y＝1.2182x－14.192.建立回來模型的基本步驟：(1)畫出散點圖，視察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(2)由閱歷確定回來方程的類型(如視察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回來方程y＝a＋bx)．(3)按肯定規(guī)則估計回來方程中的參數(shù)(如最小二乘法)．(4)得出結(jié)論后分析是否有異樣，若存在異樣，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．3．一個車間為了規(guī)定工時定額，須要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，收集數(shù)據(jù)如表：零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/分鐘626875818995102108115122(1)畫出散點圖；(2)求線性回來方程；(3)關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間，你能得出什么結(jié)論？解析：(1)散點圖如圖所示．(2)設(shè)線性回來方程為y＝bx＋a.列表并利用科學(xué)計算器進行有關(guān)計算.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\x\to(x)＝55，eq\x\to(y)＝91.7，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝38500，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1)