2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合常用邏輯用語與不等式1.1集合學(xué)案新人教A版

第一章集合、常用邏輯用語與不等式1.1集合必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.集合的含義與表示(1)集合元素的三個特征:、、.

(2)元素與集合的關(guān)系有或兩種,用符號或表示.

(3)集合的表示方法:、、.

(4)常見數(shù)集的記法.集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號

2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號表示Venn圖子集對于兩個集合A,B,假如集合A中隨意一個元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集

真子集假如集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,就稱集合A是集合B的真子集

集合相等假如集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等

3.集合的運算集合的并集集合的交集集合的補集Venn圖符號語言A∪B=

A∩B=

?UA=

1.并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.2.交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.3.補集的性質(zhì):A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).4.若集合A中含有n個元素,則它的子集個數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n-1,非空真子集的個數(shù)為2n-2.5.如圖所示,用集合A,B表示圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分所表示的集合分別是A∩B,A∩(?UB),B∩(?UA),?U(A∪B).6.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).考點自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)集合{x2+x,0}中的實數(shù)x可取隨意值.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)對隨意集合A,B,肯定有A∩B?A∪B.()(4)若A∩B=A∩C,則B=C.()(5)直線y=x+3與y=-2x+6的交點組成的集合是{1,4}.()2.(2024全國3,文1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},則A∩B中元素的個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.53.(2024山東濟(jì)南一模,1)已知全集U=R,集合A={x|x2>x},則?UA=()A.[0,1] B.(0,1)C.(-∞,1] D.(-∞,1)4.(2024山東濰坊二模,1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則A∩(?UB)=()A.{1,4} B.{1,4,5} C.{4,5} D.{6,7}5.(2024江蘇南京六校5月聯(lián)考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},則A∪B=.

關(guān)鍵實力學(xué)案突破考點集合的基本概念【例1】(1)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},則集合A的真子集個數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.8(2)(2024山東濰坊臨朐二模,13)已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B,則a=.

解題心得與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略:(1)確定集合中的代表元素是什么,即集合是數(shù)集、點集,還是其他類型的集合.(2)看這些元素滿意什么限制條件.(3)依據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù),但要留意檢驗集合是否滿意元素的互異性.對點訓(xùn)練1(1)(2024河北唐山一模,理1)已知集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x},M=A∩B,則集合M的子集個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.8(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為.

考點集合間的基本關(guān)系【例2】(1)(2024浙江鎮(zhèn)海中學(xué)摸底,1)設(shè)集合A={y|y=x2-1},B={x|y=x2-1A.A=B B.A?BC.B?A D.A∩B={x|x≥1}(2)(2024河北石家莊二中模擬,理2)設(shè)集合P={x||x|>3},Q={x|x2>4},則下列結(jié)論正確的是()A.Q?P B.P?QC.P=Q D.P∪Q=R解題心得1.判定集合間的基本關(guān)系的方法有兩種:一是化簡集合,從表達(dá)式中找尋集合間的關(guān)系;二是用列舉法(或圖示法等)表示各個集合,從元素(或圖形)中找尋集合間的關(guān)系.2.解決集合間基本關(guān)系問題的常用技巧有:(1)若給定的集合是不等式的解集,則結(jié)合數(shù)軸求解;(2)若給定的集合是點集,則用數(shù)形結(jié)合法求解;(3)若給定的集合是抽象集合,則用Venn圖求解.對點訓(xùn)練2(1)已知集合A=xx-2x≤0,x∈N,B={x|x≤2,x∈Z},則滿意條件A?C,且C?BA.1 B.2 C.4 D.8(2)集合M=xx=n2+1,n∈Z,N=yy=m+12,m∈Z,則兩集合M,NA.M∩N=? B.M=NC.M?N D.N?M考點集合的運算(多考向探究)考向1利用集合運算的定義進(jìn)行運算【例3】(1)(2024新高考全國1,1)設(shè)集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},則A∪B=()A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}(2)(2024全國3,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},則A∩B中元素的個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.6(3)(2024全國2,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},則?U(A∪B)=()A.{-2,3} B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3}解題心得1.求解思路:一般是先化簡集合,再由交集、并集、補集的定義求解.2.求解原則:一般是先算括號里面的,再按運算依次求解.對點訓(xùn)練3(1)(2024江西名校大聯(lián)考,理1)已知集合A={x|x2-4x>0},B={x|x2-4≤0},則A∩B=()A.[-2,0] B.(-∞,0)C.[-2,0) D.[-4,4](2)(2024年1月8省適應(yīng)測試)已知M,N均為R的子集,且?RM?N,則M∪(?RN)=()A.? B.MC.N D.R(3)(2024山東濰坊一模,1)設(shè)集合A={2,4},B={x∈N|x-3≤0},則A∪B=()A.{1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4}C.{2} D.{x|x≤4}考向2定義新集合運算法則進(jìn)行集合運算【例4】(多選)(2024福建雙十中學(xué)期中,1)集合A,B是實數(shù)集R的子集,定義A-B={x|x∈A,且x?B},若集合A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3},B={y|y=x2+1,1≤x≤3},則以下說法正確的是()A.A=[-1,5] B.B=[2,10]C.A-B=[1,2) D.B-A=(5,10]解題心得求解集合新定義運算的關(guān)鍵是細(xì)致分析新定義運算法則的特點,把新定義運算法則所敘述的問題的本質(zhì)弄清晰,并能夠應(yīng)用到詳細(xì)的解題過程之中.對點訓(xùn)練4定義A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},則A*B=;(A∩(A*B))∪B=.

考點求集合中參數(shù)的值或取值范圍【例5】(1)(2024全國1,理2)設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=()A.-4 B.-2 C.2 D.4(2)已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x+1≥a},若A∪B=R,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[2,+∞) B.(-∞,2]C.[1,+∞) D.(-∞,1]解題心得一般來講,若集合中的元素是離散的,則用Venn圖表示,依據(jù)Venn圖得到關(guān)于參數(shù)的一個或多個方程,求出參數(shù)后要驗證是否與集合元素的互異性沖突;若集合中的元素是連續(xù)的,則用數(shù)軸表示,依據(jù)數(shù)軸得到關(guān)于參數(shù)的不等式,解之得到參數(shù)的取值范圍,此時要留意端點的取舍.對點訓(xùn)練5(1)(2024湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x2},B={0,1,2},若A?B,則實數(shù)a的值為()A.1或2 B.0或1C.0或2 D.0或1或2(2)已知集合A={x|x<-3,或x>7},B={x|x<2m-1},若B?A,則實數(shù)m的取值范圍是.

變式發(fā)散1將本題(2)中的B改為B={x|m+1≤x≤2m-1},其余條件不變,該如何求解?變式發(fā)散2將本題(2)中的A改為A={x|-3≤x≤7},B改為B={x|m+1≤x≤2m-1},其余條件不變,又該如何求解?由于圖形簡明、直觀,因此許多數(shù)學(xué)問題的求解往往借助于圖形來分析,下面例析運用集合中Venn圖的三層次:識圖——用圖——構(gòu)圖.階梯一識圖:用集合的交、并、補運算表示給出的Venn圖【例1】(2024山東泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3<x<1},N={x||x|≤1},則陰影部分表示的集合是()A.[-1,1] B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-1,+∞) D.(-3,-1)答案D解析由圖可知,陰影部分表示的集合為M∩(?UN).由U=R,N={x||x|≤1},可得?UN={x|x<-1,或x>1},又M={x|-3<x<1},所以M∩(?UN)={x|-3<x<-1}.故選D.對點訓(xùn)練1如圖,I是全集,M,P,S是I的3個子集,則陰影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(?IS) D.(M∩P)∪(?IS)階梯二用圖:借助Venn圖求集合或集合的交、并、補【例2】設(shè)全集U={x|0<x<10,x∈N*},若A∩B={3},A∩(?UB)={1,5,7},(?UA)∩(?UB)={9},則A=,B=.

答案{1,3,5,7}{2,3,4,6,8}解析由題知U={1,2,3,…,9},依據(jù)題意,畫出Venn圖如下,由Venn圖易得A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.對點訓(xùn)練2已知M,N為集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(?IM)=?,則M∪N=.

階梯三構(gòu)圖:構(gòu)造Venn圖解某些應(yīng)用題【例3】(2024新高考全國1,5)某中學(xué)的學(xué)生主動參與體育熬煉,其中有96%的學(xué)生喜愛足球或游泳,60%的學(xué)生喜愛足球,82%的學(xué)生喜愛游泳,則該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%答案C解析設(shè)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生比例數(shù)為x.由Venn圖可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故選C.對點訓(xùn)練3向100名學(xué)生調(diào)查對A,B兩件事的看法,得到如下結(jié)果:贊成A的人數(shù)是全體的35,其余不贊成;贊成B的人數(shù)比贊成A的人數(shù)多3人,其余不贊成.另外,對A,B都不贊成的人數(shù)比對A,B都贊成的學(xué)生人數(shù)的13多1人,對A,B都贊成的學(xué)生人數(shù)為人,對A,B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為人第一章集合、常用邏輯用語與不等式1.1集合必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.(1)確定性互異性無序性(2)屬于不屬于∈?(3)列舉法描述法Venn圖法(4)NN*(或N+)ZQR2.A?B(或B?A)A?B(或B?A)A=B3.{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x?A}考點自診1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.B依據(jù)交集的定義,得A∩B={5,7,11},則A∩B中元素的個數(shù)為3.故選B.3.A由x2>x,得x>1或x<0,即A={x|x>1,或x<0},所以?UA={x|0≤x≤1}=[0,1].4.C由題意得?UB={1,4,5},又A={2,3,4,5},所以A∩(?UB)={4,5},故選C.5.(-∞,2)∵集合A={x|x2-2x<0}=|x|0<x<2},且B={x|x<1},∴A∪B={x|x<2}.關(guān)鍵實力·學(xué)案突破例1(1)A(2)0或14(1)因為A={x∈Z|-x2+x+2>0}={x∈Z|-1<x<2}={0,1},所以集合A的真子集個數(shù)為22-1=3.故選A(2)因為A∩B=A∪B,所以A=B,則a=b2,b=2a或b=b2,對點訓(xùn)練1(1)C(2)-32(1)因為B={y|y=2x}={y|y>0},A={-1,0,1,2},所以M=A∩B={1,2},因此,集合M的子集個數(shù)是22=4.故選C(2)由題意得m+2=3,或2m2+m=3,解得m=1或m=-32.當(dāng)m=1時,m+2=3,且2m2+m=3,依據(jù)集合中元素的互異性可知不滿意題意;當(dāng)m=-32時,m+2=12,而2m2+m=3,故例2(1)D(2)B(1)∵A={y|y=x2-1}={y|y≥0},B={x|y=x2-1}={x|x≥1,或x≤-1},∴A∩B={(2)由題得,集合P={x||x|>3}={x|x<-3,或x>3},Q={x|x2>4}={x|x<-2,或x>2},所以P?Q,故選B.對點訓(xùn)練2(1)D(2)D(1)由x-2x≤0,得0<x≤2,故A={1,2};由x≤2,得0≤x≤4,故B={0,1,2,3,4}.滿意條件A?C,且C?B的集合C的個數(shù)為23=8,(2)∵M(jìn)=xx=n+22,n∈Z,N=yy=2m+12,m∈∴N?M,故選D.例3(1)C(2)C(3)A(1)(數(shù)形結(jié)合)由數(shù)軸可知所以A∪B={x|1≤x<4},故選C.(2)滿意x,y∈N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4個,故A∩B中元素的個數(shù)為4.(3)∵A∪B={-1,0,1,2},∴?U(A∪B)={-2,3}.故選A.對點訓(xùn)練3(1)C(2)B(3)B(1)由題得A={x|x2-4x>0}={x|x<0,或x>4},B={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},則A∩B={x|-2≤x<0},故選C.(3)因為A={2,4},B={x∈N|x-3≤0}={0,1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3,4}.例4BCDA={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3}={y|1≤y≤5},B={y|y=x2+1,1≤x≤3}={y|2≤y≤10},故A-B={x|x∈A,且x?B}={x|1≤x<2},B-A={x|x∈B,且x?A}={x|5<x≤10}.故選BCD.對點訓(xùn)練4{3,4,5,6,7}{1,2,3}∵A={1,2,3},B={1,2},∴A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7};(A∩(A*B))∪B=({1,2,3}∩{3,4,5,6,7})∪{1,2}={3}∪{1,2}={1,2,3}.例5(1)B(2)B(1)由已知得A={x|-2≤x≤2},B=xx因為A∩B={