2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖學(xué)案新人教版

PAGE第七章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖學(xué)問梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)一多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形結(jié)構(gòu)特征①有兩個(gè)面相互平行且全等，其余各面都是_四邊形__.②每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互_平行__有一個(gè)面是_多邊形__，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的_三角形__的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，_截面__和_底面__之間的部分側(cè)棱_平行且相等__相交于_一點(diǎn)__但不肯定相等延長(zhǎng)線交于_一點(diǎn)__側(cè)面形態(tài)_平行四邊形___三角形___梯形__學(xué)問點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線相互平行且相等，_垂直__于底面相交于_一點(diǎn)__延長(zhǎng)線交于_一點(diǎn)__軸截面全等的_矩形__全等的_等腰三角形__全等的_等腰梯形___圓__側(cè)面展開圖_矩形___扇形___扇環(huán)__學(xué)問點(diǎn)三三視圖與直觀圖三視圖三視圖包括_正(主)視圖__、_側(cè)(左)視圖__、_俯視圖__畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)面法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為_45°或135°__，z′軸與x′軸和y′軸所在平面_垂直__.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度_不變__，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為_原來的一半__.eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫出的輪廓線，主視圖反映了物體的長(zhǎng)度和高度；俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；左視圖反映了物體的寬度和高度；由此得到：主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，俯左寬相等．2．一個(gè)平面圖形在斜二測(cè)畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”．三變：坐標(biāo)軸的夾角變更，與y軸平行線段的長(zhǎng)度變更(減半)，圖形變更．三不變：平行性不變，與x軸平行的線段長(zhǎng)度不變，相對(duì)位置不變．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分．(√)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(×)(5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(×)(6)菱形的直觀圖仍是菱形．(×)題組二走進(jìn)教材2．(必修2P19T2)下列說法正確的是(D)A．相等的角在直觀圖中仍舊相等B．相等的線段在直觀圖中仍舊相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍舊平行[解析]由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能變更，而線段的平行關(guān)系不變．題組三走向高考3．(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為(C)A．eq\f(\r(5)－1,4) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4) D．eq\f(\r(5)＋1,2)[解析]如圖，設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由題意PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡(jiǎn)得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(1＋\r(5),4)(負(fù)值舍去)．故選C．4．(2024·北京，7)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為(B)A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2[解析]依據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P－ABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中．由圖可知該四棱錐的最長(zhǎng)棱為PD，PD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故選B．5．(2024·全國(guó)Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如下圖，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(B)A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2[解析]先畫出圓柱的直觀圖，依據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖①所示．圓柱的側(cè)面綻開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．|ON|＝eq\f(1,4)×16＝4，|OM|＝2，∴|MN|＝eq\r(|OM|2＋|ON|2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征——自主練透例1(1)(多選題)給出下列四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤命題是(ABCD)A．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C．側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體D．若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱(2)下列結(jié)論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；⑤用隨意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，所得截面都是圓面，則這個(gè)幾何體肯定是球．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_⑤__.[解析](1)相識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形態(tài)兩方面去分析，例：在如圖所示的平行六面體中，ADD1A1及BCC1B1都是矩形，且平面ABB1A1及DCC1D1都與底面(2)①中這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯(cuò)；②中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺(tái)，②錯(cuò)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，③錯(cuò)誤；④中假如用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，則得到的不是圓錐和圓臺(tái)，④錯(cuò)；只有球滿意隨意截面都是圓面，⑤正確．名師點(diǎn)撥空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，依據(jù)定義進(jìn)行判定．(2)反例法：通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析.考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖——多維探究角度1由幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖例2(2024·課標(biāo)Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(A)[解析]由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A．角度2由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例3(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由該四棱錐的三視圖，得其直觀圖如圖，由正視圖和側(cè)視圖都是等腰直角三角形，知PD⊥平面ABCD，所以側(cè)面PAD和PDC都是直角三角形，由俯視圖為直角梯形，易知DC⊥平面PAD．又AB∥DC，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，所以側(cè)面PAB也是直角三角形.易知PC＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(5)，PB＝3，從而△PBC不是直角三角形，故選C．角度3由三視圖的兩個(gè)視圖推想另一視圖例4(多選題)(2024·衡水金卷改編)某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則它的俯視圖可能是(ABCD)[解析]若幾何體為兩個(gè)圓錐體的組合體，則俯視圖為A；若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體，則俯視圖為B、C；若幾何體為兩個(gè)三棱錐的組合體，則俯視圖為D；故選A、B、C、D．名師點(diǎn)撥1．由幾何體的直觀圖求三視圖．留意主視圖、左視圖和俯視圖的視察方向，留意看到的部分用實(shí)線表示，看不到的部分用虛線表示．2．由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)，要熟識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象或長(zhǎng)方體將三視圖還原為實(shí)物圖．常見三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體：①三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)三棱錐；②三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)四棱錐；③三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓錐；④三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)三棱柱；⑤三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓柱．3．由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先依據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，再找其剩下部分三視圖的可能形式，當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)檢驗(yàn)，看看給出的部分三視圖是否符合．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)(2024·陜西省咸陽市三模)“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在探討球的體積過程中構(gòu)造在一個(gè)和諧美麗的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)，其直觀圖如圖所示，圖中四邊形是體現(xiàn)其直觀性所做的協(xié)助線，當(dāng)其正視圖與側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別是(A)A．a(chǎn)，b B．a(chǎn)，cC．a(chǎn)，d D．b，d(2)(角度2)(2024·溫州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(A)(3)(角度3)(多選題)(2024·四川成都三診改編)如圖是某幾何體的正視圖和側(cè)視圖，則該幾何體的俯視圖可能是(BCD)[解析](1)因?yàn)橄鄬?duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．所以其正視圖和側(cè)視圖是一個(gè)圓；若俯視圖是從上向下看，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，則俯視圖是有2條對(duì)角線且為實(shí)線的正方形．故選A．(2)利用解除法求解．B的側(cè)視圖不對(duì)．C圖的俯視圖不對(duì)，D的正視圖不對(duì)，解除B，C，D，A正確，故選A．(3)若俯視圖為A，則正視圖不符，A錯(cuò)誤，B、C、D正確.考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖——師生共研例5(2024·寧夏石嘴山三中模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(D)A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2[解析]如圖①、②所示的實(shí)際圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.[引申]若已知△ABC的平面直觀圖△A1B1C1是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則原△ABC的面積為_eq\f(\r(6),2)a2__.[解析]在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.名師點(diǎn)撥1．在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段的位置，留意“三變”與“三不變”；平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系是S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．2．在原圖形中與x軸或y軸平行的線段，在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出．〔變式訓(xùn)練2〕一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(B)A．eq\f(\r(2),4)a2 B．2eq\r(2)a2C．eq\f(\r(2),2)a2 D．eq\f(2\r(2),3)a2[解析]由題意可知原平行四邊形一邊長(zhǎng)為a，此邊上的高為2eq\r(2)a，故其面積為2eq\r(2)a2.故選B．名師講壇·素養(yǎng)提升三視圖識(shí)圖不準(zhǔn)致誤例6(2024·福建福州模擬)如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是(B)[錯(cuò)因分析](1)不能正確把握投影方向致誤；(2)不能正確判定上表面橢圓投影形態(tài)致誤；(3)不能正確判定投影線的虛實(shí)致誤．[解析]圓柱被不平行于底面的平面所截得的截面為橢圓，結(jié)合正視圖，可知側(cè)視圖最高點(diǎn)在中間，故選B．名師點(diǎn)撥對(duì)于簡(jiǎn)潔幾何體的組合體，在畫其三視圖時(shí)首先應(yīng)分清它是由哪