2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章計數(shù)原理單元素養(yǎng)評價含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE單元素養(yǎng)評價(一)(第六章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參與歌舞演出,則不同的選擇方式有()A.24種 B.14種 C.10種 D.9種【解析】選B.由題意可得李芳不同的選擇方式有4×3+2=14(種).2.自2024年起,山東夏季高考成果由“3+3”組成,其中第一個“3”指語文、數(shù)學、英語3科,其次個“3”指學生從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6科中任選3科作為選考科目.某同學支配從物理、化學、生物3科中任選兩科,從政治、歷史、地理3科中任選1科作為選考科目,則該同學3科選考科目的不同選法的種數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】選D.某同學支配從物理、化學、生物3科中任選兩科,從政治、歷史、地理3科中任選1科作為選考科目,則該同學3科選考科目的不同選法的種數(shù)為QUOTE=9種.3.(2024·南京高二檢測)某班聯(lián)歡會原定的3個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了2個新節(jié)目,假如將這2個新節(jié)目插入節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為()A.12 B.20 C.36 D.120【解析】選B.利用分步乘法計數(shù)原理,第一步先插入第一個節(jié)目,有4種方法,其次步插入其次個節(jié)目,此時有5個空,故有5種方法.因此不同的插法共有20種.4.如圖所示,花壇內(nèi)有五個花池,有五種不同顏色的花卉可供栽種,每個花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉,相鄰兩池的花色不同,則最多的栽種方案有()A.180種 B.240種 C.360種 D.420種【解析】選D.由題意知,最少用三種顏色的花卉,依據(jù)花卉選種的顏色可分為三類方案,即用三種顏色,四種顏色,五種顏色.①當用三種顏色時,花池2,4同色和花池3,5同色,此時共有QUOTE種方案.②當用四種顏色時,花池2,4同色或花池3,5同色,故共有2QUOTE種方案.③當用五種顏色時有QUOTE種方案.因此全部栽種方案為QUOTE+2QUOTE+QUOTE=420(種).5.在其次屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會中,為了提高安保的級別同時又為了便利接待,現(xiàn)將其中的五個參會國的人員支配酒店住宿,這五個參會國要在a,b,c三家酒店選擇一家,且每家酒店至少有一個參會國入住,則這樣的支配方法共有()A.96種 B.124種 C.130種 D.150種【解題指南】依據(jù)題意,分2步進行分析:①把5個參會國的人員分成三組,一種是依據(jù)1,1,3;另一種是1,2,2;由組合數(shù)公式可得分組的方法數(shù)目,②將分好的三組對應(yīng)三家酒店,由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案.【解析】選D.依據(jù)題意,分2步進行分析:①五個參會國要在a,b,c三家酒店選擇一家,且這三家至少有一個參會國入住,所以可以把5個國家人分成三組,一種是依據(jù)1,1,3;另一種是1,2,2,當依據(jù)1,1,3來分時共有QUOTE=10種分組方法;當依據(jù)1,2,2來分時共有QUOTE=15種分組方法;則一共有10+15=25種分組方法.②將分好的三組對應(yīng)三家酒店,有QUOTE=6種對應(yīng)方法;則支配方法共有25×6=150種.【加練·固】甲、乙、丙、丁、戊5名學生進行投籃競賽,決出了第1至第5名的不同名次,甲、乙兩人向裁判詢問成果,裁判對甲說:“很缺憾,你和乙都未拿到冠軍.”對乙說:“你當然不是最差的.”依據(jù)裁判的回答,5人的名次排列共有________種不同的狀況.()

A.54B.108C.210D.96【解題指南】甲、乙不是第一名且乙不是最終一名.乙的限制最多,故先排乙,有3種狀況;再排甲,也有3種狀況;余下的問題是三個元素在三個位置全排列,依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到結(jié)果.【解析】選A.第一名不是甲和乙,則只能是丙、丁、戊三人中某一個,有QUOTE種選法,而乙不是最差的,則乙只可能是其次、三、四名,有QUOTE種可能,再將剩下的三人排成一列,依次插入即可,由分步乘法計數(shù)原理可知,共有QUOTE=54種不同的狀況.6.若二項式(2+x)10按(2+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10的方式綻開,則綻開式中a8的值為()A.90 B.180 C.360 D.405【解析】選D.由題意得,(2+x)10=(-2-x)10=[-3+(1-x)]10,所以綻開式的第9項為T9=QUOTE(-3)2(1-x)8=405(1-x)8,即a8=405.【加練·固】設(shè)(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么QUOTE的值為()A.-QUOTEB.-QUOTEC.-QUOTED.-1【解析】選B.令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.兩式相加除以2求得a0+a2+a4=122,兩式相減除以2可得a1+a3+a5=-121.結(jié)合a5=-1,故QUOTE=-QUOTE.7.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上,若每級臺階最多站2人,同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法總數(shù)是()A.210 B.336 C.84 D.343【解析】選B.由題意知本題須要分組解決,因為對于7個臺階上每一個只站一人有QUOTE種;若有一個臺階有2人另一個是1人,則共有QUOTE種,所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是QUOTE+QUOTE=336種.8.已知某動點在平面直角坐標系第一象限的整點上運動(含x,y正半軸上的整點),其運動規(guī)律為(m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1).若該動點從原點動身,經(jīng)過6步運動到點(6,2),則不同的運動軌跡有()A.15種 B.14種 C.9種 D.103種【解析】選C.由運動規(guī)律可知,每一步的橫坐標都增加1,只需考慮縱坐標的改變,而縱坐標每一步增加1(或削減1),經(jīng)過6步改變后,結(jié)果由0變到2,因此這6步中有2步是依據(jù)(m,n)→(m+1,n-1)運動的,有4步是依據(jù)(m,n)→(m+1,n+1)運動的,因此,共有QUOTE=15種,而此動點只能在第一象限的整點上運動(含x,y正半軸上的整點),當?shù)谝徊?m,n)→(m+1,n-1)時不符合要求,有QUOTE種;當?shù)谝徊?m,n)→(m+1,n+1),但其次、三兩步為(m,n)→(m+1,n-1)時也不符合要求,有1種,故要減去不符合條件的QUOTE+1=6種,故共有15-6=9種.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.有四名男生,三名女生排隊照相,七個人排成一排,則下列說法正確的有()A.假如四名男生必需連排在一起,那么有720種不同排法B.假如三名女生必需連排在一起,那么有576種不同排法C.假如女生不能站在兩端,那么有1440種不同排法D.假如三個女生中任何兩個均不能排在一起,那么有1440種不同排法【解析】選CD.A中QUOTE=576,B中QUOTE=720,C中QUOTE=1440,D中QUOTE=1440.綜上可得:CD正確.10.若QUOTE>3QUOTE,則m的取值可能是()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】選BC.依據(jù)題意,對于QUOTE和3QUOTE,有0≤m-1≤8且0≤m≤8,則有1≤m≤8,若QUOTE>3QUOTE,則有QUOTE>3×QUOTE,變形可得:m>27-3m,解得:m>QUOTE,綜合可得:QUOTE<m≤8,則m=7或8.11.將四個不同的小球放入三個分別標有1、2、3號的盒子中,不允許有空盒子的放法有多少種?下列結(jié)論正確的有()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.18【解析】選BC.依據(jù)題意,四個不同的小球放入三個分別標有1、2、3號的盒子中,且沒有空盒,則有1個盒子中放2個球,剩下的2個盒子中各放1個球,有2種解法:(1)分2步進行分析:①先將四個不同的小球分成3組,有QUOTE種分組方法;②將分好的3組全排列,對應(yīng)放到3個盒子中,有QUOTE種放法;則沒有空盒的放法有QUOTE種;(2)分2步進行分析:①在4個小球中任選2個,在3個盒子中任選1個,將選出的2個小球放入選出的小盒中,有QUOTE種狀況;②將剩下的2個小球全排列,放入剩下的2個小盒中,有QUOTE種放法;則沒有空盒的放法有QUOTE種.12.(2024·煙臺高二檢測)已知QUOTE(a>0)的綻開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等,且綻開式的各項系數(shù)之和為1024,則下列說法正確的是()A.綻開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B.綻開式中第6項的系數(shù)最大C.綻開式中存在常數(shù)項D.綻開式中含x15項的系數(shù)為45【解析】選BCD.因為QUOTE(a>0)的綻開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等;所以QUOTE=QUOTE?n=10;因為綻開式的各項系數(shù)之和為1024,所以(a+1)10=1024;因為a>0;所以a=1.原二項式為QUOTE;其綻開式的通項公式為:Tk+1=QUOTE·(x2)10-k·QUOTE=QUOTE;綻開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為:QUOTE×1024=512;故A錯;因為本題中二項式系數(shù)和項的系數(shù)一樣,且綻開式有11項,故綻開式中第6項的系數(shù)最大,B對;令20-QUOTEk=0?k=8,即綻開式中存在常數(shù)項,C對;令20-QUOTEk=15?k=2,QUOTE=45,D對.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.(2024·全國Ⅱ卷)4名同學到3個小區(qū)參與垃圾分類宣揚活動,每名同學只去1個小區(qū),每個小區(qū)至少支配1名同學,則不同的支配方法共有__________種.

【解析】因為4名同學到3個小區(qū)參與垃圾分類宣揚活動,每名同學只去1個小區(qū),每個小區(qū)至少支配1名同學,所以先取2名同學看作一組,選法有QUOTE=6(種),現(xiàn)在可看成是3組同學安排到3個小區(qū),分法有:QUOTE=6(種),依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的支配方法有6×6=36(種).答案:36【加練·固】甲、乙、丙、丁4人進行籃球訓練,相互傳球,要求每人接球后馬上傳給別人,起先由甲發(fā)球,并作為第一次傳球,第四次傳球后,球又回到甲手中的傳球方式共有________種.

【解析】可以分兩類:其一是第一次甲傳球給乙、丙、丁,有QUOTE種;其次次是傳球給甲,有1種;第三次是甲傳球給乙、丙、丁,有QUOTE種;第四次是傳給甲,有1種;由分步乘法計數(shù)原理可得QUOTE×1×QUOTE×1=9種;其次類是第一次甲先傳給乙、丙、丁,有QUOTE種;其次次分別傳給其他兩人,有QUOTE種;第三次再分別傳給另外兩人,有QUOTE種;第四次傳給甲,只有1種;由分步乘法計數(shù)原理可知QUOTE×QUOTE×QUOTE×1=12種,由分類加法計數(shù)原理可得全部傳球方式共有9+12=21(種).答案:2114.(2024·浙江高考)已知多項式QUOTE=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,則a4=________,a5=________.

【解析】因為多項式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,a4為x1項的系數(shù),所以依據(jù)二項式定理得a4=QUOTE12×22+13×QUOTE×2=16,a5是常數(shù)項,所以a5=13×22=4.答案:16415.在QUOTE的二項綻開式中,若常數(shù)項為60,則n等于________.

【解題指南】利用二項綻開式的通項公式列出通項,化簡后令未知數(shù)x的指數(shù)等于0,從而確定通項公式中r與n的等式,再依據(jù)常數(shù)項等于60,得到另一個r與n的等式,解方程組即可得.【解析】Tr+1=QUOTE=2r·QUOTE,n,r∈N*,得QUOTE解得n=6.答案:616.某公園劃船收費標準如表:船型兩人船(限乘2人)四人船(限乘4人)六人船(限乘6人)每船租金(元/小時)90100130某班16名同學一起去該公園劃船,若每人劃船的時間均為1小時,每只租船必需坐滿,則租船最低總費用為________元,租船的總費用共有________種可能.

【解析】當租兩人船時,租金為:QUOTE×90=720元,當租四人船時,租金為:QUOTE×100=400元,當租1條四人船6條兩人船時,租金為:100+6×90=640元,當租2條四人船4條兩人船時,租金為:2×100+4×90=560元,當租3條四人船2條兩人船時,租金為:3×100+2×90=480元,當租1條六人船5條2人船時,租金為:130+5×90=580元,當租2條六人船2條2人船時,租金為:2×130+2×90=440元,當租1條六人船1條四人船3條2人船時,租金為:130+100+3×90=500元,當租1條六人船2條四人船1條2人船時,租金為:130+2×100+90=420元,當租2條六人船1條四人船時,租金為:2×130+100=360元,綜上,租船最低總費用為360元,租船的總費用共有10種可能.答案:36010四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)有9名學生,其中2名會下象棋但不會下圍棋,3名會下圍棋但不會下象棋,4名既會下圍棋又會下象棋.現(xiàn)在要從這9名學生中選出2名學生,一名參與象棋競賽,另一名參與圍棋競賽,共有多少種不同的選派方法?【解析】設(shè)2名會下象棋但不會下圍棋的同學組成集合A,3名會下圍棋但不會下象棋的同學組成集合B,4名既會下圍棋又會下象棋的同學組成集合C,則選派2名參賽同學的方法可以分為以下4類:第一類:A中選1人參與象棋競賽,B中選1人參與圍棋競賽,方法數(shù)為QUOTE·QUOTE=6(種);其次類:C中選1人參與象棋競賽,B中選1人參與圍棋競賽,方法數(shù)為QUOTE·QUOTE=12(種);第三類:C中選1人參與圍棋競賽,A中選1人參與象棋競賽,方法數(shù)為QUOTE·QUOTE=8(種);第四類:C中選2人分別參與兩項競賽,方法數(shù)為QUOTE=12(種);由分類加法計數(shù)原理,選派方法數(shù)共有:6+12+8+12=38(種).18.(12分)(2024·南通高二檢測)在QUOTE(n≥3,n∈N*)的綻開式中,第2,3,4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列.(1)求n的值;(2)求綻開式中含x2的項.【解析】(1)因為在QUOTE(n≥3,n∈N*)的綻開式中,第2,3,4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列,所以2QUOTE=QUOTE+QUOTE,求得n=7,或n=2(舍去).(2)二項綻開式的通項公式為Tk+1=QUOTE·QUOTE·QUOTE,令QUOTE=2,求得k=2,可得綻開式中含x2的項為T3=QUOTE·QUOTE·x2=QUOTEx2.19.(12分)高二某班級有5名男生,4名女生排成一排.(以下結(jié)果用數(shù)字作答)(1)從中選出3人排成一排,有多少種排法?(2)若4名女生互不相鄰,9名同學排成一排,有多少種不同的排法?【解析】(1)從9人中選出3人排成一排有QUOTE=504種排法.(2)5名男生排成一排的排法有QUOTE種,4名女生插空有QUOTE種狀況,則由分步乘法計數(shù)原理得4名女生互不相鄰有QUOTE=43200種排法.20.(12分)(2024·武漢高二檢測)某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生8名,外科醫(yī)生6名,現(xiàn)選派4名參與抗擊新冠肺炎疫情醫(yī)療隊,其中:(1)甲、乙兩人至少有一人參與,有多少種選法?(2)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生,有幾種選法?【解析】(1)依據(jù)題意,某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生8名,外科醫(yī)生6名,共14人,從中選取4人,有QUOTE=1001種選法,其中甲、乙都沒有參與的狀況有QUOTE=495種,則甲、乙兩人至少有一人參與的選法有1001-495=506種.(2)依據(jù)題意,從14人中任選4人,有QUOTE=1001種選法,其中只有內(nèi)科醫(yī)生的選法有QUOTE=70種,只有外科醫(yī)生的選法有QUOTE=15種,則隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法有1001-70-15=916種.21.(12分)在(2x-3y)10的綻開式中,求:(1)各項的二項式系數(shù)的和.(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.(3)各項系數(shù)之和.(4)奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和.【解題指南】(1)依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求解.(2)可采納賦值法,依據(jù)二項式定理,求得奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和,也可干脆應(yīng)用二項式系數(shù)的這部分性質(zhì),寫出答案.(3)采納賦值法,令x=y=1,求得各項系數(shù)之和.(4)采納賦值法,令x=1,y=-1,結(jié)合(3),可分別求得奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和.【解析】(1)各項的二項式系數(shù)的和為QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=210=1024.(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=29=512;偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=29=512.(3)設(shè)(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a1