同步優(yōu)化設(shè)計2024年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊

第三章空間向量與立體幾何§4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.2用向量方法探討立體幾何中的位置關(guān)系課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.若a=(2,3,m),b=(2n,6,8),且a,b為共線向量,則m+n的值為()A.7 B.52C.6 D.8答案C解析由a,b為共線向量,知n≠0且22解得m=4,n=2,則m+n=6.故選C.2.已知直線l1的方向向量是a=(2,-2,x),直線l2的方向向量是b=(2,y,-2),若|a|=3,且l1⊥l2,則x-y的值是()A.-4或0 B.4或1 C.-4 D.0答案A3.如圖,F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn),E是BB1上一點(diǎn),若D1F⊥DE,則有()A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=12EB D.E與B答案A解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體的棱長為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),設(shè)E(2,2,z),則D1F=(0,1,-2),DE=(2,2,z),∵D1F·DE=0×2+1×2-2z=0,∴z=4.設(shè)u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分別是平面α,β的法向量.若α⊥β,則t等于()A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析∵α⊥β,∴u·v=-2×6+2×(-4)+4t=0,∴t=5.5.已知兩個不重合的平面α與平面ABC,若平面α的法向量為n1=(2,-3,1),向量AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),則()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案A解析∵n1·AB=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,n1·AC=2×1-3×1+1×1=0,∴n1⊥AB,n1⊥AC,∵AB∩AC=A,∴n1也為平面ABC的一個法向量,又平面α與平面ABC不重合,∴平面α與平面ABC平行,故選A.6.已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),且VA=VB=VC=VD,VP=13VC,VM=23答案平行解析如圖,設(shè)VA=a,VB=b,VC=c,則VD=a+c-b,由題意知PM=23b-PN=23VD-13VC因此VA=所以VA,PM又VA?平面PMN,所以VA∥平面PMN.7.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)答案25解析由條件得3+5解得x=407,y=-157,z=4,∴x+y=8.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).(1)證明:AC⊥BC1;(2)證明:AC1∥平面CDB1.證明由題得△ABC為直角三角形,AC⊥BC.所以AC,BC,C1C兩兩垂直.如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),D32(1)因?yàn)锳C=(-3,0,0),BC1=(0,所以AC·BC1=0,所以AC(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連接DE,則E(0,2,2),DE=-32所以DE=12AC1因?yàn)镈E?平面CDB1,AC1?平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.9.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且相互垂直,M為AA1的中點(diǎn),N為BC1的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.證明由題意,知AA1,AB,AC兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AA1,AB,AC所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形AA1C1C的邊長為2,則A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)由題意知AA1⊥A1B1,AA1⊥A1C1,又A1B1∩A1C1=A1,A1B1,A1C1?平面A1B1C1,所以AA1⊥平面A1B1C1.因?yàn)锳A1=(2,0,0),MN所以MN·AA1=0,即MN又MN?平面A1B1C1,故MN∥平面A1B1C1.(2)設(shè)平面MBC1與平面BB1C1C的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).因?yàn)镸B=(-1,2,0),MC1所以n令x1=2,則平面MBC1的一個法向量為n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一個法向量為n2=(0,1,1).因?yàn)閚1·n2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.等級考提升練10.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,P是AA1的中點(diǎn),點(diǎn)M在側(cè)面AA1B1B(含邊界)內(nèi),若D1M⊥CP,則△BCM面積的最小值為()A.8 B.4 C.82 D.8答案D解析以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.則P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0),設(shè)M(4,a,b)(a,b∈[0,4]),則D1M=(4,a,b-4),CP=(4,-∵D1M⊥CP,∴D1M·CP=16-4a+2b-8=0,得∴M(4,a,2a-4),∴|BM|=(=5a當(dāng)a=125時,|BM|取最小值455,又BC=4,且BC∴△BCM面積的最小值為455×4×12=11.設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,則實(shí)數(shù)m等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析因?yàn)閘1⊥l2,所以a⊥b,則a·b=-2+6-2m=4-2m=0,解得m=2.故選B.12.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則()A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正確答案C13.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面答案B解析建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系(圖略),不妨設(shè)正方體的棱長為1,則DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,EF=13,13,-13,∴EF·DA1=0,EF·AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又BD1=(-1,14.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1的中點(diǎn),則直線CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1A答案B解析如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為2,則C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),CE=(1,-1,2),AC=(-2,2,0),DB=(2,2,0),A1D=(-2,0,-2),AA1=(0,0,2),CE·AC=-2-2+0=-4≠0,所以CE與AC不垂直,CE·DB=1×2+(-1)×2+2×15.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分別為PB,AD的中點(diǎn),則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是.

答案垂直解析以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E12,12,12,F12,0,0,∴EF=0,-12,-12,PB=(1,1,-1),CP=(0,-1,1),設(shè)平面PBC的一個法向量n=(x,y,z),則n·PB=0,n·CP=0,即x+y-z=0,-y+∵EF=-12n,∴EF∥n,∴EF⊥平面PBC16.如圖所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個點(diǎn)Q滿意PQ⊥QD,則a的值等于.

答案2解析以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),設(shè)Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).由PQ·QD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.當(dāng)Δ=a2-4=0,即當(dāng)a=2時,點(diǎn)Q17.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD(1)求證:CD⊥平面PAC;(2)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出點(diǎn)E的位置并證明;若不存在,請說明理由.解因?yàn)椤螾AD=90°,所以PA⊥AD.又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,∠BAD=90°,所以AB,AD,AP兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)證明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),可得AP·CD=0,AC所以AP⊥CD,AC⊥CD.又因?yàn)锳P∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(2)設(shè)側(cè)棱PA的中點(diǎn)是E,則E0,0,12,BE=-1,0,12.設(shè)平面PCD的法向量是n=(x,y,z),則n·CD=0,n·PD=0,因?yàn)镃D=(取x=1,則y=1,z=2,所以平面PCD的一個法向量為n=(1,1,2).又n·BE=(1,1,2)·-1,0,12=0,所以n⊥BE.因?yàn)锽E?平面PCD,所以BE∥平面PCD.綜上所述,當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時,BE∥平面PCD.新情境創(chuàng)新練18.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點(diǎn),P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn).若點(diǎn)Q在線段B1P上,則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)Q為線段B1P的中點(diǎn)時,DQ⊥平面A1BDB.當(dāng)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時,DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長線上,存在一點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BD答案D解析以點(diǎn)A1為坐標(biāo)原點(diǎn),A1B1,A1C1,A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),