2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)備考訓(xùn)練2平面向量與復(fù)數(shù)含解析

PAGE備考訓(xùn)練2平面對(duì)量與復(fù)數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1．[2024·山東棗莊質(zhì)量檢測(cè)]已知i是虛數(shù)單位，1＋(a－1)i>0(a∈R)，復(fù)數(shù)z＝a－2i，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,\x\to(z))))＝()A.eq\f(1,5)B．5C.eq\f(\r(5),5)D.eq\r(5)2．[2024·山東青島質(zhì)量檢測(cè)]已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,1)，(0,1)，則eq\f(z1,z2)＝()A．1＋iB．－1＋iC．－1－iD．1－i3．已知i是虛數(shù)單位，若2＋i＝z(1－i)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，若λa－b和2a＋b共線，則λA．2B.eq\f(1,2)C．－1D．－25．[2024·山東青島質(zhì)量檢測(cè)]向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，(a＋b)⊥(2a－b)，則向量a與b的夾角為()A．45°B．60°C．90°D．120°6．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，BN與CM交于點(diǎn)P，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)bC.eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)bD.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b7．[2024·山東師大附中月考]若兩個(gè)非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與b－a的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,6)8．設(shè)P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若|2eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))|＝2，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值為()A.eq\f(1,2)B．1C．－eq\f(1,2)D．－1二、多項(xiàng)選擇題9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝eq\f(4,1－i)的四個(gè)命題：p1：|z|＝2；p2：z2＝8i，p3：z的虛部為2；p4：z的共軛復(fù)數(shù)為－2－2i.其中真命題為()A．p1B．p2C．p3D．p410．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是()A．－2B.eq\f(1,2)C．1D．－111．[2024·山東萊州一中質(zhì)量檢測(cè)]在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，如圖，則下列等式成立的是()A．|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))B．|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))C．|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D．|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))×\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|2)12．[2024·山東濟(jì)南質(zhì)量評(píng)估]給定兩個(gè)不共線的空間向量a與b，定義叉乘運(yùn)算：a×b.規(guī)定：①a×b為同時(shí)與a，b垂直的向量；②a，b，a×b三個(gè)向量構(gòu)成右手系(如圖1)；③|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉．如圖2，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1A.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AB,\s\up6(→))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))D．長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝(eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(CC1,\s\up6(→))三、填空題13．已知復(fù)數(shù)z＝x＋4i(x∈R)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，且|z|＝5，則eq\f(z,1＋i)的共軛復(fù)數(shù)為________．14．[2024·山東省試驗(yàn)中學(xué)其次次診斷]已知向量a，b滿意|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝4，則|a－b|＝________.15．[2024·山東淄博試驗(yàn)中學(xué)模塊考試]若非零向量a、b，滿意|a|＝|b|，(2a＋b)⊥b，則a與b16．[2024·山東濰坊學(xué)情考試]已知腰長(zhǎng)為2的等腰直角△ABC中，M為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，則(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋4)·(eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→)))的最小值為________．備考訓(xùn)練2平面對(duì)量與復(fù)數(shù)1．解析：因?yàn)?＋(a－1)i>0(a∈R)，所以a－1＝0，即a＝1，|z|＝|1－2i|＝eq\r(5)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,\x\to(z))))＝eq\f(1,|\x\to(z)|)＝eq\f(1,|z|)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故選C.答案：C2．解析：∵復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,1)，(0,1)，∴z1＝1＋i，z2＝i.∴eq\f(z1,z2)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i1＋i,－i2)＝1－i.故選D.答案：D3．解析：z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2＋i,1＋i1－i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，∴eq\o(z,\s\up12(－))＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up12(－))對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2)))，在復(fù)平面的第四象限，故選D.答案：D4．解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，∴λa－b＝(λ＋1，－λ)，2a＋b＝(1，－2)，又λa－b和2a＋b共線，∴－λ＝－2(λ＋1)，∴答案：D5．解析：設(shè)向量a與b的夾角為θ.∵(a＋b)⊥(2a－b∴(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝2×12－(eq\r(2))2＋1×eq\r(2)×cosθ＝0，化為cosθ＝0，∵θ∈[0，π]，∴θ＝90°.故選C.答案：C6．解析：如圖，M，P，C三點(diǎn)共線，則eq\o(AP,\s\up12(→))＝meq\o(AC,\s\up12(→))＋(1－m)eq\o(AM,\s\up12(→))＝mb＋eq\f(1,2)(1－m)a(m∈R)，又N，P，B三點(diǎn)共線，所以eq\o(AP,\s\up12(→))＝neq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－n)eq\o(AN,\s\up12(→))＝na＋eq\f(1,3)(1－n)b(n∈R)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,2)1－m，,m＝\f(1,3)1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,5)，,n＝\f(2,5)，))所以eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b.故選B.答案：B7．解析：由已知得：(a＋b)2＝(a－b)2，綻開化簡(jiǎn)后得：a·b＝0，①由已知得：(a＋b)2＝4a2，綻開化簡(jiǎn)后得：a2＋2a·b＋b2＝4a將①代入②化簡(jiǎn)整理得：b2＝3a2，即|b|2＝3|a|2∴(a＋b)(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝2|a|2，設(shè)向量a＋b與b－a的夾角為θ，cosθ＝eq\f(a＋b·b－a,|a＋b||b－a|)＝eq\f(2|a|2,2|a|×2|a|)＝eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(π,3).故選C.答案：C8．解析：由|2eq\o(AP,\s\up12(→))－eq\o(BP,\s\up12(→))－eq\o(CP,\s\up12(→))|＝2，可得|eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))|＝|eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))|＝2.設(shè)BC的中點(diǎn)為D，即|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝1.點(diǎn)P是△ABC所在平面上的隨意一點(diǎn)，O為AD中點(diǎn)．所以eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(PA,\s\up12(→))·(eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→)))＝2eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PD,\s\up12(→))＝2(eq\o(PO,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→)))·(eq\o(PO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→)))＝2(eq\o(PO,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→)))·(eq\o(PO,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))＝2(eq\o(PO,\s\up12(→))2－eq\o(OA,\s\up12(→))2)＝2eq\o(PO,\s\up12(→))2－eq\f(1,2)≥－eq\f(1,2).當(dāng)且僅當(dāng)|eq\o(PO,\s\up12(→))|＝0，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PC,\s\up12(→))有最小值－eq\f(1,2).故選C.答案：C9．解析：復(fù)數(shù)z＝eq\f(4,1－i)＝eq\f(41＋i,1－i1＋i)＝2＋2i.可得|z|＝2eq\r(2)，所以p1：|z|＝2不正確；z2＝(2＋2i)2＝8i，所以p2：z2＝8i正確；z＝2＋2i，z的虛部為2，可得p3：z的虛部為2正確；z＝2＋2i的共軛復(fù)數(shù)為2－2i，所以p4：z的共軛復(fù)數(shù)為－2－2i不正確．故選BC.答案：BC10．解析：各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，若A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形，故選ABD.答案：ABD11．解析：由eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝|eq\o(AC,\s\up12(→))||eq\o(AB,\s\up12(→))|cosA＝|AD||AB|，由射影定理可得|eq\o(AC,\s\up12(→))|2＝eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))，即選項(xiàng)A正確；由eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝|eq\o(BA,\s\up12(→))||eq\o(BC,\s\up12(→))|cosB＝|BA||BD|，由射影定理可得|eq\o(BC,\s\up12(→))|2＝eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))，即選項(xiàng)B正確；由eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(CD,\s\up12(→))＝|eq\o(AC,\s\up12(→))||eq\o(CD,\s\up12(→))|cos(π－∠ACD)<0，又|eq\o(AB,\s\up12(→))|2>0，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由圖可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，所以|AC||BC|＝|AB||CD|，由選項(xiàng)A，B可得|eq\o(CD,\s\up12(→))|2＝eq\f(\o(AC,\s\up12(→))·\o(AB,\s\up12(→))×\o(BA,\s\up12(→))·\o(BC,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|2)，即選項(xiàng)D正確，故選ABD.答案：ABD12．解析：依據(jù)題意在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1對(duì)于選項(xiàng)A：eq\o(AA1,\s\up12(→))同時(shí)與eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(AD,\s\up12(→))垂直，|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|×|eq\o(AD,\s\up12(→))|sin〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))〉＝2×2×sin90°＝4，又因?yàn)閨eq\o(AA1,\s\up12(→))|＝4，所以|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up12(→))|，故eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))成立，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B：依據(jù)a，b，a×b三個(gè)向量構(gòu)成右手系，所以eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AB,\s\up12(→))＝－eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→))≠eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AB,\s\up12(→))，故B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)于(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))，同時(shí)滿意垂直于eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(AA1,\s\up12(→))且滿意右手系的，eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝λ1eq\o(DB,\s\up12(→))，|eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|＝|λ1eq\o(DB,\s\up12(→))|eq\r(22＋22)×4sin90°＝λ1eq\r(22＋22)λ1＝4，所以(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝4eq\o(DB,\s\up12(→))①；對(duì)于eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝λ2eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝λ3eq\o(AB,\s\up12(→))|eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|＝|λ2eq\o(DA,\s\up12(→))|，|eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))|＝|λ3eq\o(AB,\s\up12(→))|2×4sin90°＝λ2×2,2×4sin90°＝λ3×2λ2＝4，λ3＝4eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝4eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝4eq\o(AB,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝4eq\o(DA,\s\up12(→))＋4eq\o(AB,\s\up12(→))＝4eq\o(DB,\s\up12(→))②；所以綜合①②可得(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))×eq\o(AA1,\s\up12(→))，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝(eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→)))·eq\o(CC1,\s\up12(→))，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝2×2×(eq\o(AB,\s\up12(→))×eq\o(AD,\s\up12(→)))·eq\o(CC1,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))·eq\o(CC1,\s\up12(→))＝e