舉一反三系列高二高考數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版選擇性必修2專題4.11 數(shù)學(xué)歸納法(重難點(diǎn)題型精講)(含答案及解析)_第1頁
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文檔簡介

專題4.11數(shù)學(xué)歸納法(重難點(diǎn)題型精講)1.歸納法由一系列有限的特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法,通常叫做歸納法,它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,產(chǎn)生猜想的一種方法.歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:第一步(歸納莫基),證明當(dāng)n取第一個(gè)值()時(shí)命題成立;第二步(歸納遞推),以當(dāng)n=k(k≥,k)時(shí)命題成立為條件,推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.3.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論及適用范圍【題型1數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合所給條件,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,進(jìn)行求解即可.【例1】(2022·上?!じ叨n}練習(xí))已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1?12+13?1A.n=k+1時(shí)不等式成立 B.n=k+2時(shí)不等式成立C.n=2k+2時(shí)不等式成立 D.n=2k+2【變式1-1】(2022·吉林·模擬預(yù)測(理))用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+?+A.1=1?a31?a B.1+a=1?a【變式1-2】(2022·上?!じ叨n}練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n?1)n∈N?,從kA.2k+1 B.2C.2k+1k+1 D.【變式1-3】(2022·上?!じ叨n}練習(xí))在用數(shù)學(xué)歸納法求證:n+1n+2?n+n=2n?1?3?A.2k+2 B.2k+1C.2k+22k+1 D.【題型2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】【方法點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式問題,其關(guān)鍵在于第二步,它有一個(gè)基本格式,我們不妨設(shè)命題為P(n):f(n)=g(n).其第二步相當(dāng)于做一道條件等式的證明題.【例2】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1【變式2-1】(2022·廣西河池·高二階段練習(xí)(理))用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+1+【變式2-2】(2022·全國·高二專題練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N*).【變式2-3】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×22+2×【題型3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】【方法點(diǎn)撥】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式,一般有三種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進(jìn)行證明;二是比較兩個(gè)式子的大小,先利用n的幾個(gè)特殊值猜想大小再給出證明;三是已知不等式成立,尋求變量的取值范圍.2.在證明由n=k到n=k+1成立時(shí),一定要用歸納假設(shè)n=k時(shí)得到的中間過渡式,由過渡式到目標(biāo)式的證明可以用放縮法、基本不等式法、分析法等.【例3】(2022·全國·高二專題練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+…+12n≤12+n(【變式3-1】(2021·全國·高二專題練習(xí))求證:(1+1【變式3-2】證明不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈【變式3-3】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))證明:不等式1+1【題型4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題】【方法點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,關(guān)鍵是找出從n=k到n=k+1時(shí)圖形的變化.【例4】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))求證:n棱柱中過側(cè)棱的對(duì)角面(即過棱柱的兩條不相鄰的側(cè)棱的截面)的個(gè)數(shù)是f(n)=12n(n-3),其中n≥4,n∈N*【變式4-1】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))平面內(nèi)有n(n≥2)條直線,其中任何2條不平行,任何3條不過同一點(diǎn),求證:它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=n(n?1)【變式4-2】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn),任何三個(gè)圓都沒有共同的交點(diǎn),試證明這n個(gè)圓把平面分成了n2【變式4-3】在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=1﹣x2在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,試做如下操作:把x軸上的區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形,使矩形的右端點(diǎn)落在函數(shù)f(x)=1﹣x2的圖象上.若用ak(1≤k≤n,k∈N)表示第k個(gè)矩形的面積,Sn表示這n個(gè)矩形的面積總和.(1)求ak的表達(dá)式;(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22【題型5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】【方法點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是把n=k+1時(shí)的被除數(shù)分解成n=k時(shí)的式子及含有除數(shù)的式子的形式.【例5】(2022·上?!じ叨n}練習(xí))證明:當(dāng)n∈N?時(shí),【變式5-1】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))先猜想,再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想:n3【變式5-2】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))證明:n3【變式5-3】(2021·全國·高二專題練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明:n3+n+13+【題型6用歸納法解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題】【方法點(diǎn)撥】在給出了已知數(shù)列的遞推關(guān)系的情況下,可根據(jù)已知寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),利用不完全歸納法得出結(jié)論,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.正確計(jì)算是歸納的前提,常見的等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)結(jié)論是歸納的橋梁,而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明才是歸納的最終歸宿.【例6】(2022·廣西百色·高二期末(理))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,其中(1)試求:a2,a3的值,并猜想數(shù)列{a(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【變式6-1】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2(1)求S12、S2(2)由(1)猜想數(shù)列Sn【變式6-2】已知數(shù)列{an}中,a1=1且an+1=a(Ⅰ)求數(shù)列{an}的第2,3,4項(xiàng);(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的計(jì)算結(jié)果,猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【變式6-3】(2022·廣西·高二階段練習(xí)(理))請(qǐng)你從下列兩個(gè)遞推公式中,任意選擇一個(gè)填入題中橫線上,并解答題后的兩個(gè)問題:①Sn?1②a已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求a2(2)猜想數(shù)列an專題4.11數(shù)學(xué)歸納法(重難點(diǎn)題型精講)1.歸納法由一系列有限的特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法,通常叫做歸納法,它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,產(chǎn)生猜想的一種方法.

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:

第一步(歸納莫基),證明當(dāng)n取第一個(gè)值()時(shí)命題成立;

第二步(歸納遞推),以當(dāng)n=k(k≥,k)時(shí)命題成立為條件,推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都成立.

上述證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.3.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論及適用范圍【題型1數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合所給條件,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,進(jìn)行求解即可.【例1】(2022·上海·高二專題練習(xí))已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1?12+13?1A.n=k+1時(shí)不等式成立 B.n=k+2時(shí)不等式成立C.n=2k+2時(shí)不等式成立 D.n=2k+2【解題思路】利用已知及其數(shù)學(xué)歸納法的定義即可得出.【解答過程】若已假設(shè)n=k(k>2,k為偶數(shù))時(shí)命題為真,因?yàn)閚只能取偶數(shù),所以還需要證明n=k+2成立.故選:B.【變式1-1】(2022·吉林·模擬預(yù)測(理))用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+?+A.1=1?a31?a B.1+a=1?a【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟要求,第一步歸納奠基時(shí),驗(yàn)證n=1時(shí)的等式,結(jié)合所要證明的等式,即可得答案.【解答過程】將n=1代入等式1+a+a2+?+則第一步歸納奠基時(shí),要驗(yàn)證的等式即為1+a+a故選:D.【變式1-2】(2022·上?!じ叨n}練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n?1)n∈N?,從kA.2k+1 B.2C.2k+1k+1 D.【解題思路】按照數(shù)學(xué)歸納法類比題干條件逐項(xiàng)展開即可.【解答過程】當(dāng)n=k時(shí),左邊等于(k+1)(k+2)???(k+k);當(dāng)n=k+k+1+即左邊等于(k+2)(k+3)???(k+k)(2k+1)(2k+2);所以左邊增乘的項(xiàng)為2k+12k+2故選:B.【變式1-3】(2022·上?!じ叨n}練習(xí))在用數(shù)學(xué)歸納法求證:n+1n+2?n+n=2n?1?3?A.2k+2 B.2k+1C.2k+22k+1 D.【解題思路】根據(jù)題意,分別得到n=k和n=k+1時(shí),左邊對(duì)應(yīng)的式子,兩式作商,即可得出結(jié)果.【解答過程】當(dāng)n=k時(shí),左邊A=(k+1)(k+2)?(k+k)=(k+1)(k+2)?(2k),當(dāng)n=k+1時(shí),左邊B=(k+1)(k+2)?(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)?(2k+2),則BA故選:D.【題型2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】【方法點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式問題,其關(guān)鍵在于第二步,它有一個(gè)基本格式,我們不妨設(shè)命題為P(n):f(n)=g(n).其第二步相當(dāng)于做一道條件等式的證明題.【例2】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1【解題思路】先驗(yàn)證n=1時(shí),等式成立,再假設(shè)n=k時(shí),1×2+2×5+???+k3k?1=k【解答過程】證明:①當(dāng)n=1時(shí),1×2+2×5+???+n3n?1=1×2,②假設(shè)n=k時(shí),1×2+2×5+???+k3k?1則n=k+1時(shí),1×2+2×5+???+k=(k+1)(k即n=k+1時(shí),等式成立,綜合①②可知,1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1【變式2-1】(2022·廣西河池·高二階段練習(xí)(理))用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+1+【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可完成證明【解答過程】證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=2,右邊=1②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N即12那么當(dāng)n=k+1時(shí),12+1=1故當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.綜上可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.【變式2-2】(2022·全國·高二專題練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N*).【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可.【解答過程】證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2(2-3)+3=1,左邊=右邊,所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),等式成立,即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3.則當(dāng)n=k+1時(shí),1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2(k+1)[2(k+1)-3]+3,即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由(1)(2)知,等式對(duì)任何n∈N*都成立.【變式2-3】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×22+2×【解題思路】首先假設(shè)首項(xiàng)成立,再假設(shè)n=kk≥1,k∈N?【解答過程】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1×2右邊=1×所以左邊=右邊,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈即1×2那么當(dāng)n=k+1時(shí),1×====k+1綜上,對(duì)任何n∈N【題型3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】【方法點(diǎn)撥】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式,一般有三種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進(jìn)行證明;二是比較兩個(gè)式子的大小,先利用n的幾個(gè)特殊值猜想大小再給出證明;三是已知不等式成立,尋求變量的取值范圍.2.在證明由n=k到n=k+1成立時(shí),一定要用歸納假設(shè)n=k時(shí)得到的中間過渡式,由過渡式到目標(biāo)式的證明可以用放縮法、基本不等式法、分析法等.【例3】(2022·全國·高二專題練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+…+12n≤12+n(【解題思路】按數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟直接證明即可.【解答過程】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+1即當(dāng)n=1時(shí),原不等式成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),原不等式成立,即1+12+13+…+12k≤則當(dāng)n=k+1時(shí),1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,綜合(1)和(2)得,原不等式對(duì)所有的n∈N*都成立.【變式3-1】(2021·全國·高二專題練習(xí))求證:(1+1【解題思路】根據(jù)給定條件借助數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟直接證明即可.【解答過程】(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+13=(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),原不等式成立,即(1+1則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(1+=2k+1因此,當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式成立,綜合(1)和(2)知,對(duì)一切n≥2,n∈N*,原不等式都成立.【變式3-2】證明不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法可證明,先假設(shè)n=k時(shí)成立,再證明n=k+1時(shí)成立即可.【解答過程】當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,左邊<右邊,不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即1+1當(dāng)n=k+1時(shí),1+<2<(所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.綜上,原不等式對(duì)任意n∈N*都成立.【變式3-3】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))證明:不等式1+1【解題思路】用數(shù)學(xué)歸納法證明,由n=1時(shí)成立,再假設(shè)n=k時(shí),不等式1+12+【解答過程】當(dāng)n=1時(shí),1>1假設(shè)n=k時(shí),不等式1+1那么n=k+1時(shí),1+1∵12k?1+1>12∴1+1即n=k+1時(shí),該不等式也成立,綜上:不等式1+1【題型4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題】【方法點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,關(guān)鍵是找出從n=k到n=k+1時(shí)圖形的變化.【例4】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))求證:n棱柱中過側(cè)棱的對(duì)角面(即過棱柱的兩條不相鄰的側(cè)棱的截面)的個(gè)數(shù)是f(n)=12n(n-3),其中n≥4,n∈N*【解題思路】用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【解答過程】證明:(1)當(dāng)n=4時(shí),四棱柱有2個(gè)對(duì)角面,此時(shí)f(4)=12(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4,k∈N*)時(shí),命題成立.即k棱柱中過側(cè)棱的對(duì)角面有f(k)=12k(k現(xiàn)在考慮n=k+1時(shí)的情形.對(duì)于(k+1)棱柱A1A2…Ak+1-B1B2…Bk+1,棱Ak+1Bk+1與其余和它不相鄰的(k-2)條棱共增加了(k-2)個(gè)對(duì)角面,而面A1B1BkAk變成了對(duì)角面.因此對(duì)角面的個(gè)數(shù)為f(k)+(k-2)+1=12k(k-3)+k-1=12(k-2)(k+1)=12(k+1)[(k+1)-3],即f(k+1)=12(由(1)和(2),可知原結(jié)論成立.【變式4-1】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))平面內(nèi)有n(n≥2)條直線,其中任何2條不平行,任何3條不過同一點(diǎn),求證:它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=n(n?1)【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,即可證明結(jié)論.【解答過程】證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè),又f(2)=1∴當(dāng)n=2時(shí),命題成立.(2)假設(shè)n=k∈N?,且(k>2)時(shí),命題成立,即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)那么,當(dāng)n=k+1時(shí),任取一條直線l,除l以外其他k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)=12k(k?1),l與其他k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k,從而k+1即f(k+1)=f(k)+k=1這表明,當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由(1)、(2)可知,對(duì)n∈N【變式4-2】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn),任何三個(gè)圓都沒有共同的交點(diǎn),試證明這n個(gè)圓把平面分成了n2【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【解答過程】當(dāng)n=1時(shí),1個(gè)圓將平面分為2個(gè)區(qū)域,12假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),k個(gè)圓將平面分為k2當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1個(gè)圓Ck+1與前k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn),這2k個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓分為2k因此,這時(shí)平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2k個(gè)部分,即k2即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可得:平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn),任何三個(gè)圓都沒有共同的交點(diǎn),這n個(gè)圓把平面分成了n2【變式4-3】在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=1﹣x2在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,試做如下操作:把x軸上的區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形,使矩形的右端點(diǎn)落在函數(shù)f(x)=1﹣x2的圖象上.若用ak(1≤k≤n,k∈N)表示第k個(gè)矩形的面積,Sn表示這n個(gè)矩形的面積總和.(1)求ak的表達(dá)式;(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22【解題思路】(1)第k個(gè)矩形的高為1?(k(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+?+n【解答過程】解:(1)由題意第k個(gè)矩形的高是1?∴ak(2)(i)當(dāng)n=1時(shí),13(ii)設(shè)n=k時(shí)命題成立,即12則n=k+1時(shí),1=1=1∴n=k+1時(shí)命題成立,綜上,n∈N*時(shí),命題為真,即12∴S=1?【題型5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】【方法點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是把n=k+1時(shí)的被除數(shù)分解成n=k時(shí)的式子及含有除數(shù)的式子的形式.【例5】(2022·上?!じ叨n}練習(xí))證明:當(dāng)n∈N?時(shí),【解題思路】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【解答過程】(1)當(dāng)n=1時(shí),f1(2)假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈N?則當(dāng)n=k+1時(shí),fk+1故fk+1綜合(1)(2)可知當(dāng)n∈N?時(shí),【變式5-1】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))先猜想,再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想:n3【解題思路】先分別用n取1,2,3,4時(shí)驗(yàn)證,則可猜想:n3【解答過程】n=1時(shí),原式=6,n=2時(shí),原式=18,n=3時(shí),原式=42,n=4時(shí),原式=84,這些數(shù)都可以被6整除,所以猜想:n3證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),13(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)當(dāng)n=k+1(k∈N?)其中兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù),它的3倍能被6整除,由假設(shè)知k3故k3+5k,所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.據(jù)(1)(2),可知n3故n3【變式5-2】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))證明:n3【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.【解答過程】解:⑴當(dāng)n=1時(shí),n3⑵假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即n3當(dāng)n=k+1時(shí),n3由假設(shè)知:k3而kk+1為偶數(shù),故3k故k+13即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立,由⑴⑵可知,命題對(duì)一切正整數(shù)成立,即n3【變式5-3】(2021·全國·高二專題練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明:n3+n+13+【解題思路】先驗(yàn)證n=1時(shí),n3+n+13+n+23能被9整除;假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),k【解答過程】證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),13+2(2)假設(shè)當(dāng)n=kk∈N?時(shí)結(jié)論成立,即k則當(dāng)n=k+1時(shí),k+1=k因?yàn)閗3+k+13+k+23所以,k+13+k+23+由(1)(2)知命題對(duì)一切n∈N【題型6用歸納法解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題】【方法點(diǎn)撥】在給出了已知數(shù)列的遞推關(guān)系的情況下,可根據(jù)已知寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),利用不完全歸納法得出結(jié)論,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.正確計(jì)算是歸納的前提,常見的等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)結(jié)論是歸納的橋梁,而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明才是歸納的最終歸宿.【例6】(2022·廣西百色·高二期末(理))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,其中(1)試求:a2,a3的值,并猜想數(shù)列{a(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解題思路】(1)根據(jù)遞推關(guān)系寫出a2,a(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,首先判斷n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否成立,再假設(shè)n=k時(shí)通項(xiàng)公式成立,進(jìn)而利用an,S【解答過程】(1)因?yàn)閍n=S所以a2=S因?yàn)閍3所以14a3=由a1=1(2)①當(dāng)n=1時(shí),a1②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,即a那么,當(dāng)n=k+1時(shí),由題設(shè)an=Snn(2n?1)所以Sk=k(2k?1)a則ak+1因此,k(2k+3)a所以ak+1這就證明了當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由①②可知:命題對(duì)任何n∈N【變式6-1】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2(1)求S12、S2(2)由(1)猜想數(shù)列Sn【解題思路】(1)由an=12+1n(2)由(1)猜想,數(shù)列Sn2n的通項(xiàng)公式

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