舉一反三系列高二高考數學同步及復習資料人教A版選擇性必修2專題4.12 數學歸納法(重難點題型檢測)(含答案及解析)_第1頁
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專題4.12數學歸納法(重難點題型檢測)【人教A版2019選擇性必修第二冊】考試時間:60分鐘;滿分:100分姓名:___________班級:___________考號:___________考卷信息:本卷試題共22題,單選8題,多選4題,填空4題,解答6題,滿分100分,限時60分鐘,本卷題型針對性較高,覆蓋面廣,選題有深度,可衡量學生掌握本節(jié)內容的具體情況!一.選擇題(共8小題,滿分24分,每小題3分)1.(3分)(2022·全國·高三專題練習)利用數學歸納法證明不等式1+12+13+?+1A.1項 B.k項 C.2k?1項 D.22.(3分)(2022·全國·高二課時練習)用數學歸納法證明:12+22+???+n2A.k2+12 B.k2+1 3.(3分)(2022·全國·高二課時練習)平面內有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都無公共點,用f(n)表示這n個圓把平面分割的區(qū)域數,那么f(n+1)與f(n)之間的關系為(

)A.f(n+1)=f(n)+n B.f(n+1)=f(n)+2nC.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+n?14.(3分)(2022·全國·高二課時練習)用數學歸納法證明“5n?2n能被3整除”的第二步中,n=k+1時,為了使用假設,應將A.55k?C.5?25k?5.(3分)(2022·全國·高二專題練習)用數學歸納法證明不等式1n+1+1n+2+1n+3+?+12n>1324A.增加了一項1B.增加了兩項12k+1,C.增加了兩項12k+1,12(k+1)D.增加了一項12(k+1),又減少了一項6.(3分)(2021·江蘇·高二課時練習)用數學歸納法證明:首項是a1,公差是d的等差數列的前n項和公式是Sn=na1+n(n?1)2d時,假設當n=k時,公式成立,則Sk=(

A.a1+(k-1)d B.k(C.ka1+k(k?1)2d D.(k+1)a1+k(k+1)7.(3分)(2022·上?!じ叨n}練習)對于不等式n2+n<n+1(n∈N(1)當n=1時,12(2)假設當n=k(k∈N*)時,不等式成立,即k2+k<k+1,則當n=k+1時,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<∴n=k+1時,不等式成立,則上述證法(

)A.過程全部正確B.n=1驗得不正確C.歸納假設不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確8.(3分)(2021·全國·高二專題練習)用數學歸納法證明“(3n+1)?7n?1(n∈N?)能被9整除”,在假設A.3×7k+6 B.3×7k+1+6二.多選題(共4小題,滿分16分,每小題4分)9.(4分)(2022·全國·高二課時練習)對于不等式n2+n≤n+1n∈N?,某同學運用數學歸納法的證明過程如下:①當n=1時,12+1≤1+1,不等式成立.②假設當n=kk≥1,k∈NA.過程全部正確 B.n=1時證明正確C.過程全部不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確10.(4分)(2022·全國·高二課時練習)某個命題與正整數n有關,如果當n=kk∈N?時命題成立,則可得當n=k+1時命題也成立,若已知當n=5A.當n=4時,命題不成立B.當n=1時,命題可能成立C.當n=6時,命題不成立D.當n=6時,命題可能成立也可能不成立,但若當n=6時命題成立,則對任意n≥6,命題都成立11.(4分)(2022·全國·高三專題練習)用數學歸納法證明2n?12n+1>nA.1 B.2 C.3 D.412.(4分)(2022·全國·高二專題練習)(多選題)數列an滿足an+1=?anA.0<B.aC.對任意正數b,都存在正整數m使得11?D.a三.填空題(共4小題,滿分16分,每小題4分)13.(4分)(2022·廣西河池·高二階段練習(理))用數學歸納法證明n3+5n能被6整除的過程中,當n=k+1時,式子(k+1)3+5(k+1)應變形為.14.(4分)(2022·全國·高二專題練習)用數學歸納法證明:“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分,則f(n)=1+n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時,用到f(k+1)=f(k)+15.(4分)(2022·遼寧·高二期中)證明不等式1+12+13+14+?+1216.(4分)(2021·全國·高二課前預習)用數學歸納法證明1+2+22+?+2n?1=(1)當n=1時,左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立;(2)假設當n=k(k∈N*)時等式成立,即1+2+22+?+2k-1=2k-1,則當n=k+1時,1+2+22+?+2k-1+2k=1?2k+11?2=2k+1-1.所以當n=k+1時等式也成立.由此可知對于任何n∈N*,等式都成立.上述證明的錯誤是四.解答題(共6小題,滿分44分)17.(6分)(2022·全國·高二課時練習)用數學歸納法證明:1218.(6分)(2022·陜西·高二階段練習(理))用數學歸納法證明:對任意正整數n,419.(8分)(2022·全國·高二課時練習)平面內有n(n≥2)個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不相交于同一點,記這n個圓的交點個數為f(n),猜想f(n)的表達式,并用數學歸納法證明.20.(8分)(2022·河南南陽·高二期末(理))設正項數列an的首項為4,滿足a(1)求a2,a(2)用數學歸納法證明你的猜想.21.(8分)(2022·全國·高二課時練習)下列各題在應用數學歸納法證明的過程中,有沒有錯誤?如果有錯誤,錯在哪里?(1)求證:當n∈N?時,n=n+1.證明:假設當n=k(k∈N?)時,等式成立,即k=k+1.則當n=k+1時,左邊=k+1=(k+1)+1=右邊.所以當n=k+1時,等式也成立.由此得出,對任何n∈N?,等式n=n+1都成立.(2)用數學歸納法證明等差數列的前n項和公式是Sn證明,①當n=1時,左邊=S1=a②假設當n=k(k∈N?)時,等式成立,即Sk=k(Sk+1Sk+1上面兩式相加并除以2,可得Sk+1即當n=k+1時,等式也成立.由①②可知,等差數列的前n項和公式是S22.(8分)(2021·全國·高二專題練習)漢諾塔問題是源于印度一個古老傳說的益智游戲.這個游戲的目的是將圖(1)中按照直徑從小到大依次擺放在①號塔座上的盤子,移動到③號塔座上,在移動的過程中要求:每次只可以移動一個盤子,并且保證任何一個盤子都不可以放在比自己小的盤子上.記將n個直徑不同的盤子從①號塔座移動到③號塔座所需要的最少次數為an.(1)試寫出a1,a2,a3,a4值,并猜想出an;(無需給出證明)(2)著名的畢達哥拉斯學派提出了形數的概念.他們利用小石子擺放出了圖(2)的形狀,此時小石子的數目分別為1,4,9,16,由于小石子圍成的圖形類似正方形,于是稱bn=n2這樣的數為正方形數.當n≥2時,試比較an與bn的大小,并用數學歸納法加以證明.專題4.12數學歸納法(重難點題型檢測)參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題,滿分24分,每小題3分)1.(3分)(2022·全國·高三專題練習)利用數學歸納法證明不等式1+12+13+?+1A.1項 B.k項 C.2k?1項 D.2【解題思路】分別分析當n=k與n=k+1時等號左邊的項,再分析增加項即可【解答過程】由題意知當n=k時,左邊為1+12+13+?+12k故選:D.2.(3分)(2022·全國·高二課時練習)用數學歸納法證明:12+22+???+n2A.k2+12 B.k2+1 【解題思路】根據等式左邊的特點,各數是先遞增再遞減,分別寫出n=k與n=k+1時的結論,即可得到答案.【解答過程】根據等式左邊的特點,各數是先遞增再遞減,由于n=k,左邊=1n=k+1時,左邊=1比較兩式,從而等式左邊應添加的式子是(k+1)2故選:C.3.(3分)(2022·全國·高二課時練習)平面內有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都無公共點,用f(n)表示這n個圓把平面分割的區(qū)域數,那么f(n+1)與f(n)之間的關系為(

)A.f(n+1)=f(n)+n B.f(n+1)=f(n)+2nC.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+n?1【解題思路】第n+1個圓與前n個圓相交有2n個交點,這些交點把第n+1個圓分成2n段圓弧,每段圓弧把它所在區(qū)域分成兩部分,由此可得增加的區(qū)域數,得出結論.【解答過程】依題意得,由n個圓增加到n+1個圓,增加了2n個交點,這2n個交點將新增的圓分成2n段弧,而每一段弧都將原來的一塊區(qū)域分成了2塊,故增加了2n塊區(qū)域,因此f(n+1)=f(n)+2n.故選:B.4.(3分)(2022·全國·高二課時練習)用數學歸納法證明“5n?2n能被3整除”的第二步中,n=k+1時,為了使用假設,應將A.55k?C.5?25k?【解題思路】假設n=k時命題成立,分解5k+1?2k+1的過程中要【解答過程】解:假設n=k時命題成立,即:5k當n=k+1時,5=5=55故選:A.5.(3分)(2022·全國·高二專題練習)用數學歸納法證明不等式1n+1+1n+2+1n+3+?+12n>1324A.增加了一項1B.增加了兩項12k+1,C.增加了兩項12k+1,12(k+1)D.增加了一項12(k+1),又減少了一項【解題思路】將n=k、n=k+1代入不等式左邊,比較兩式即可求解.【解答過程】n=k時,左邊為1k+1+1k+2+…+1n=k+1時,左邊為1k+2+1k+3+…+12k+12k+1比較①②可知C正確.故選:C.6.(3分)(2021·江蘇·高二課時練習)用數學歸納法證明:首項是a1,公差是d的等差數列的前n項和公式是Sn=na1+n(n?1)2d時,假設當n=k時,公式成立,則Sk=(

A.a1+(k-1)d B.k(C.ka1+k(k?1)2d D.(k+1)a1+k(k+1)【解題思路】只需把公式中的n換成k即可.【解答過程】假設當n=k時,公式成立,只需把公式中的n換成k即可,即Sk=ka1+k(k?1)2d故選:C.7.(3分)(2022·上海·高二專題練習)對于不等式n2+n<n+1(n∈N(1)當n=1時,12(2)假設當n=k(k∈N*)時,不等式成立,即k2+k<k+1,則當n=k+1時,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<∴n=k+1時,不等式成立,則上述證法(

)A.過程全部正確B.n=1驗得不正確C.歸納假設不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確【解題思路】根據數學歸納法的定義即可判斷答案.【解答過程】在n=k+1時,沒有應用n=k時的歸納假設.故選:D.8.(3分)(2021·全國·高二專題練習)用數學歸納法證明“(3n+1)?7n?1(n∈N?)能被9整除”,在假設A.3×7k+6 B.3×7k+1+6【解題思路】假設n=k時命題成立,即(3k+1)?7k?1能被9整除,計算當n=k+1時,3【解答過程】解:假設n=k時命題成立,即(3k+1)?7當n=k+1時,3====6?=6?3k+1∵(3k+1)?7k要證上式能被9整除,還需證明3?7k+1故選:B.二.多選題(共4小題,滿分16分,每小題4分)9.(4分)(2022·全國·高二課時練習)對于不等式n2+n≤n+1n∈N?,某同學運用數學歸納法的證明過程如下:①當n=1時,12+1≤1+1,不等式成立.②假設當n=kk≥1,k∈NA.過程全部正確 B.n=1時證明正確C.過程全部不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確【解題思路】直接利用數學歸納法的步驟進行判斷即可.【解答過程】易知當n=1時,該同學的證法正確.從n=k到n=k+1的推理過程中,該同學沒有使用歸納假設,不符合數學歸納法的證題要求,故推理不正確.故選:BD.10.(4分)(2022·全國·高二課時練習)某個命題與正整數n有關,如果當n=kk∈N?時命題成立,則可得當n=k+1時命題也成立,若已知當n=5A.當n=4時,命題不成立B.當n=1時,命題可能成立C.當n=6時,命題不成立D.當n=6時,命題可能成立也可能不成立,但若當n=6時命題成立,則對任意n≥6,命題都成立【解題思路】利用給定信息結合反證法的思想,逐一對各選項進行分析、推導即可判斷作答.【解答過程】如果當n=4時命題成立,則當n=5時命題也成立,與題設矛盾,即當n=4時,命題不成立,A正確;如果當n=1時命題成立,則當n=2時命題成立,繼續(xù)推導可得當n=5時命題成立,與題設矛盾,B不正確;當n=6時,該命題可能成立也可能不成立,如果當n=6時命題成立,則當n=7時命題也成立,繼續(xù)推導可得對任意n≥6,命題都成立,C不正確,D正確.故選:AD.11.(4分)(2022·全國·高三專題練習)用數學歸納法證明2n?12n+1>nA.1 B.2 C.3 D.4【解題思路】先驗證四個選項中符合要求的k的值,再用數學歸納法進行充分性證明.【解答過程】當k=1時,2?12+1當k=2時,22當k=3時,23當k=4時,24下證:當n≥3時,2n當n=3時,23假設當n=kk≥3時,均有2k當n=k+1時,有2k+1因為4k+14k+3所以2k+1由數學歸納法可知:2n?12故選:CD.12.(4分)(2022·全國·高二專題練習)(多選題)數列an滿足an+1=?anA.0<B.aC.對任意正數b,都存在正整數m使得11?D.a【解題思路】對于A,結合二次函數的特點可確定正誤;對于B,將原式化簡為a1?a對于C,結合a1范圍和A中結論可確定1對于D,利用數學歸納法可證得結論.【解答過程】對于A,an+1=?an2又a1∈0,12又an+1?a對于B,由已知得:an∴a對于C,由a1∈0,12∴11?a1+11?a2對于D,(i)當n=1時,由已知知:a1(ii)假設當n=kk∈N?則an+1又?1n+12∴a綜上所述:當n∈N?時,故選:ABCD.三.填空題(共4小題,滿分16分,每小題4分)13.(4分)(2022·廣西河池·高二階段練習(理))用數學歸納法證明n3+5n能被6整除的過程中,當n=k+1時,式子(k+1)3+5(k+1)應變形為(k3+5k)+3k(k+1)+6.【解題思路】將n=k+1代入,分解因式可得(k3+5k)+3k(k+1)+6即可.【解答過程】(k+1)3+5(k+1)=k3+1+3k2+3k+5k+5=(k3+5k)+3k2+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6.∵k(k+1)為偶數,∴3k(k+1)能被6整除,∴(k+1)3+5(k+1)應變形為(k3+5k)+3k(k+1)+6.故答案為:(k3+5k)+3k(k+1)+6.14.(4分)(2022·全國·高二專題練習)用數學歸納法證明:“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分,則f(n)=1+n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時,用到f(k+1)=f(k)+k+1【解題思路】從目標f(n)=1+n(n+1)2分析,f(k+1)?f(k)【解答過程】f(k)=1+k(k+1)2f(k+1)=1+(k+1)(k+2)2∴f(k+1)-f(k)=1+(k+1)(k+2)=k+1,∴f(k+1)=f(k)+(k+1).故答案為:k+1.15.(4分)(2022·遼寧·高二期中)證明不等式1+12+13+14+?+12【解題思路】根據數學歸納法,結合不等式左邊的特征判斷增加的項數即可.【解答過程】當n=k時,左邊1+1當n=k+1時,左邊1+1而(2所以n=k+1時不等式左邊增加了2k故答案為:2k16.(4分)(2021·全國·高二課前預習)用數學歸納法證明1+2+22+?+2n?1=(1)當n=1時,左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立;(2)假設當n=k(k∈N*)時等式成立,即1+2+22+?+2k-1=2k-1,則當n=k+1時,1+2+22+?+2k-1+2k=1?2k+11?2=2k+1-1.所以當n=k+1時等式也成立.由此可知對于任何n∈N*【解題思路】根據數學歸納法證明的方法與步驟即可得出答案.【解答過程】本題在由n=k成立,證n=k+1成立時,應用了等比數列的求和公式,而未用上假設條件,這與數學歸納法的要求不符.故答案為:未用歸納假設.四.解答題(共6小題,滿分44分)17.(6分)(2022·全國·高二課時練習)用數學歸納法證明:12【解題思路】利用數學歸納法,先證明當n=1時,等式成立,假設當n=k時成立,證明當n=k+1時等式成立即可.【解答過程】解:(1)當n=1時,左邊=121×3=(2)假設當n=k時,等式成立,即121×3+22當n=k+1時,121×3+2====k+1即當n=k+1時等式也成立.,由(1)(2)可知:等式對任何n∈N故1218.(6分)(2022·陜西·高二階段練習(理))用數學歸納法證明:對任意正整數n,4【解題思路】按照數學歸納法的步驟操作即可證明.【解答過程】證明:(1)當n=1時,4n+15n?1故當n=1時,4n(2)假設當n=k時,命題成立,即4k則當n=k+1時,4k+1綜合(1)(2)可得,對任意正整數n,419.(8分)(2022·全國·高二課時練習)平面內有n(n≥2)個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不相交于同一點,記這n個圓的交點個數為f(n),猜想f(n)的表達式,并用數學歸納法證明.【解題思路】當n=2時,f(2)=2=1×2,n=3時,f(3)=2+4=6=2×3,n=4時,f(4)=6+6=12=3×4,……,由此歸納出f(n)=n(n-1)(n≥2),然后利用數學歸納法證明即可【解答過程】n=2時,f(2)=2=1×2,n=3時,f(3)=2+4=6=2×3,n=4時,f(4)=6+6=12=3×4,n=5時,f(5)=12+8=20=4×5,猜想f(n)=n(n-1)(n≥2).下面用數學歸納法給出證明:①當n=2時,f(2)=2=2×(2-1),猜想成立.②假設當n=k(k≥2,k∈N*),時猜想成立,即f(k)=k(k-1),則n=k+1時,其中圓O與其余k個圓各有兩個交點,而由假設知這k個圓有f(k)個交點,所以這k+1個圓的交點個數f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2k=k2+k=(k+1)[(k+1)-1],即n=k+1時猜想也成立.由①②知:f(n)=n(n-1)(n≥2).20.(8分)(2022·河南南陽·高二期末(理))設正項數列an的首項為4,滿足a(1)求a2,a(2)用數學歸納法證明你的猜想.【解題思路】(1)由首項及遞推關系式逐次求得a2(2)根據已知條件得到遞推關系,利用遞推關系按數學歸納法步驟證明即可.【解答過程】(1)由an2=an+1+3nan?3則a2=7,a(2)由(1)得an+1=an2①當n=1時,猜想顯然成立;②假設當n=kk≥2,k∈N?當n=k+1時,ak+1由①②知猜想恒成立,即an21.(8分)(2022·全國·高二課時練習)下列各題在應用數學歸納法證明的過程中,有沒有錯誤?如果有錯誤,錯在哪里?(1)求證:當n∈N?時,n=n+1.證明:假設當n=k(k∈N?)時,等式成立,即k=k+1.則當n=k+1時,左邊=k+1=(k+1)+1=右邊.所以當n=k+1時,等式也成立.由此得出,對任何n∈N?,等式n=n+1都成立.(2)用數學歸納法證明等差數列的前n

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