舉一反三系列高二高考數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版選擇性必修2專題4.12 數(shù)學(xué)歸納法（重難點題型檢測）（含答案及解析）

專題4.12數(shù)學(xué)歸納法（重難點題型檢測）【人教A版2019選擇性必修第二冊】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+?+1A．1項 B．k項 C．2k?1項 D．22．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+???+n2A．k2+12 B．k2+1 3．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都無公共點，用f(n)表示這n個圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系為（

）A．f(n+1)=f(n)+n B．f(n+1)=f(n)+2nC．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+n?14．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n?2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時，為了使用假設(shè)，應(yīng)將A．55k?C．5?25k?5．（3分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n+1+1n+2+1n+3+?+12n>1324A．增加了一項1B．增加了兩項12k+1，C．增加了兩項12k+1，12(k+1)D．增加了一項12(k+1)，又減少了一項6．（3分）（2021·江蘇·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn＝na1＋n(n?1)2d時，假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，則Sk＝（

A．a(chǎn)1＋(k－1)d B．k(C．ka1＋k(k?1)2d D．(k＋1)a1＋k(k+1)7．（3分）（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）對于不等式n2+n＜n＋1(n∈N（1）當(dāng)n＝1時，12（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即k2+k＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜∴n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法（

）A．過程全部正確B．n＝1驗得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確8．（3分）（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3n+1)?7n?1(n∈N?)能被9整除”，在假設(shè)A．3×7k+6 B．3×7k+1+6二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）對于不等式n2+n≤n+1n∈N?，某同學(xué)運用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：①當(dāng)n=1時，12+1≤1+1，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈NA．過程全部正確 B．n=1時證明正確C．過程全部不正確 D．從n=k到n=k+1的推理不正確10．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n=kk∈N?時命題成立，則可得當(dāng)n=k+1時命題也成立，若已知當(dāng)n=5A．當(dāng)n=4時，命題不成立B．當(dāng)n=1時，命題可能成立C．當(dāng)n=6時，命題不成立D．當(dāng)n=6時，命題可能成立也可能不成立，但若當(dāng)n=6時命題成立，則對任意n≥6，命題都成立11．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明2n?12n+1>nA．1 B．2 C．3 D．412．（4分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）（多選題）數(shù)列an滿足an+1=?anA．0<B．a(chǎn)C．對任意正數(shù)b，都存在正整數(shù)m使得11?D．a(chǎn)三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·廣西河池·高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明n3＋5n能被6整除的過程中，當(dāng)n＝k＋1時，式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為.14．（4分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時，用到f(k＋1)＝f(k)＋15．（4分）（2022·遼寧·高二期中）證明不等式1+12+13+14+?+1216．（4分）（2021·全國·高二課前預(yù)習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+?+2n?1=（1）當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋2＋22＋?＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時，1＋2＋22＋?＋2k－1＋2k＝1?2k+11?2＝2k＋1－1.所以當(dāng)n＝k＋1時等式也成立.由此可知對于任何n∈N*，等式都成立.上述證明的錯誤是四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1218．（6分）（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)n,419．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)有n(n≥2)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，記這n個圓的交點個數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．20．（8分）（2022·河南南陽·高二期末（理））設(shè)正項數(shù)列an的首項為4，滿足a(1)求a2，a(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．21．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？（1）求證：當(dāng)n∈N?時，n=n+1．證明：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時，等式成立，即k=k+1．則當(dāng)n=k+1時，左邊=k+1=(k+1)+1=右邊．所以當(dāng)n=k+1時，等式也成立．由此得出，對任何n∈N?，等式n=n+1都成立．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前n項和公式是Sn證明，①當(dāng)n=1時，左邊=S1=a②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時，等式成立，即Sk=k(Sk+1Sk+1上面兩式相加并除以2，可得Sk+1即當(dāng)n=k+1時，等式也成立．由①②可知，等差數(shù)列的前n項和公式是S22．（8分）（2021·全國·高二專題練習(xí)）漢諾塔問題是源于印度一個古老傳說的益智游戲.這個游戲的目的是將圖（1）中按照直徑從小到大依次擺放在①號塔座上的盤子，移動到③號塔座上，在移動的過程中要求：每次只可以移動一個盤子，并且保證任何一個盤子都不可以放在比自己小的盤子上.記將n個直徑不同的盤子從①號塔座移動到③號塔座所需要的最少次數(shù)為an.（1）試寫出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（無需給出證明）（2）著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了形數(shù)的概念.他們利用小石子擺放出了圖（2）的形狀，此時小石子的數(shù)目分別為1，4，9，16，由于小石子圍成的圖形類似正方形，于是稱bn＝n2這樣的數(shù)為正方形數(shù).當(dāng)n≥2時，試比較an與bn的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.專題4.12數(shù)學(xué)歸納法（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+?+1A．1項 B．k項 C．2k?1項 D．2【解題思路】分別分析當(dāng)n=k與n=k+1時等號左邊的項，再分析增加項即可【解答過程】由題意知當(dāng)n=k時，左邊為1+12+13+?+12k故選：D.2．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+???+n2A．k2+12 B．k2+1 【解題思路】根據(jù)等式左邊的特點，各數(shù)是先遞增再遞減，分別寫出n=k與n=k+1時的結(jié)論，即可得到答案．【解答過程】根據(jù)等式左邊的特點，各數(shù)是先遞增再遞減，由于n=k，左邊=1n=k+1時，左邊=1比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是(k+1)2故選：C．3．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都無公共點，用f(n)表示這n個圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系為（

）A．f(n+1)=f(n)+n B．f(n+1)=f(n)+2nC．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+n?1【解題思路】第n+1個圓與前n個圓相交有2n個交點，這些交點把第n+1個圓分成2n段圓弧，每段圓弧把它所在區(qū)域分成兩部分，由此可得增加的區(qū)域數(shù)，得出結(jié)論．【解答過程】依題意得，由n個圓增加到n+1個圓，增加了2n個交點，這2n個交點將新增的圓分成2n段弧，而每一段弧都將原來的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了2n塊區(qū)域，因此f(n+1)=f(n)+2n．故選：B．4．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n?2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時，為了使用假設(shè)，應(yīng)將A．55k?C．5?25k?【解題思路】假設(shè)n=k時命題成立，分解5k+1?2k+1的過程中要【解答過程】解：假設(shè)n=k時命題成立，即：5k當(dāng)n=k+1時，5=5=55故選：A．5．（3分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n+1+1n+2+1n+3+?+12n>1324A．增加了一項1B．增加了兩項12k+1，C．增加了兩項12k+1，12(k+1)D．增加了一項12(k+1)，又減少了一項【解題思路】將n＝k、n＝k＋1代入不等式左邊，比較兩式即可求解.【解答過程】n＝k時，左邊為1k+1＋1k+2＋…＋1n＝k＋1時，左邊為1k+2＋1k+3＋…＋12k＋12k+1比較①②可知C正確.故選：C.6．（3分）（2021·江蘇·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn＝na1＋n(n?1)2d時，假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，則Sk＝（

A．a(chǎn)1＋(k－1)d B．k(C．ka1＋k(k?1)2d D．(k＋1)a1＋k(k+1)【解題思路】只需把公式中的n換成k即可．【解答過程】假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋k(k?1)2d故選:C.7．（3分）（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）對于不等式n2+n＜n＋1(n∈N（1）當(dāng)n＝1時，12（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即k2+k＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜∴n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法（

）A．過程全部正確B．n＝1驗得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義即可判斷答案.【解答過程】在n＝k＋1時，沒有應(yīng)用n＝k時的歸納假設(shè).故選:D.8．（3分）（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3n+1)?7n?1(n∈N?)能被9整除”，在假設(shè)A．3×7k+6 B．3×7k+1+6【解題思路】假設(shè)n=k時命題成立，即(3k+1)?7k?1能被9整除，計算當(dāng)n=k+1時，3【解答過程】解：假設(shè)n=k時命題成立，即(3k+1)?7當(dāng)n=k+1時，3====6?=6?3k+1∵(3k+1)?7k要證上式能被9整除，還需證明3?7k+1故選：B.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）對于不等式n2+n≤n+1n∈N?，某同學(xué)運用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：①當(dāng)n=1時，12+1≤1+1，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈NA．過程全部正確 B．n=1時證明正確C．過程全部不正確 D．從n=k到n=k+1的推理不正確【解題思路】直接利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行判斷即可.【解答過程】易知當(dāng)n=1時，該同學(xué)的證法正確.從n=k到n=k+1的推理過程中，該同學(xué)沒有使用歸納假設(shè)，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求，故推理不正確.故選：BD.10．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n=kk∈N?時命題成立，則可得當(dāng)n=k+1時命題也成立，若已知當(dāng)n=5A．當(dāng)n=4時，命題不成立B．當(dāng)n=1時，命題可能成立C．當(dāng)n=6時，命題不成立D．當(dāng)n=6時，命題可能成立也可能不成立，但若當(dāng)n=6時命題成立，則對任意n≥6，命題都成立【解題思路】利用給定信息結(jié)合反證法的思想，逐一對各選項進(jìn)行分析、推導(dǎo)即可判斷作答.【解答過程】如果當(dāng)n=4時命題成立，則當(dāng)n=5時命題也成立，與題設(shè)矛盾，即當(dāng)n=4時，命題不成立，A正確；如果當(dāng)n=1時命題成立，則當(dāng)n=2時命題成立，繼續(xù)推導(dǎo)可得當(dāng)n=5時命題成立，與題設(shè)矛盾，B不正確；當(dāng)n=6時，該命題可能成立也可能不成立，如果當(dāng)n=6時命題成立，則當(dāng)n=7時命題也成立，繼續(xù)推導(dǎo)可得對任意n≥6，命題都成立，C不正確，D正確.故選：AD.11．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明2n?12n+1>nA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】先驗證四個選項中符合要求的k的值，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行充分性證明.【解答過程】當(dāng)k=1時，2?12+1當(dāng)k=2時，22當(dāng)k=3時，23當(dāng)k=4時，24下證：當(dāng)n≥3時，2n當(dāng)n=3時，23假設(shè)當(dāng)n=kk≥3時，均有2k當(dāng)n=k+1時，有2k+1因為4k+14k+3所以2k+1由數(shù)學(xué)歸納法可知：2n?12故選：CD.12．（4分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）（多選題）數(shù)列an滿足an+1=?anA．0<B．a(chǎn)C．對任意正數(shù)b，都存在正整數(shù)m使得11?D．a(chǎn)【解題思路】對于A，結(jié)合二次函數(shù)的特點可確定正誤；對于B，將原式化簡為a1?a對于C，結(jié)合a1范圍和A中結(jié)論可確定1對于D，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論.【解答過程】對于A，an+1=?an2又a1∈0,12又an+1?a對于B，由已知得：an∴a對于C，由a1∈0,12∴11?a1+11?a2對于D，（i）當(dāng)n=1時，由已知知：a1（ii）假設(shè)當(dāng)n=kk∈N?則an+1又?1n+12∴a綜上所述：當(dāng)n∈N?時，故選：ABCD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·廣西河池·高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明n3＋5n能被6整除的過程中，當(dāng)n＝k＋1時，式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.【解題思路】將n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.【解答過程】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)為偶數(shù)，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.故答案為：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.14．（4分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時，用到f(k＋1)＝f(k)＋k＋1【解題思路】從目標(biāo)f(n)＝1＋n(n+1)2分析，f(k+1)?f(k)【解答過程】f(k)＝1＋k(k+1)2f(k＋1)＝1＋(k+1)(k+2)2∴f(k＋1)－f(k)＝1+(k+1)(k+2)＝k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．故答案為：k＋1.15．（4分）（2022·遼寧·高二期中）證明不等式1+12+13+14+?+12【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合不等式左邊的特征判斷增加的項數(shù)即可.【解答過程】當(dāng)n=k時，左邊1+1當(dāng)n=k+1時，左邊1+1而(2所以n=k+1時不等式左邊增加了2k故答案為：2k16．（4分）（2021·全國·高二課前預(yù)習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+?+2n?1=（1）當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋2＋22＋?＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時，1＋2＋22＋?＋2k－1＋2k＝1?2k+11?2＝2k＋1－1.所以當(dāng)n＝k＋1時等式也成立.由此可知對于任何n∈N*【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的方法與步驟即可得出答案.【解答過程】本題在由n＝k成立，證n＝k＋1成立時，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上假設(shè)條件，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.故答案為：未用歸納假設(shè).四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：12【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法，先證明當(dāng)n=1時，等式成立，假設(shè)當(dāng)n=k時成立，證明當(dāng)n=k+1時等式成立即可.【解答過程】解：（1）當(dāng)n=1時，左邊=121×3=（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即121×3+22當(dāng)n=k+1時，121×3+2====k+1即當(dāng)n=k+1時等式也成立.，由（1）（2）可知：等式對任何n∈N故1218．（6分）（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)n,4【解題思路】按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟操作即可證明.【解答過程】證明：（1）當(dāng)n=1時，4n+15n?1故當(dāng)n=1時，4n（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即4k則當(dāng)n=k+1時，4k+1綜合(1)(2)可得,對任意正整數(shù)n,419．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)有n(n≥2)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，記這n個圓的交點個數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解題思路】當(dāng)n＝2時，f（2）＝2＝1×2，n＝3時，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4時，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此歸納出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可【解答過程】n＝2時，f（2）＝2＝1×2，n＝3時，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4時，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5時，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：①當(dāng)n＝2時，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)，時猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，則n＝k＋1時，其中圓O與其余k個圓各有兩個交點，而由假設(shè)知這k個圓有f(k)個交點，所以這k＋1個圓的交點個數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1時猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．20．（8分）（2022·河南南陽·高二期末（理））設(shè)正項數(shù)列an的首項為4，滿足a(1)求a2，a(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【解題思路】（1）由首項及遞推關(guān)系式逐次求得a2（2）根據(jù)已知條件得到遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系按數(shù)學(xué)歸納法步驟證明即可.【解答過程】(1)由an2=an+1+3nan?3則a2=7,a(2)由（1）得an+1=an2①當(dāng)n=1時，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=kk≥2,k∈N?當(dāng)n=k+1時，ak+1由①②知猜想恒成立，即an21．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？（1）求證：當(dāng)n∈N?時，n=n+1．證明：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時，等式成立，即k=k+1．則當(dāng)n=k+1時，左邊=k+1=(k+1)+1=右邊．所以當(dāng)n=k+1時，等式也成立．由此得出，對任何n∈N?，等式n=n+1都成立．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前n