2024-2025學年高中數(shù)學第一章數(shù)列1.3.1第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)學案含解析北師大版必修5

PAGE第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.理解等比數(shù)列的單調(diào)性與首項a1及公比q的關系，體會等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關系.2.駕馭等比中項的概念，會求同號兩數(shù)的等比中項.3.駕馭等比數(shù)列的有關性質(zhì)，并能綜合應用解決有關問題.加強定義理解精確性質(zhì)應用提升數(shù)學運算授課提示：對應學生用書第20頁[基礎相識]學問點一等比數(shù)列的單調(diào)性預習教材P23－25，思索并完成以下問題視察下面幾個等比數(shù)列中項的改變趨勢，指出它們的單調(diào)性．(1)－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…(2)9，3，1，eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，…(3)－1，－2，－4，－8，－16，…(4)1，－eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，－eq\f(1,27)，eq\f(1,81)，…(5)2，2，2，2，2，…提示：(1)項是增加的，且a1＜0，0＜q＜1，是單調(diào)遞增數(shù)列．(2)項是減小的，且a1＞0，0＜q＜1，是單調(diào)遞減數(shù)列．(3)項是減小的，且a1＜0，q＞1，是單調(diào)遞減數(shù)列．(4)項是搖擺的，a1＞0，q＜0，不是單調(diào)數(shù)列．(5)項是不變的，a1＞0，q＝1，是常數(shù)列．學問梳理等比數(shù)列的單調(diào)性公比q單調(diào)性首項a1q＜00＜q＜1q＝1q＞1a1＞0不具備單調(diào)性遞減數(shù)列不具備單調(diào)性遞增數(shù)列a1＜0不具備單調(diào)性遞增數(shù)列不具備單調(diào)性遞減數(shù)列學問點二等比中項思索并完成以下問題1．在2，8之間插入一個數(shù)，使之成等比數(shù)列．這樣的實數(shù)有幾個？提示：設這個數(shù)為G，則eq\f(G,2)＝eq\f(8,G)，G2＝16，G＝±4，所以這樣的數(shù)有2個．2．若a，G，b成等比數(shù)列，能得出什么結(jié)論？提示：因為a，G，b成等比數(shù)列，所以eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，所以G2＝ab.學問梳理1.等比中項的概念假如在a與b中間插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么依據(jù)等比數(shù)列的定義，eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq\r(ab)，我們稱G為a，b的等比中項．2．等比中項與等差中項的異同，對比如下表對比項等差中項等比中項定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫作a與b的等差中項若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫作a，b的等比中項定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個數(shù)a與b的等差中項唯一a與b的等比中項有兩個，且互為相反數(shù)備注隨意兩個數(shù)a與b都有等差中項只有當ab＞0時，a與b才有等比中項學問點三等比數(shù)列的性質(zhì)思索并完成以下問題給出以下兩個等比數(shù)列{an}．①1，2，4，8，…；②1，－3，9，－27，….(1)在上述每一個數(shù)列中，請你計算a2·a6與a3·a5的值，看它們有什么關系？若計算a1·a5與a2·a4呢？提示：a2·a6＝a3·a5；a1·a5＝a2·a4.(2)在上述每一個數(shù)列中，a2·a6；a3·a5的值與a4的值有什么關系？a1·a5；a2·a4與a3的值呢？提示：a2·a6＝a3·a5＝aeq\o\al(2,4)；a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3).學問梳理類比等差數(shù)列的性質(zhì)得出等比數(shù)列的一些性質(zhì)如下：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則(1)an＝amqn－m(m，n∈N＋)．(2)若m＋n＝s＋t＝2k(m，n，s，t，k∈N＋)，則am·an＝as·at＝aeq\o\al(2,k).(3){c·an}(c是非零常數(shù))是公比為q的等比數(shù)列．(4){|an|}是公比為|q|的等比數(shù)列．(5)若{an}、{bn}分別是公比為q1、q2且項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}是公比為q1·q2的等比數(shù)列．[自我檢測]1．等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．搖擺數(shù)列解析：由于公比q＝－eq\f(1,4)＜0，所以數(shù)列{an}是搖擺數(shù)列．答案：D2．2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中項是()A．1 B．－1C．±1 D．2解析：設2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中項為G，則G2＝(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝1，∴G＝±1.答案：C3．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則公比q等于______．解析：由a5＝a2·q3，得q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(\f(1,4),2)＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)授課提示：對應學生用書第21頁探究一等比數(shù)列的性質(zhì)[例1]已知{an}為等比數(shù)列．(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25.求a(2)若an＞0，a5a6＝9.求log3a1＋log3a2＋…＋log3[解題指南](1)由等比數(shù)列性質(zhì)得a2a4＝aeq\o\al(2,3)，a4a6＝aeq\o\al(2,5)，從而得解．(2)由等比數(shù)列性質(zhì)得a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5[解析](1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)∵an＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.(2)依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.方法技巧等比數(shù)列的常用性質(zhì)性質(zhì)1：通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．性質(zhì)2：若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則ak·al＝am·an.性質(zhì)3：若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．性質(zhì)4：在等比數(shù)列{an}中距首末兩端等距離的兩項的積相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….性質(zhì)5：在等比數(shù)列{an}中，序號成等差數(shù)列的項仍成等比數(shù)列．跟蹤探究1.(2024·朝陽區(qū)模擬)已知等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，公比為q，滿意an＋1＜an，a2a8＝6，a4＋a6＝5，則q2＝()A.eq\f(5,3) B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：∵a4a6＝a2a8＝6，a4＋a6＝5，等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，解得a4＝3，a6＝2，∴q2＝eq\f(a6,a4)＝eq\f(2,3).故選D.答案：D2．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且4a2a8＝aeq\o\al(2,4)，a2＝1，則a6＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,32) D.eq\f(1,64)解析：由4a2a8＝aeq\o\al(2,4)，得4aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,4)，∴q＝eq\f(1,2)，∴a6＝a2q4＝eq\f(1,16).答案：B探究二等比中項的應用[閱讀教材P25練習2第三題]求下列各組數(shù)的等比中項．(1)－45和－80.(2)7＋3eq\r(5)和7－3eq\r(5).(3)(a＋b)2和(a－b)2.解析：由等比數(shù)列性質(zhì)所得，等比中項的平方等于前后兩項的乘積．(1)G＝±eq\r(（－45）（－80）)＝±60.(2)G＝±eq\r(（7＋3\r(5)）（7－3\r(5)）)＝±2.(3)G＝±eq\r(（a＋b）2（a－b）2)＝±(a2－b2)．[例2](1)在等比數(shù)列{an}中，a3，a9是方程3x2－11x＋9＝0的兩個根，則a5a6A．3eq\r(3) B.eq\f(11,2)C．±3eq\r(3) D．以上都不對(2)已知1既是a2與b2的等比中項，又是eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的等差中項，則eq\f(a＋b,a2＋b2)的值是()A．1或eq\f(1,2) B．1或－eq\f(1,2)C．1或eq\f(1,3) D．1或－eq\f(1,3)[解題指南](1)由根與系數(shù)的關系可得a3·a9，又a3·a9＝aeq\o\al(2,6)，a5·a7＝aeq\o\al(2,6).可得結(jié)果．(2)依據(jù)等差及等比中項的定義求解．[解析](1)由根與系數(shù)的關系得a3a9＝3，又a6為a3與a9的等比中項，所以a6＝±eq\r(3)，在等比數(shù)列{an}中，a5a6a7＝aeq\o\al(3,6)＝±3eq\r(3).(2)由題意得，a2b2＝(ab)2＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝1，,a＋b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝－1，,a＋b＝－2.))因此eq\f(a＋b,a2＋b2)＝eq\f(a＋b,（a＋b）2－2ab)＝1或－eq\f(1,3).[答案](1)C(2)D方法技巧等比中項的性質(zhì)(1)由等比中項的定義可知eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)?G2＝ab?G＝±eq\r(ab)，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項．(2)在一個等比數(shù)列中，從其次項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項．(3)a，G，b成等比數(shù)列等價于G2＝ab(ab＞0)．跟蹤探究3.假如－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()A．b＝－3，ac＝9 B．b＝3，ac＝9C．b＝－3，ac＝－9 D．b＝3，ac＝－9解析：依據(jù)等比中項的定義得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝－b，①,b2＝ac②,c2＝－9b③))，①×③得a2c2＝9b2即ac＝±3b④將④代入②得b2＝±3b，解得b＝±3.又由③得b＜0，∴b＝－3，ac＝b2＝9.故選A.答案：A探究三等比數(shù)列的實際應用[閱讀教材P24例4及解答]據(jù)報載，中美洲地區(qū)毀林嚴峻，據(jù)統(tǒng)計，在20世紀80年頭末，每時平均毀林約48hm2，森林面積每年以3.6%～3.9%的速度削減，迄今被毀面積已達1.3×107hm2，目前還剩1.9×107hm2，請你回答以下幾個問題：(1)假如以每時平均毀林約48hm2計算，剩下的森林經(jīng)過多少年將被毀盡？(2)依據(jù)(1)計算出的年數(shù)n，假如以每年3.6%～3.9%的速度削減，計算n年后的毀林狀況；(3)若按3.6%的速度削減，估算經(jīng)過150年后、經(jīng)過200年后、經(jīng)過250年后及經(jīng)過300年后森林面積的狀況，經(jīng)過多少年森林將被毀盡？題型：等比數(shù)列的實際應用方法步驟：(1)先計算出平均每年毀林數(shù)，然后用算式得出森林將被毀盡的年數(shù)；(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項公式用計算器計算45年后還剩余的森林面積；(3)分別計算150年后，200年后，250年后，300年后，剩余森林的面積數(shù)．[例3]某城市2024年年底人口為100萬人，人均住房面積為5平方米．該城市擬自2024年年初起先每年新建住房245萬平方米，到2025年年底時，人均住房面積為24平方米，則該城市的人口年平均增長率約是多少？(精確到0.001，參考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0＜x＜1))[解題指南]eq\x(\a\al(設人口年平均,增長率為x))→eq\x(\a\al(求2025年底,人口數(shù)量))→eq\x(求2025年底住房面積)→eq\x(列方程求x).[解析]設這個城市的人口年平均增長率為x(0＜x＜1)，則該城市2024年年底到2025年年底人口數(shù)量組成等比數(shù)列，記為{an}，則a1＝100，公比q＝1＋x，則2025年年底人口數(shù)量為a8＝a1q8＝100(1＋x)8.2025年年底住房總面積為100×5＋8×245＝2460(萬平方米)．由題意得eq\f(2460,100（1＋x）8)＝24，即(1＋x)8＝eq\f(41,40)，因為(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)，所以1＋8x≈eq\f(41,40)，所以x≈0.003.答：該城市的人口年平均增長率約是0.003.延長探究在本例中，若將“該城市擬自2024年年初起先每年新建住房245萬平方米”改為“該城市擬自2024年年初起先每年新建住房250萬平方米”，則結(jié)論如何？解析：由例題解析知2025年年底住房總面積為100×5＋8×250＝2500(萬平方米)，由題意得eq\f(2500,100（1＋x）8)＝24，解得x≈0.005.答：該城市的人口年平均增長率約是0.005.方法技巧等比數(shù)列的實際應用數(shù)列實際應用題常與現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實際中的詳細事務相聯(lián)系，建立數(shù)學模型是解決這類問題的核心，常用的方法有：(1)構造等差、等比數(shù)列的模型，然后用數(shù)列的通項公式或求和公式解；(2)通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列學問求解．跟蹤探究4.某廠生產(chǎn)電腦，原安排第一季度每月增加臺數(shù)相同，在生產(chǎn)過程中，事實上二月份比原安排多生產(chǎn)10臺，三月份比原安排多生產(chǎn)25臺，這樣三個月產(chǎn)量成等比數(shù)列，而第三個月的產(chǎn)量是原安排第一季度總產(chǎn)量的一半少10臺，問該廠第一季度實際生產(chǎn)電腦多少臺？解析：依據(jù)已知，可設該廠第一季度原安排3個月生產(chǎn)電腦臺數(shù)分別為x－d，x，x＋d，(d＞0)，則事實上3個月生產(chǎn)電腦臺數(shù)分別為x－d，x＋10，x＋d＋25，由題意得eq\