舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修1專題1.3 集合間的基本關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講（含答案及解析）

專題1.3集合間的基本關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一個(gè)元素是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.4．空集的概念【題型1子集、真子集的概念】【方法點(diǎn)撥】①集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法．②不能簡單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)槿鬉＝?時(shí)，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素．③在真子集的定義中，A?B首先要滿足A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A.【例1】（2022?新疆模擬）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，則A的子集共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．8個(gè) D．16個(gè)【變式1-1】（2022?新疆模擬）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，則A的真子集共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．7個(gè)【變式1-2】（2022春?兗州區(qū)期中）設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5，6}，則在集合A的子集中，有2個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為（）A．A62 B．C62 C．6【變式1-3】（2021秋?尚志市校級(jí)月考）已知集合A={x∈N|86?xA．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【題型2集合的相等與空集】【方法點(diǎn)撥】①利用集合相等的定義和集合中的元素的性質(zhì)去解題．②利用空集的定義去解題.【例2】（2021秋?新余期末）下列集合與集合A＝{2022，1}相等的是（）A．（1，2022） B．{（x，y）|x＝2022，y＝1} C．{x|x2﹣2023x+2022＝0} D．{（2022，1）}【變式2-1】（2021秋?大姚縣校級(jí)期中）下列四個(gè)集合中，是空集的是（）A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4}【變式2-2】（2021秋?西寧期末）設(shè)a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，則a﹣b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【變式2-3】（2021秋?海安市期中）設(shè)a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，則a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【題型3集合間關(guān)系的判斷】【方法點(diǎn)撥】①列舉法：用列舉法將兩個(gè)集合表示出來，再通過比較兩集合中的元素來判斷兩集合之間的關(guān)系．②元素特征法：根據(jù)集合中元素滿足的性質(zhì)特征之間的關(guān)系判斷．③圖示法：利用數(shù)軸或Venn圖判斷兩集合間的關(guān)系．【例3】（2022春?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)期中）已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=A．M＝N B．M?N C．M?N D．M∩N＝?【變式3-1】（2022?河南模擬）已知集合M={x|x=kπ4A．N?M B．M?N C．M＝N D．M∩N＝?【變式3-2】（2022?廣西模擬）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，則下列關(guān)系正確的是（）A．A＝B B．A?B C．B?A D．A∩B＝?【變式3-3】（2022?興慶區(qū)校級(jí)三模）下面五個(gè)式子中：①a?{a}；②??{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}?{a}；⑤a∈{b，c，a}．正確的有（）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【題型4有限集合子集、真子集的確定】【方法點(diǎn)撥】①確定所求集合，是子集還是真子集．②合理分類，按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫出．③注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有：①A的子集的個(gè)數(shù)為2n個(gè)；②A的真子集的個(gè)數(shù)為2n－1個(gè)；③A的非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2個(gè)．【例4】（2021秋?蘭山區(qū)校級(jí)期中）滿足??M?{1，2，3}的集合M共有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．15個(gè)【變式4-1】（2021秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）已知{1，3}?A?{1，2，3，4，5}，則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式4-2】（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，則符合條件的實(shí)數(shù)a的值共（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)【變式4-3】（2021?青島開學(xué)）已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a1+a2+a3＝（）A．1 B．2 C．3 D．6【題型5利用集合間的關(guān)系求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】①當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時(shí)，常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解，此時(shí)應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)．②當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時(shí)，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的運(yùn)用．【例5】（2021?葫蘆島二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（）A．{1} B．{3} C．{1，﹣1} D．{3，?【變式5-1】（2021秋?舒城縣校級(jí)期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．13或?12 B．?13或12【變式5-2】（2021?佛山模擬）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【變式5-3】（2021秋?眉山期末）設(shè)集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤2019} C．{a|a≥2019} D．{a|0＜a＜2019}【題型6集合間關(guān)系中的新定義問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目所給的有關(guān)集合的新定義問題，結(jié)合集合間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2021?衡水模擬）定義集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，設(shè)A＝{2，3}，B＝{1，2}，則集合A★B的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）A．12 B．14 C．15 D．16【變式6-1】（2021秋?和平區(qū)校級(jí)月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P*Q的真子集個(gè)數(shù)為（）A．31 B．63 C．32 D．64【變式6-2】（2021秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)月考）定義集合中的一種運(yùn)算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，則A*B的非空子集個(gè)數(shù)是（）A．7 B．8 C．15 D．16【變式6-3】（2021秋?同安區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“※”，法則如下：當(dāng)m，n都是正奇數(shù)時(shí)，m※n＝m+n；當(dāng)m，n不全為正奇數(shù)時(shí)，m※n＝mn，則在此定義下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的個(gè)數(shù)是（）A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣1專題1.3集合間的基本關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一個(gè)元素是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.4．空集的概念【題型1子集、真子集的概念】【方法點(diǎn)撥】①集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法．②不能簡單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)槿鬉＝?時(shí)，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素．③在真子集的定義中，A?B首先要滿足A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A.【例1】（2022?新疆模擬）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，則A的子集共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．8個(gè) D．16個(gè)【解題思路】化簡集合A，再求子集個(gè)數(shù)即可．【解答過程】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，∴A的子集共有23＝8，故選：C．【變式1-1】（2022?新疆模擬）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，則A的真子集共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．7個(gè)【解題思路】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集個(gè)數(shù)．【解答過程】解：∵A＝{x|x2＜3，x∈N}＝{0，1}，∴A有22﹣1個(gè)真子集，即3個(gè)真子集．故選：C．【變式1-2】（2022春?兗州區(qū)期中）設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5，6}，則在集合A的子集中，有2個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為（）A．A62 B．C62 C．6【解題思路】有2個(gè)元素，相當(dāng)于從6個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)．【解答過程】解：從6個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取2個(gè)，即為C6故選：B．【變式1-3】（2021秋?尚志市校級(jí)月考）已知集合A={x∈N|86?xA．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【解題思路】解出集合A，再由含有n個(gè)元素的集合，其真子集個(gè)數(shù)為2n﹣1個(gè)可得答案．【解答過程】解：已知集合A＝{x∈N|86?x∈N}＝{2，4，5}，則集合A真子集的個(gè)數(shù)為23故選：C．【題型2集合的相等與空集】【方法點(diǎn)撥】①利用集合相等的定義和集合中的元素的性質(zhì)去解題．②利用空集的定義去解題.【例2】（2021秋?新余期末）下列集合與集合A＝{2022，1}相等的是（）A．（1，2022） B．{（x，y）|x＝2022，y＝1} C．{x|x2﹣2023x+2022＝0} D．{（2022，1）}【解題思路】利用集合相等的定義直接判斷．【解答過程】解：對(duì)于A，（1，2022）≠{2022，1}，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，{（x，y）|x＝2022，y＝1}≠{2022，1}，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，{x|x2﹣2023x+2022＝0}＝{2022，1}，故C正確；對(duì)于D，{（2022，1）}≠{2022，1}，故D錯(cuò)誤．故選：C．【變式2-1】（2021秋?大姚縣校級(jí)期中）下列四個(gè)集合中，是空集的是（）A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4}【解題思路】空集的定義：無任何元素的集合，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：空集的定義：無任何元素的集合，選項(xiàng)B是空集．故選：B．【變式2-2】（2021秋?西寧期末）設(shè)a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，則a﹣b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解題思路】由P＝Q，求出a，b的值，再計(jì)算a﹣b的值．【解答過程】解：∵P＝Q，∴a=?1?b=1，解得a=?1∴a﹣b＝0，故選：C．【變式2-3】（2021秋?海安市期中）設(shè)a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，則a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【解題思路】由集合元素的互異性，可求出結(jié)果．【解答過程】解：∵集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，且P＝Q，∴﹣b＝1，a＝﹣1，∴a+b＝﹣2，故選：A．【題型3集合間關(guān)系的判斷】【方法點(diǎn)撥】①列舉法：用列舉法將兩個(gè)集合表示出來，再通過比較兩集合中的元素來判斷兩集合之間的關(guān)系．②元素特征法：根據(jù)集合中元素滿足的性質(zhì)特征之間的關(guān)系判斷．③圖示法：利用數(shù)軸或Venn圖判斷兩集合間的關(guān)系．【例3】（2022春?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)期中）已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=A．M＝N B．M?N C．M?N D．M∩N＝?【解題思路】通過分析兩個(gè)集合中元素的關(guān)系，結(jié)合集合子集的定義分析求解即可．【解答過程】解：因?yàn)榧螹＝{y|y=2x+13，x∈集合N＝{y|y=23x﹣1，x∈Z}＝{y|y=2x?33=即M＝N．故選：A．【變式3-1】（2022?河南模擬）已知集合M={x|x=kπ4A．N?M B．M?N C．M＝N D．M∩N＝?【解題思路】將兩集合中的元素滿足的條件化歸統(tǒng)一即可判斷．【解答過程】解：∵M(jìn)={x|x=kπ4+π2，k∈Z}={x|x=(k+2)π4，k∈Z}，N={x|x=(2k+1)π4故選A．【變式3-2】（2022?廣西模擬）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，則下列關(guān)系正確的是（）A．A＝B B．A?B C．B?A D．A∩B＝?【解題思路】根據(jù)集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，判斷即可．【解答過程】解：∵A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，∴B?A，故選：C．【變式3-3】（2022?興慶區(qū)校級(jí)三模）下面五個(gè)式子中：①a?{a}；②??{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}?{a}；⑤a∈{b，c，a}．正確的有（）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【解題思路】根據(jù)“∈”用于元素與集合；“?”用于集合與集合間；?是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，可判斷式子正誤．【解答過程】解：①a是集合{a}中的元素，應(yīng)表示為a∈{a}，故①錯(cuò)誤，②?是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，所以??{a}，故②正確，③“∈”用于元素與集合，故③錯(cuò)誤，④任意非空集合是其本身的真子集，所以{a}?{a}，故④正確，⑤元素a屬于集合{b，c，a}，故⑤正確，故正確的有②④⑤．故選：A．【題型4有限集合子集、真子集的確定】【方法點(diǎn)撥】①確定所求集合，是子集還是真子集．②合理分類，按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫出．③注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有：①A的子集的個(gè)數(shù)為2n個(gè)；②A的真子集的個(gè)數(shù)為2n－1個(gè)；③A的非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2個(gè)．【例4】（2021秋?蘭山區(qū)校級(jí)期中）滿足??M?{1，2，3}的集合M共有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．15個(gè)【解題思路】利用真子集、子集的定義，結(jié)合列舉法能求出結(jié)果．【解答過程】解：滿足??M?{1，2，3}的集合M有：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，[2，3}，{1，2，3}，共7個(gè)．故選：B．【變式4-1】（2021秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）已知{1，3}?A?{1，2，3，4，5}，則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】A是至少含有1和3這2個(gè)元素是本題的關(guān)鍵．【解答過程】解：A＝{1，3}或A＝{1，3，2}或A＝{1，3，4}或A＝{1，3，5}或A＝{1，3，2，4}或A＝{1，3，2，5}或A＝{1，3，4，5}．故選：C．【變式4-2】（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，則符合條件的實(shí)數(shù)a的值共（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)【解題思路】求解集合T＝{1，﹣1}，由S?T，分S＝?和S≠?兩種情況，分別求解．【解答過程】解：集合T＝{x|x2﹣1＝0}＝{1，﹣1}，因?yàn)镾?T，所以當(dāng)S＝?時(shí)，a＝0，符合題意；當(dāng)S≠?時(shí)，由ax＝1得x=1所以1a=1或解得a＝1或﹣1，所以符合條件的a有3個(gè)，故選：C．【變式4-3】（2021?青島開學(xué)）已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a1+a2+a3＝（）A．1 B．2 C．3 D．6【解題思路】由題意知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集可以分為二類，從而求和知3（a1+a2+a3）＝9，即可解得．【解答過程】解：集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集可以分為二類，集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有一個(gè)元素，分別為{a1}，{a2}，{a3}，集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有兩個(gè)元素，分別為{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，則3（a1+a2+a3）＝9，故a1+a2+a3＝3，故選：C．【題型5利用集合間的關(guān)系求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】①當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時(shí)，常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解，此時(shí)應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)．②當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時(shí)，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的運(yùn)用．【例5】（2021?葫蘆島二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（）A．{1} B．{3} C．{1，﹣1} D．{3，?【解題思路】若B?A，則m2＝1，即可求解滿足條件的m【解答過程】解：∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，若B?A，則m2＝1∴m＝1或m＝﹣1實(shí)數(shù)m的取值集合為{1，﹣1}故選：C．【變式5-1】（2021秋?舒城縣校級(jí)期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．13或?12 B．?13或12【解題思路】先求出A＝{﹣3，2}，根據(jù)B?A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝?，從而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．【解答過程】解：A＝{﹣3，2}；∵B?A；∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝?；∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；∴a=?13或故選：D．【變式5-2】（2021?佛山模擬）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【解題思路】由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A，B，根據(jù)B?A，可得參數(shù)a的取值范圍．【解答過程】解：集合A＝{x|x＞3或x＜1}，集合B＝{x|x＜a}，由B?A，可得a≤1，故選：D．【變式5-3】（2021秋?眉山期末）設(shè)集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤2019} C．{a|a≥2019} D．{a|0＜a＜2019}【解題思路】根據(jù)A與B的子集關(guān)系，借助數(shù)軸求得a的范圍．【解答過程】集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，因?yàn)锳?B，所以a≥2019；故選：C．【題型6集合間關(guān)系中的新定義問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目所給的有關(guān)集合的新定義問題，結(jié)合集合間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2021?衡水模擬）定義集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，設(shè)A＝{2，3}，B＝{1，2}，則集合A★B的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）A．12 B．14 C．15 D．16【解題思路】先求出集合A★B，由此能求出集合A★B的非空真子集的個(gè)數(shù)．【解答過程】解：∵A★B＝{2，3，4，6}，∴集合A★B的非空真子集的個(gè)數(shù)為24﹣2＝14．故選：B．【變式6-1】（2021秋?和平區(qū)校級(jí)月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P*Q的真子集個(gè)數(shù)為（）A．31 B．63 C．32 D．64【解題思路】根據(jù)條件即可求出集合P*Q的元素個(gè)數(shù)，從而可得出集合P*Q的真子集個(gè)數(shù)．【解答