舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修1專題1.7 充分條件與必要條件-重難點題型精講（含答案及解析）

專題1.7充分條件與必要條件-重難點題型精講1．命題及相關(guān)概念2．充分條件與必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．溫馨提示：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．【題型1充分條件、必要條件及充要條件的判定】【方法點撥】(1)定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后判斷p?q、q?p和p?q是否成立，最后得出結(jié)論．(2)命題判斷法：①若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．②若p?q，則p是q的充要條件．③若p?q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．④若peq\o(?,/)q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．⑤若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．【例1】（2022?呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，則x∈A是x∈B的（）A．充分不要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分他不要條件【變式1-1】（2022春?溫州期中）設(shè)x，y都是實數(shù)，則“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【變式1-2】（2022?西寧一模）設(shè)m∈R，則“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要條件 B．即不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【變式1-3】（2022?柯橋區(qū)模擬）設(shè)x∈R，則“x＞2”是“2xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【題型2充分條件、必要條件及充要條件的探索】【方法點撥】(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．(2)將原命題進(jìn)行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因此探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．【例2】（2022春?射洪市校級期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3【變式2-1】（2021秋?南寧期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x＜【變式2-2】（2022?全國一模）已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個必要條件是（）A．a(chǎn)+b≠0 B．a(chǎn)2+b2≠0 C．a(chǎn)3+b3≠0 D．1【變式2-3】（2021秋?湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一個必要不充分條件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【題型3由充分條件、必要條件求參數(shù)】【方法點撥】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍時，先將p，q等價轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．【例3】（2021秋?赫章縣期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a(chǎn)≤0或a≥1【變式3-1】（2021秋?羅莊區(qū)校級月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【變式3-2】（2022?晉中模擬）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【變式3-3】（2022?渭濱區(qū)校級模擬）如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要條件是12＜xA．12＜a＜32 B．12≤a≤32 C【題型4充要條件的證明】【方法點撥】證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論”?“條件”．【例4】（2021秋?禪城區(qū)校級月考）已知ab≠0，求證：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．【變式4-1】（2021秋?金山區(qū)校級月考）設(shè)n∈Z，求證：“n是偶數(shù)”是“（n+1）2是奇數(shù)”的充要條件．【變式4-2】已知a，b，m都是正數(shù)．求證：“ba＜b+ma+m”的充要條件是“【變式4-3】求證：一個三角形是鈍角三角形的充要條件是三角形內(nèi)有一條邊的平方大于另兩條邊的平方和．專題1.7充分條件與必要條件-重難點題型精講1．命題及相關(guān)概念2．充分條件與必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．溫馨提示：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．【題型1充分條件、必要條件及充要條件的判定】【方法點撥】(1)定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后判斷p?q、q?p和p?q是否成立，最后得出結(jié)論．(2)命題判斷法：①若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．②若p?q，則p是q的充要條件．③若p?q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．④若peq\o(?,/)q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．⑤若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．【例1】（2022?呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，則x∈A是x∈B的（）A．充分不要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分他不要條件【解題思路】分別化簡集合A＝[0，+∞），B＝（2，+∞），即可判斷出．【解答過程】解：由集合A＝{x|x≥0}，集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝（2，+∞）．因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件．故選：B．【變式1-1】（2022春?溫州期中）設(shè)x，y都是實數(shù)，則“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【解題思路】利用或和且的含義，再結(jié)合充要條件的定義判定即可．【解答過程】解：①當(dāng)x＞2且y＞3時，則x＞2或y＞3，∴充分性成立，②∵x＞2或y＞3?x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立，∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要條件，故選：A．【變式1-2】（2022?西寧一模）設(shè)m∈R，則“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要條件 B．即不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【解題思路】“m＜0”?“m＜1”，反之不成立，取m=1【解答過程】解：“m＜0”?“m＜1”，反之不成立，取m=1因此“m＜0”是“m＜1”的充分不必要條件．故選：C．【變式1-3】（2022?柯橋區(qū)模擬）設(shè)x∈R，則“x＞2”是“2xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】先將結(jié)論等價化簡，再根據(jù)充分與必要條件的概念即可求解．【解答過程】解：∵“2x＜1”等價于：2x?1＜0，即2?xx＜0，即x（x﹣2）＞∴“x＞2”是“2x故選：A．【題型2充分條件、必要條件及充要條件的探索】【方法點撥】(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．(2)將原命題進(jìn)行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因此探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．【例2】（2022春?射洪市校級期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3【解題思路】利用子集和充要條件的關(guān)系判定即可．【解答過程】解：∵（0，1）?（0，2），∵p的一個充分不必要條件是0＜x＜1，故選：C．【變式2-1】（2021秋?南寧期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x＜【解題思路】由（13，34）?（0，【解答過程】解：∵（13，34）?（0，∴p的一個充分不必要條件是13＜x故選：C．【變式2-2】（2022?全國一模）已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個必要條件是（）A．a(chǎn)+b≠0 B．a(chǎn)2+b2≠0 C．a(chǎn)3+b3≠0 D．1【解題思路】取特殊值判斷ACD，根據(jù)充分必要條件的定義判斷B．【解答過程】解：對于A，令a＝1，b＝﹣1，推不出a+b≠0，故A錯誤，對于B，由“ab≠0”得：a≠0且b≠0，故a2+b2≠0，反之，若a2+b2≠0，推不出ab≠0，比如a＝1，b＝0，故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分條件，故B正確，對于C，令a＝1，b＝﹣1，推不出a3+b3≠0，故C錯誤，對于D，令a＝1，b＝﹣1，推不出1a+1b故選：B．【變式2-3】（2021秋?湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一個必要不充分條件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【解題思路】解不等式，可得x＞1，進(jìn)而依次分析選項，判斷選項所給的不等式與x＞1的關(guān)系，可判斷選項．【解答過程】解：對于不等式x﹣1＞0，解可得x＞1，根據(jù)題意，分析選項可得，A中，x＞1，即x＞1是x﹣1＞0成立的充分必要條件，B中，x＞2，當(dāng)x＞2時，x﹣1＞0成立，反之若有x﹣1＞0成立，則不能推出x＞2成立，故x＞2是x﹣1＞0成立的充分不必要條件，C中，當(dāng)x＜3時，x﹣1＞0不一定成立，反之x﹣1＞0成立，則不能推出x＜3成立，故x＜3是x﹣1＞0成立的既不充分也不必要條件，D中，x＞0，當(dāng)x＞0時，x﹣1＞0不一定成立，反之若有x﹣1＞0成立，則能推出x＞0成立，故x＞0是x﹣1＞0成立的必要不充分條件，故選：D．【題型3由充分條件、必要條件求參數(shù)】【方法點撥】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍時，先將p，q等價轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．【例3】（2021秋?赫章縣期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a(chǎn)≤0或a≥1【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行求解即可．【解答過程】解：因為“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，所以a≤1a+4≥4，即0≤a故選：B．【變式3-1】（2021秋?羅莊區(qū)校級月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【解題思路】根據(jù)“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，可得P?Q，再建立a的不等式組可求解．【解答過程】解：∵“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，∴P?Q，∴a?4≤1a+4≥3，∴﹣1故選：A．【變式3-2】（2022?晉中模擬）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【解題思路】利用充分不必要條件的定義建立，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)m的取值范圍．【解答過程】解：由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則{x|﹣1＜x＜1}?{x|x＞m}，則m≤﹣1，故選：D．【變式3-3】（2022?渭濱區(qū)校級模擬）如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要條件是12＜xA．12＜a＜32 B．12≤a≤32 C【解題思路】由題意，解不等式|x﹣a|＜1得其解集，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件與集合間包含關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系可得不等式組則有a?【解答過程】解：根據(jù)題意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，設(shè)此命題為p，命題12＜x則p的充分不必要條件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；則有a?解可得12故選：B．【題型4充要條件的證明】【方法點撥】證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論”?“條件”．【例4】（2021秋?禪城區(qū)校級月考）已知ab≠0，求證：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．【解題思路】先假設(shè)a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立，化簡可得a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝（a﹣b）[（a?12b）2+34b2]，從而證明a﹣b＝0，再假設(shè)a﹣b＝0證明a3﹣2a2b+2ab2﹣b【解答過程】證明：若a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0，則a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝a3﹣b3+（2ab2﹣2a2b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）+2ab（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）＝（a﹣b）[（a?12b）2+34b2∵ab≠0，∴（a?12b）2+34b∴a﹣b＝0；若a﹣b＝0，則a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝（a﹣b）[（a?12b）2+34b2故a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．【變式4-1】（2021秋?