舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題6.9 平面向量的應(yīng)用(重難點題型精講)(含答案及解析)_第1頁
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文檔簡介

專題6.9平面向量的應(yīng)用(重難點題型精講)1.平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問題的思想向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此,用向量解決平面幾何問題,就是將幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運算問題,將“證”轉(zhuǎn)化為“算”,思路清晰,便于操作.(2)向量在平面幾何中常見的應(yīng)用①證明線段平行或點共線問題,以及相似問題,常用向量共線定理:∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問題,如證明四邊形是矩形、正方形,判斷兩直線(或線段)是否垂直等,常用向量垂直的條件:=0+=0.

③求夾角問題,利用夾角公式:==.

④求線段的長度或說明線段相等,可以用向量的模:||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”2.向量在物理中的應(yīng)用(1)力學(xué)問題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量,它們可以有共同的作用點,也可以沒有共同的作用點,但力卻是既有大小,又有方向且作用于同一作用點的量.用向量知識解決力的問題,往往是把向量平移到同一作用點上.(2)速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解,實質(zhì)就是向量的加減法運算,而運動的疊加也用到向量的合成.(3)向量與功、動量

物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積.

①力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角,即W=||||.功是一個實數(shù),它可正,可負(fù),也可為零.

②動量涉及物體的質(zhì)量m,物體運動的速度,因此動量的計算是向量的數(shù)乘運算.【題型1用向量解決平面幾何中的平行問題】【方法點撥】用向量法解決平面幾何中的平行問題,一般來說有兩種方法.(1)普通向量法:利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算,將平行問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的平行問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.【例1】(2022·高一課前預(yù)習(xí))在△ABC中,點M,N分別在線段AB,AC上,AM=2MB,AN=2NC.求證:MN//【變式1-1】(2022·全國·高三專題練習(xí))在四邊形ABCD中,AB=DC,N,M是求證:CN=【變式1-2】(2022春·高一課時練習(xí))如圖,已知AD,BE,CF是△ABC的三條高,且交于點O,DG⊥BE于點G,DH⊥CF于點H,求證:HG//【變式1-3】(2022·全國·高一專題練習(xí))如圖所示,分別在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線和反向延長線上取點F和點E,使DF=BE.試用向量方法證明:四邊形AECF是平行四邊形.【題型2用向量解決平面幾何中的垂直問題】【方法點撥】用向量法解決平面幾何中的垂直問題,一般來說有兩種方法.(1)普通向量法:利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算,有時可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知模或夾角的向量作為基底),將題中涉及的向量用基底表示.(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的垂直問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.【例2】(2022·高二課時練習(xí))如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是AB的中點,F(xiàn),G是AD,BC的三等分點(AF=23AD,BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【變式2-1】(2022·高一課時練習(xí))用向量方法證明:菱形對角線互相垂直.已知四邊形ABCD是菱形,AC,BD是其對角線.求證:AC⊥BD.【變式2-2】(2023·全國·高三專題練習(xí))如圖,正方形ABCD的邊長為a,E是AB的中點,F(xiàn)是BC的中點,求證:DE⊥AF.【變式2-3】(2022·高二課時練習(xí))如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB,求證:AD⊥CE.【題型3利用向量求線段間的長度關(guān)系】【方法點撥】利用向量知識,結(jié)合具體條件,將平面幾何中的長度關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例3】(2021·高一課時練習(xí))如圖,在?ABCD中,點E,F(xiàn)分別是AD,DC邊的中點,BE,BF分別與AC交于R,T兩點,你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎?用向量方法證明你的結(jié)論.【變式3-1】(2022·高一課時練習(xí))在梯形ABCD中,BC>AD,AD//BC,點E,F(xiàn)分別是BD,AC的中點,求證:【變式3-2】(2022·高一課前預(yù)習(xí))如圖,在△ABC中,點E為邊AB上一點,點F為線段AC延長線上一點,且BEAB=CFAC,連接EF交BC于點【變式3-3】(2022·高一單元測試)如圖,在△OAB中,點C分OA為1:3,點D為OB中點,AD與BC交于P點,延長OP交AB于E,求證:AE=3EB.【題型4用向量解決夾角問題】【方法點撥】利用向量知識,結(jié)合具體條件,利用向量的夾角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例4】(2022春·山東菏澤·高一期末)如圖,在△ABC中,已知AC=1,AB=3,∠BAC=60°,且PA+PB+【變式4-1】(2022春·重慶·高一期末)如圖,在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=4,點D在BC上,且BD=2DC,點E是AC的中點,連接AD,BE相交于(1)求線段AD,BE的長;(2)求∠EOD的余弦值.【變式4-2】(2022春·廣東河源·高一階段練習(xí))已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點,BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于點F,連接DF,求證:【變式4-3】(2022·高二課時練習(xí))已知梯形ABCD中,AB?//?CD,AB=2CD,E為BC的中點,F(xiàn)為BD與AE的交點,(1)求λ和μ的值;(2)若AB=22,BC=6,∠ABC=45°,求EA與BD【題型5用向量解決物理中的相關(guān)問題】【方法點撥】平面向量在物理的力學(xué)、運動學(xué)中應(yīng)用廣泛,用向量處理這些問題時,先根據(jù)題意把物理中的相關(guān)量用有向線段表示,再利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來計算.【例5】(2022·高一課時練習(xí))如圖,一滑輪組中有兩個定滑輪A,B,在從連接點O出發(fā)的三根繩的端點處,掛著3個重物,它們所受的重力分別為4N,4N和43【變式5-1】(2023·高一課時練習(xí))已知兩個力F1=5i+4j,F(xiàn)2=?2i+j,F(xiàn)1,F(xiàn)2作用于同一質(zhì)點,使該質(zhì)點從點(1)F1,F(xiàn)(2)F1,F(xiàn)2的合力【變式5-2】(2022·高一單元測試)如圖所示,一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A點出發(fā)航行到河對岸,船航行速度的大小為|v1|=10km/?,水流速度的大小為|v(1)當(dāng)cosθ(2)當(dāng)船垂直到達(dá)對岸時,航行所需時間是否最短?為什么?【變式5-3】(2022·高二課時練習(xí))解決本節(jié)開始時的問題:在如圖的天平中,左、右兩個秤盤均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的物品,在另一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的砝碼,天平平衡.3根細(xì)繩通過秤盤分擔(dān)對物品的拉力(拉力分別為F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3),若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為π3,不考慮秤盤和細(xì)繩本身的質(zhì)量,則F1【題型6向量與幾何最值】【方法點撥】根據(jù)具體條件,利用向量知識,將平面幾何中的最值問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】(2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測)如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,過中心O的直線l與兩邊AB,CD分別交于點M,N.(1)若Q是BC的中點,求QM?(2)若P是平面上一點,且滿足2OP=λOB【變式6-1】(2022春·廣西柳州·高一階段練習(xí))在△ABC中,CA=6,AB=8,∠BAC=π2,D為邊(1)求AD?(2)若點P滿足CP=λCAλ∈R【變式6-2】(2022·高一課前預(yù)習(xí))梯形ABCD中,AB//CD,AB=2,AD=CD=1,∠BAD=90°,點(1)當(dāng)點P是線段BC的中點時,求BC?(2)求PB?【變式6-3】(2022春·廣東佛山·高一期中)如圖,E,F分別是矩形ABCD的邊CD和BC上的動點,且AB=2,AD=1.(1)若E,F都是中點,求EF→(2)若E,F都是中點,N是線段EF上的任意一點,求AN→(3)若∠EAF=45°,求AE→專題6.9平面向量的應(yīng)用(重難點題型精講)1.平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問題的思想向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此,用向量解決平面幾何問題,就是將幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運算問題,將“證”轉(zhuǎn)化為“算”,思路清晰,便于操作.(2)向量在平面幾何中常見的應(yīng)用①證明線段平行或點共線問題,以及相似問題,常用向量共線定理:∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問題,如證明四邊形是矩形、正方形,判斷兩直線(或線段)是否垂直等,常用向量垂直的條件:=0+=0.

③求夾角問題,利用夾角公式:==.

④求線段的長度或說明線段相等,可以用向量的模:||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”2.向量在物理中的應(yīng)用(1)力學(xué)問題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量,它們可以有共同的作用點,也可以沒有共同的作用點,但力卻是既有大小,又有方向且作用于同一作用點的量.用向量知識解決力的問題,往往是把向量平移到同一作用點上.(2)速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解,實質(zhì)就是向量的加減法運算,而運動的疊加也用到向量的合成.(3)向量與功、動量

物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積.

①力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角,即W=||||.功是一個實數(shù),它可正,可負(fù),也可為零.

②動量涉及物體的質(zhì)量m,物體運動的速度,因此動量的計算是向量的數(shù)乘運算.【題型1用向量解決平面幾何中的平行問題】【方法點撥】用向量法解決平面幾何中的平行問題,一般來說有兩種方法.(1)普通向量法:利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算,將平行問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的平行問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.【例1】(2022·高一課前預(yù)習(xí))在△ABC中,點M,N分別在線段AB,AC上,AM=2MB,AN=2NC.求證:MN//【解題思路】設(shè)AB=a,AC=b,即可表示出BC,再由AM=23【解答過程】證明:設(shè)AB=a,AC=又AM=2MB,AN=2NC.所以AM=23在△AMN中,MN=所以MN=23BC,即MN與【變式1-1】(2022·全國·高三專題練習(xí))在四邊形ABCD中,AB=DC,N,M是求證:CN=【解題思路】利用AB=DC,可得四邊形ABCD是平行四邊形,結(jié)合DN=MB,即可證明【解答過程】∵AB=DC,∴AB=DC且∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴CB=DA,∵DN=MB又∵CM∥NA,∴四邊形CNAM是平行四邊形,∴CN=又CN與MA方向相同,∴CN=【變式1-2】(2022春·高一課時練習(xí))如圖,已知AD,BE,CF是△ABC的三條高,且交于點O,DG⊥BE于點G,DH⊥CF于點H,求證:HG//【解題思路】先由題意,得到GD//AE,設(shè)OA=λOD(λ≠0),根據(jù)三角形相似,推出AE【解答過程】證明:由題意,DG⊥BE,AE⊥BE設(shè)OA=λOD(λ≠0)同理AF=λ于是FE=∴FE//HG,∴【變式1-3】(2022·全國·高一專題練習(xí))如圖所示,分別在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線和反向延長線上取點F和點E,使DF=BE.試用向量方法證明:四邊形AECF是平行四邊形.【解題思路】由題知AE→=AB→+【解答過程】證明:因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB→=DC因為AE→=AB所以AE→=FC→,即所以四邊形AECF是平行四邊形.【題型2用向量解決平面幾何中的垂直問題】【方法點撥】用向量法解決平面幾何中的垂直問題,一般來說有兩種方法.(1)普通向量法:利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算,有時可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?;驃A角的向量作為基底),將題中涉及的向量用基底表示.(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的垂直問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.【例2】(2022·高二課時練習(xí))如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是AB的中點,F(xiàn),G是AD,BC的三等分點(AF=23AD,BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【解題思路】(1)利用平面向量基本定理表示出EF,(2)利用EF→,EG【解答過程】(1)因為點E是AB的中點,所以AE=因為AF=23AD,BG=所以EF=AF?(2)由(1)可得:EF=23因為a=所以EF?所以EF⊥EG.【變式2-1】(2022·高一課時練習(xí))用向量方法證明:菱形對角線互相垂直.已知四邊形ABCD是菱形,AC,BD是其對角線.求證:AC⊥BD.【解題思路】設(shè)AB=a,AD=b,則a=【解答過程】證明:設(shè)AB=a,因為四邊形ABCD為菱形,所以a=又AC則AC→?BD所以AC⊥BD.【變式2-2】(2023·全國·高三專題練習(xí))如圖,正方形ABCD的邊長為a,E是AB的中點,F(xiàn)是BC的中點,求證:DE⊥AF.【解題思路】利用平面向量加法、數(shù)乘的幾何意義有DE·AF=(DA+12AB)·【解答過程】∵DE·AF=(DA+12AB)·(AB+12AD)=1∴DE·AF=0,∴DE⊥AF,即DE⊥AF.【變式2-3】(2022·高二課時練習(xí))如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB,求證:AD⊥CE.【解題思路】以AC,CB為基底,表示AD=AC+【解答過程】AD==?1因為CA=CB,所以?13CA故AD⊥CE.【題型3利用向量求線段間的長度關(guān)系】【方法點撥】利用向量知識,結(jié)合具體條件,將平面幾何中的長度關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例3】(2021·高一課時練習(xí))如圖,在?ABCD中,點E,F(xiàn)分別是AD,DC邊的中點,BE,BF分別與AC交于R,T兩點,你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎?用向量方法證明你的結(jié)論.【解題思路】由于R,T是對角線AC上的兩點,要判斷AR,RT,TC之間的關(guān)系,只需分別判斷AR,RT,TC與AC之間的關(guān)系即可.【解答過程】設(shè)AB=a,AD=b,由AR//AC又EB=AB?AE=∵AR=∴r=綜上,有n(a+b由于a與b不共線,則{n?m=0n+m?1∴AR=13AC.同理,∴AR=RT=TC.【變式3-1】(2022·高一課時練習(xí))在梯形ABCD中,BC>AD,AD//BC,點E,F(xiàn)分別是BD,AC的中點,求證:【解題思路】由題意可知EF=BC?AD2,又BC>AD,AD則|EF【解答過程】因為點E,F(xiàn)分別是BD,AC的中點,所以EB=12所以EF=因為BC+所以DB+所以EF=因為BC>AD,AD//BC,且AD與所以|EF即EF=BC?AD【變式3-2】(2022·高一課前預(yù)習(xí))如圖,在△ABC中,點E為邊AB上一點,點F為線段AC延長線上一點,且BEAB=CFAC,連接EF交BC于點【解題思路】以點B為原點建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)BEAB=CFAC=λ,利用CF=λAC可得F(λ(1?a)+1,?λb)【解答過程】證明:如圖,以點B為原點,BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)BC=1設(shè)BEAB=CFAC=λ,C(1,0),A(a,b),D(d,0)所以CF=λAC=(λ(1?a),?λb)所以ED=(d?λa,?λb),DF因為E,D,F(xiàn)共線,所以ED//所以?λb(d?λa)=?λb[λ(1?a)+1?d]化簡得2d=λ+1.因為ED?DF=(d?λa,?λb)?(λ?λa+1?d,?λb)所以ED=所以ED=DF.【變式3-3】(2022·高一單元測試)如圖,在△OAB中,點C分OA為1:3,點D為OB中點,AD與BC交于P點,延長OP交AB于E,求證:AE=3EB.【解題思路】以點O為坐標(biāo)原點,OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(1,0),B(a,b),P(m,n),AE=λEB,依題意可求出點C,D,E的坐標(biāo),再根據(jù)點A,P,D共線可得n12a?1=12(m?1)b,由點B,P,C共線,可得na?1【解答過程】以點O為坐標(biāo)原點,OA所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(1,0),B(a,b),P(m,n),AE=λEB,則因為點C分OA為1:3,所以O(shè)C因為點D為OB的中點,所以O(shè)D=因為點A,P,D共線,所以AP//又AP=(m?1,n),AD=1同理由點B,P,C共線,可得na?由點O,P,E共線,可得m?λb1+λ=n?λa+11+λ【題型4用向量解決夾角問題】【方法點撥】利用向量知識,結(jié)合具體條件,利用向量的夾角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例4】(2022春·山東菏澤·高一期末)如圖,在△ABC中,已知AC=1,AB=3,∠BAC=60°,且PA+PB+【解題思路】根據(jù)向量線性運算結(jié)合已知PA+PB+PC=0可得故【解答過程】由題意得|AB|=3,|AC|=1,PA+PB+又AB=PB?故PA=?1于是|PA∴|PA|=1∴=?【變式4-1】(2022春·重慶·高一期末)如圖,在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=4,點D在BC上,且BD=2DC,點E是AC的中點,連接AD,BE相交于(1)求線段AD,BE的長;(2)求∠EOD的余弦值.【解題思路】(1)由BE2=BE(2)由AD與BE的夾角即為∠EOD,利用向量的夾角公式即可求解.【解答過程】(1)解:由題意,AB=2,AE=AC2=2又BE=所以BE2=BE∴BE=23,即∵AD=∴AD2=∴AD=2(2)解:∵BE∴AD?BE=(23∵AD與BE的夾角即為∠EOD,∴cos【變式4-2】(2022春·廣東河源·高一階段練習(xí))已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點,BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于點F,連接DF,求證:【解題思路】以B為原點,BC,BA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,證明DA,DB的夾角與【解答過程】如圖,以B為原點,BC,BA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A0,?2,C2,設(shè)AF=λAC,則又因為DA=?1,?2,所以?2λ+22?2λ=0,解得λ=所以DF=又因為DC=所以cos∠ADB=DA?又因為∠ADB,∠FDC∈0,π,所以∠ADB=∠FDC【變式4-3】(2022·高二課時練習(xí))已知梯形ABCD中,AB?//?CD,AB=2CD,E為BC的中點,F(xiàn)為BD與AE的交點,(1)求λ和μ的值;(2)若AB=22,BC=6,∠ABC=45°,求EA與BD【解題思路】(1)由向量的運算得出AD=?32AB+2(2)由向量的運算得出EA=12CB+BA,BD=【解答過程】(1)根據(jù)題意,梯形ABCD中,AB?//?CD,AB=2CD,E為則AD=AB又由AD=λAB+μAE(2)∠AFD是EA與BD所成的角,設(shè)向量EA與BD所成的角為θEA=EBBD=BC則|EA|=因為EA=?1所以cos所以EA與BD所成角的余弦值為?10【題型5用向量解決物理中的相關(guān)問題】【方法點撥】平面向量在物理的力學(xué)、運動學(xué)中應(yīng)用廣泛,用向量處理這些問題時,先根據(jù)題意把物理中的相關(guān)量用有向線段表示,再利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來計算.【例5】(2022·高一課時練習(xí))如圖,一滑輪組中有兩個定滑輪A,B,在從連接點O出發(fā)的三根繩的端點處,掛著3個重物,它們所受的重力分別為4N,4N和43【解題思路】根據(jù)題意,用向量的方法求解,作出對應(yīng)的受力分析圖,得到OA+OB=【解答過程】解:如圖,∵OA+∴OA2∴|OA即42∴cos∠AOB=∵0<∠AOB<π,∴∠AOB=π【變式5-1】(2023·高一課時練習(xí))已知兩個力F1=5i+4j,F(xiàn)2=?2i+j,F(xiàn)1,F(xiàn)2作用于同一質(zhì)點,使該質(zhì)點從點(1)F1,F(xiàn)(2)F1,F(xiàn)2的合力【解題思路】(1)由已知可得兩個力F1,F(xiàn)2和位移(2)先計算F1,F(xiàn)【解答過程】(1)依題意有F1=5,4,F(xiàn)則F1做的功為WF2做的功為W(2)由F=所以F做的功為W=F【變式5-2】(2022·高一單元測試)如圖所示,一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A點出發(fā)航行到河對岸,船航行速度的大小為|v1|=10km/?,水流速度的大小為|v(1)當(dāng)cosθ(2)當(dāng)船垂直到達(dá)對岸時,航行所需時間是否最短?為什么?【解題思路】(1)由題意,v=v1+v(2)設(shè)船航行到對岸所需的時間為th,則t=dv1sin【解答過程】(1)解:船垂直到達(dá)對岸,即v=v1+v所以v1?v所以40cosθ+16=0,解得(2)解:設(shè)船航行到對岸所需的時間為th,則t=所以當(dāng)θ=90°時,船的航行時間最短為120而當(dāng)船垂直到達(dá)對岸時,由(1)知sinθ=所需時間t=dv1故當(dāng)船垂直到達(dá)對岸時,航行所需時間不是最短.【變式5-3】(2022·高二課時練習(xí))解決本節(jié)開始時的問題:在如圖的天平中,左、右兩個秤盤均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的物品,在另一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的砝碼,天平平衡.3根細(xì)繩通過秤盤分擔(dān)對物品的拉力(拉力分別為F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3),若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為π3,不考慮秤盤和細(xì)繩本身的質(zhì)量,則F1【解題思路】由題可得F1=F2=F3,且F1,【解答過程】由題可知F1=F2=F3,且F又F1+F∴F1∴6F∴F1即F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3【題型6向量與幾何最值】【方法點撥】根據(jù)具體條件,利用向量知識,將平面幾何中的最值問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】(2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測)如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,過中心O的直線l與兩邊AB,CD分別交于點M,N.(1)若Q是BC的中點,求QM?(2)若P是平面上一點,且滿足2OP=λOB【解題思路】(1)由向量的加法和數(shù)量積運算將QM?QN轉(zhuǎn)化為QO2?OM(2)令OT=2OP=λOB+(1?λ)OC可得點T在BC上,再將PM?【解答過程】(1)因為直線l過中心O且與兩邊AB、CD分別交于點M、N.所以O(shè)為MN的中點,所以O(shè)M=?所以QM?QN=(因為Q是BC的中點,所以|QO|=1,所以?1≤QO即的QM?QN取值范圍為(2)令OT=2OP,則∴OT=λOB∴CT∴點T在BC上,又因為O為MN的中點,所

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