舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專(zhuān)題6.9 平面向量的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）（含答案及解析）

專(zhuān)題6.9平面向量的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問(wèn)題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問(wèn)題，就是將幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問(wèn)題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用①證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，以及相似問(wèn)題，常用向量共線定理：∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.

③求夾角問(wèn)題，利用夾角公式：==.

④求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”2．向量在物理中的應(yīng)用(1)力學(xué)問(wèn)題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒(méi)有共同的作用點(diǎn)，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的量.用向量知識(shí)解決力的問(wèn)題，往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上.(2)速度、位移問(wèn)題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實(shí)質(zhì)就是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成.(3)向量與功、動(dòng)量

物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積.

①力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，即W=||||.功是一個(gè)實(shí)數(shù),它可正,可負(fù),也可為零.

②動(dòng)量涉及物體的質(zhì)量m，物體運(yùn)動(dòng)的速度，因此動(dòng)量的計(jì)算是向量的數(shù)乘運(yùn)算.【題型1用向量解決平面幾何中的平行問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】用向量法解決平面幾何中的平行問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，將平行問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.【例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求證：MN//【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四邊形ABCD中，AB=DC，N，M是求證：CN=【變式1-2】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AD,BE,CF是△ABC的三條高，且交于點(diǎn)O，DG⊥BE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，求證：HG//【變式1-3】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，分別在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F和點(diǎn)E，使DF=BE.試用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形.【題型2用向量解決平面幾何中的垂直問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】用向量法解決平面幾何中的垂直問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，有時(shí)可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn),G是AD,BC的三等分點(diǎn)（AF=23AD，BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對(duì)角線．求證：AC⊥BD．【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.【變式2-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.【題型3利用向量求線段間的長(zhǎng)度關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】利用向量知識(shí)，結(jié)合具體條件，將平面幾何中的長(zhǎng)度關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例3】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.【變式3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，求證：【變式3-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BEAB=CFAC，連接EF交BC于點(diǎn)【變式3-3】（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在△OAB中，點(diǎn)C分OA為1:3，點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，AD與BC交于P點(diǎn)，延長(zhǎng)OP交AB于E，求證：AE=3EB.【題型4用向量解決夾角問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】利用向量知識(shí)，結(jié)合具體條件，利用向量的夾角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例4】（2022春·山東菏澤·高一期末）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【變式4-1】（2022春·重慶·高一期末）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，點(diǎn)D在BC上，且BD=2DC，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接AD，BE相交于(1)求線段AD，BE的長(zhǎng)；(2)求∠EOD的余弦值.【變式4-2】（2022春·廣東河源·高一階段練習(xí)）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，垂足為E，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，連接DF，求證：【變式4-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD與AE的交點(diǎn)，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA與BD【題型5用向量解決物理中的相關(guān)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】平面向量在物理的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)中應(yīng)用廣泛，用向量處理這些問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)題意把物理中的相關(guān)量用有向線段表示，再利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來(lái)計(jì)算.【例5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一滑輪組中有兩個(gè)定滑輪A，B，在從連接點(diǎn)O出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處，掛著3個(gè)重物，它們所受的重力分別為4N，4N和43【變式5-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)力F1=5i+4j，F(xiàn)2=?2i+j，F(xiàn)1，F(xiàn)2作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)(1)F1，F(xiàn)(2)F1，F(xiàn)2的合力【變式5-2】（2022·高一單元測(cè)試）如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)航行到河對(duì)岸，船航行速度的大小為|v1|=10km/?，水流速度的大小為|v(1)當(dāng)cosθ(2)當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，航行所需時(shí)間是否最短？為什么？【變式5-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）解決本節(jié)開(kāi)始時(shí)的問(wèn)題：在如圖的天平中，左、右兩個(gè)秤盤(pán)均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個(gè)秤盤(pán)中放入質(zhì)量為1kg的物品，在另一個(gè)秤盤(pán)中放入質(zhì)量為1kg的砝碼，天平平衡.3根細(xì)繩通過(guò)秤盤(pán)分擔(dān)對(duì)物品的拉力（拉力分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3），若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為π3，不考慮秤盤(pán)和細(xì)繩本身的質(zhì)量，則F1【題型6向量與幾何最值】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體條件，利用向量知識(shí)，將平面幾何中的最值問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過(guò)中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求QM?(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足2OP=λOB【變式6-1】（2022春·廣西柳州·高一階段練習(xí)）在△ABC中，CA=6，AB=8，∠BAC=π2，D為邊(1)求AD?(2)若點(diǎn)P滿(mǎn)足CP=λCAλ∈R【變式6-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求BC?(2)求PB?【變式6-3】（2022春·廣東佛山·高一期中）如圖，E,F分別是矩形ABCD的邊CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=2,AD=1.（1）若E,F都是中點(diǎn)，求EF→（2）若E,F都是中點(diǎn)，N是線段EF上的任意一點(diǎn)，求AN→（3）若∠EAF=45°，求AE→專(zhuān)題6.9平面向量的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問(wèn)題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問(wèn)題，就是將幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問(wèn)題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用①證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，以及相似問(wèn)題，常用向量共線定理：∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.

③求夾角問(wèn)題，利用夾角公式：==.

④求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”2．向量在物理中的應(yīng)用(1)力學(xué)問(wèn)題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒(méi)有共同的作用點(diǎn)，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的量.用向量知識(shí)解決力的問(wèn)題，往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上.(2)速度、位移問(wèn)題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實(shí)質(zhì)就是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成.(3)向量與功、動(dòng)量

物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積.

①力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，即W=||||.功是一個(gè)實(shí)數(shù),它可正,可負(fù),也可為零.

②動(dòng)量涉及物體的質(zhì)量m，物體運(yùn)動(dòng)的速度，因此動(dòng)量的計(jì)算是向量的數(shù)乘運(yùn)算.【題型1用向量解決平面幾何中的平行問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】用向量法解決平面幾何中的平行問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，將平行問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.【例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求證：MN//【解題思路】設(shè)AB=a，AC=b，即可表示出BC，再由AM=23【解答過(guò)程】證明：設(shè)AB=a，AC=又AM=2MB，AN=2NC.所以AM=23在△AMN中，MN=所以MN=23BC，即MN與【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四邊形ABCD中，AB=DC，N，M是求證：CN=【解題思路】利用AB=DC，可得四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合DN=MB，即可證明【解答過(guò)程】∵AB=DC，∴AB=DC且∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴CB=DA,∵DN=MB又∵CM∥NA，∴四邊形CNAM是平行四邊形，∴CN=又CN與MA方向相同，∴CN=【變式1-2】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AD,BE,CF是△ABC的三條高，且交于點(diǎn)O，DG⊥BE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，求證：HG//【解題思路】先由題意，得到GD//AE，設(shè)OA=λOD(λ≠0)，根據(jù)三角形相似，推出AE【解答過(guò)程】證明：由題意，DG⊥BE，AE⊥BE設(shè)OA=λOD(λ≠0)同理AF=λ于是FE=∴FE//HG，∴【變式1-3】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，分別在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F和點(diǎn)E，使DF=BE.試用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形.【解題思路】由題知AE→=AB→+【解答過(guò)程】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB→=DC因?yàn)锳E→=AB所以AE→=FC→，即所以四邊形AECF是平行四邊形.【題型2用向量解決平面幾何中的垂直問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】用向量法解決平面幾何中的垂直問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，有時(shí)可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn),G是AD,BC的三等分點(diǎn)（AF=23AD，BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【解題思路】（1）利用平面向量基本定理表示出EF,（2）利用EF→,EG【解答過(guò)程】（1）因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以AE=因?yàn)锳F=23AD，BG=所以EF=AF?（2）由（1）可得：EF=23因?yàn)閍=所以EF?所以EF⊥EG.【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對(duì)角線．求證：AC⊥BD．【解題思路】設(shè)AB=a，AD=b，則a＝【解答過(guò)程】證明：設(shè)AB=a，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以a＝又AC則AC→?BD所以AC⊥BD.【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.【解題思路】利用平面向量加法、數(shù)乘的幾何意義有DE·AF＝(DA+12AB)·【解答過(guò)程】∵DE·AF＝(DA+12AB)·(AB+12AD)＝1∴DE·AF＝0，∴DE⊥AF，即DE⊥AF.【變式2-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.【解題思路】以AC,CB為基底，表示AD=AC+【解答過(guò)程】AD==?1因?yàn)镃A=CB，所以?13CA故AD⊥CE.【題型3利用向量求線段間的長(zhǎng)度關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】利用向量知識(shí)，結(jié)合具體條件，將平面幾何中的長(zhǎng)度關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例3】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.【解題思路】由于R,T是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR,RT,TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR,RT,TC與AC之間的關(guān)系即可.【解答過(guò)程】設(shè)AB=a，AD=b，由AR//AC又EB=AB?AE=∵AR=∴r=綜上，有n(a+b由于a與b不共線，則{n?m=0n+m?1∴AR=13AC.同理，∴AR=RT=TC.【變式3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，求證：【解題思路】由題意可知EF=BC?AD2，又BC>AD，AD則|EF【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，所以EB=12所以EF=因?yàn)锽C+所以DB+所以EF=因?yàn)锽C>AD，AD//BC，且AD與所以|EF即EF=BC?AD【變式3-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BEAB=CFAC，連接EF交BC于點(diǎn)【解題思路】以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)BEAB=CFAC=λ，利用CF=λAC可得F(λ(1?a)+1,?λb)【解答過(guò)程】證明：如圖，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=1設(shè)BEAB=CFAC=λ，C(1,0)，A(a,b)，D(d,0)所以CF=λAC=(λ(1?a),?λb)所以ED=(d?λa,?λb)，DF因?yàn)镋，D，F(xiàn)共線，所以ED//所以?λb(d?λa)=?λb[λ(1?a)+1?d]化簡(jiǎn)得2d=λ+1.因?yàn)镋D?DF=(d?λa,?λb)?(λ?λa+1?d,?λb)所以ED=所以ED=DF.【變式3-3】（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在△OAB中，點(diǎn)C分OA為1:3，點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，AD與BC交于P點(diǎn)，延長(zhǎng)OP交AB于E，求證：AE=3EB.【解題思路】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(1,0)，B(a,b)，P(m,n)，AE=λEB，依題意可求出點(diǎn)C,D,E的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A，P，D共線可得n12a?1=12(m?1)b，由點(diǎn)B，P，C共線，可得na?1【解答過(guò)程】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(1,0)，B(a,b)，P(m,n)，AE=λEB，則因?yàn)辄c(diǎn)C分OA為1:3，所以O(shè)C因?yàn)辄c(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，所以O(shè)D=因?yàn)辄c(diǎn)A，P，D共線，所以AP//又AP=(m?1,n)，AD=1同理由點(diǎn)B，P，C共線，可得na?由點(diǎn)O，P，E共線，可得m?λb1+λ=n?λa+11+λ【題型4用向量解決夾角問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】利用向量知識(shí)，結(jié)合具體條件，利用向量的夾角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例4】（2022春·山東菏澤·高一期末）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合已知PA+PB+PC=0可得故【解答過(guò)程】由題意得|AB|=3,|AC|=1，PA+PB+又AB=PB?故PA=?1于是|PA∴|PA|=1∴=?【變式4-1】（2022春·重慶·高一期末）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，點(diǎn)D在BC上，且BD=2DC，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接AD，BE相交于(1)求線段AD，BE的長(zhǎng)；(2)求∠EOD的余弦值.【解題思路】（1）由BE2=BE（2）由AD與BE的夾角即為∠EOD，利用向量的夾角公式即可求解.【解答過(guò)程】(1)解：由題意，AB=2,AE=AC2=2又BE=所以BE2=BE∴BE=23，即∵AD=∴AD2=∴AD=2(2)解：∵BE∴AD?BE=(23∵AD與BE的夾角即為∠EOD，∴cos【變式4-2】（2022春·廣東河源·高一階段練習(xí)）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，垂足為E，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，連接DF，求證：【解題思路】以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，證明DA,DB的夾角與【解答過(guò)程】如圖，以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A0，?2，C2，設(shè)AF=λAC，則又因?yàn)镈A=?1，?2，所以?2λ+22?2λ=0，解得λ=所以DF=又因?yàn)镈C=所以cos∠ADB=DA?又因?yàn)椤螦DB，∠FDC∈0，π，所以∠ADB=∠FDC【變式4-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD與AE的交點(diǎn)，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA與BD【解題思路】（1）由向量的運(yùn)算得出AD=?32AB+2（2）由向量的運(yùn)算得出EA=12CB+BA，BD=【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意，梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為則AD=AB又由AD=λAB+μAE（2）∠AFD是EA與BD所成的角，設(shè)向量EA與BD所成的角為θEA=EBBD=BC則|EA|=因?yàn)镋A=?1所以cos所以EA與BD所成角的余弦值為?10【題型5用向量解決物理中的相關(guān)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】平面向量在物理的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)中應(yīng)用廣泛，用向量處理這些問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)題意把物理中的相關(guān)量用有向線段表示，再利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來(lái)計(jì)算.【例5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一滑輪組中有兩個(gè)定滑輪A，B，在從連接點(diǎn)O出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處，掛著3個(gè)重物，它們所受的重力分別為4N，4N和43【解題思路】根據(jù)題意，用向量的方法求解，作出對(duì)應(yīng)的受力分析圖，得到OA+OB=【解答過(guò)程】解：如圖，∵OA+∴OA2∴|OA即42∴cos∠AOB=∵0<∠AOB<π，∴∠AOB=π【變式5-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)力F1=5i+4j，F(xiàn)2=?2i+j，F(xiàn)1，F(xiàn)2作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)(1)F1，F(xiàn)(2)F1，F(xiàn)2的合力【解題思路】（1）由已知可得兩個(gè)力F1，F(xiàn)2和位移（2）先計(jì)算F1，F(xiàn)【解答過(guò)程】（1）依題意有F1=5,4，F(xiàn)則F1做的功為WF2做的功為W（2）由F=所以F做的功為W=F【變式5-2】（2022·高一單元測(cè)試）如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)航行到河對(duì)岸，船航行速度的大小為|v1|=10km/?，水流速度的大小為|v(1)當(dāng)cosθ(2)當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，航行所需時(shí)間是否最短？為什么？【解題思路】（1）由題意，v=v1+v（2）設(shè)船航行到對(duì)岸所需的時(shí)間為th，則t=dv1sin【解答過(guò)程】（1）解：船垂直到達(dá)對(duì)岸，即v=v1+v所以v1?v所以40cosθ+16=0，解得（2）解：設(shè)船航行到對(duì)岸所需的時(shí)間為th，則t=所以當(dāng)θ=90°時(shí)，船的航行時(shí)間最短為120而當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，由（1）知sinθ=所需時(shí)間t=dv1故當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，航行所需時(shí)間不是最短．【變式5-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）解決本節(jié)開(kāi)始時(shí)的問(wèn)題：在如圖的天平中，左、右兩個(gè)秤盤(pán)均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個(gè)秤盤(pán)中放入質(zhì)量為1kg的物品，在另一個(gè)秤盤(pán)中放入質(zhì)量為1kg的砝碼，天平平衡.3根細(xì)繩通過(guò)秤盤(pán)分擔(dān)對(duì)物品的拉力（拉力分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3），若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為π3，不考慮秤盤(pán)和細(xì)繩本身的質(zhì)量，則F1【解題思路】由題可得F1=F2=F3，且F1，【解答過(guò)程】由題可知F1=F2=F3，且F又F1+F∴F1∴6F∴F1即F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3【題型6向量與幾何最值】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體條件，利用向量知識(shí)，將平面幾何中的最值問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過(guò)中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求QM?(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足2OP=λOB【解題思路】（1）由向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算將QM?QN轉(zhuǎn)化為QO2?OM（2）令OT=2OP=λOB+(1?λ)OC可得點(diǎn)T在BC上，再將PM?【解答過(guò)程】（1）因?yàn)橹本€l過(guò)中心O且與兩邊AB、CD分別交于點(diǎn)M、N．所以O(shè)為MN的中點(diǎn)，所以O(shè)M=?所以QM?QN=(因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以|QO|=1，所以?1≤QO即的QM?QN取值范圍為（2）令OT=2OP，則∴OT=λOB∴CT∴點(diǎn)T在BC上，又因?yàn)镺為MN的中點(diǎn)，所