舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題6.12 解三角形(重難點(diǎn)題型檢測)(含答案及解析)_第1頁
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文檔簡介

專題6.12解三角形(重難點(diǎn)題型檢測)【人教A版2019】考試時間:60分鐘;滿分:100分姓名:___________班級:___________考號:___________考卷信息:本卷試題共22題,單選8題,多選4題,填空4題,解答6題,滿分100分,限時60分鐘,本卷題型針對性較高,覆蓋面廣,選題有深度,可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況!一.選擇題(共8小題,滿分24分,每小題3分)1.(3分)(2022·全國·高三專題練習(xí))在△ABC中,已知a=2,b=3,B=30°,則此三角形(

)A.有一解 B.有兩解 C.無解 D.無法判斷有幾解2.(3分)(2022秋·吉林四平·高三階段練習(xí))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知a=3,b=2,cosC=13,則A.2 B.3 C.4 D.53.(3分)(2022·陜西安康·統(tǒng)考三模)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sinC=45,c=4,B=πA.1 B.2 C.1或7 D.2或144.(3分)(2022·云南·模擬預(yù)測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為12b(bsinB?asinA.π6 B.5π6 C.π5.(3分)(2022秋·陜西渭南·高二期末)在△ABC中,若a+b+cb+c?a=3bc,且sinA=2sinBA.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形6.(3分)(2023·全國·高三對口高考)已知在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin2A?sinBsinA.?12,12 B.0,17.(3分)(2022春·福建莆田·高一期中)為了測量鐵塔OT的高度,小劉同學(xué)在地面A處測得塔頂T處的仰角為30°,從A處向正東方向走140米到地面B處,測得塔頂T處的仰角為60°,若∠AOB=60°,則鐵塔OT的高度為(

)A.2021米 B.25C.207米 D.258.(3分)(2022秋·江西上饒·高三階段練習(xí))三角形ABC的三邊a,b,c所對的角為A,B,C,1?(sinA?A.C=π3 B.若△ABC面積為43C.當(dāng)b=5,c=7時,a=9 D.若b=4,B=π4,則△ABC二.多選題(共4小題,滿分16分,每小題4分)9.(4分)(2022秋·河北張家口·高三期中)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩解的是(

)A.b=10,A=45°,C=60° B.b=C.a(chǎn)=3,b=2,A=45° 10.(4分)(2022秋·廣東廣州·高二階段練習(xí))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.下面四個結(jié)論正確的是(

)A.a(chǎn)=2,A=30°,則△ABC的外接圓半徑是2 B.若acosAC.若a2+b2>c2,則11.(4分)(2022秋·福建福州·高二期中)三角形ABC的三邊a,b,c所對的角為A,B,C,1?(sinA?A.C=π3 B.若△ABC面積為43C.當(dāng)b=5,c=7時,a=9 D.若b=4,B=π4,則△ABC12.(4分)(2022·全國·高一專題練習(xí))花戲樓是我市著名的旅游景點(diǎn),位于毫州城北關(guān),渦水南岸,是國家級點(diǎn)文物保護(hù)單位.花戲樓始于清順治十三年(公元1656年),是一座演戲的舞臺,因戲樓遍布戲文,彩繪鮮麗,俗稱花戲樓.它的正門前有兩根鐵旗桿,每根重12000斤,旗桿高16米多,直插碧空白云間,是花戲樓景點(diǎn)的一絕.我校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量旗桿AB的高度,選取與旗桿底部(點(diǎn)B)在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D(B,C,D不在同一直線上),如圖,興趣小組可以測量的數(shù)據(jù)有:CD,∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADB,∠ADC,∠BDC,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出旗桿AB的高度的是()A.CD,∠ACB,∠BCD,∠BDC B.CD,∠ACB,∠ACD,∠BCDC.CD,∠ACB,∠ACD,∠ADC D.CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC三.填空題(共4小題,滿分16分,每小題4分)13.(4分)(2022·高一課時練習(xí))在△ABC中,a=x,b=3,B=30°,若該三角形有兩解,則x的取值范圍是.14.(4分)(2021秋·陜西咸陽·高二期中)如圖,一艘船自西向東勻速航行,上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處,下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為nmile/h.(結(jié)果精確到整數(shù),參考數(shù)據(jù):615.(4分)(2022秋·甘肅蘭州·高三階段練習(xí))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,a=4,3bcosA?acosC=ccosA,點(diǎn)D在線段BC上,2BD=DC,過點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F(xiàn),則16.(4分)(2022秋·山東青島·高三階段練習(xí))已知在銳角△ABC中,角A,B,C,所對的邊分別為a,b,c,若b2=a(a+c),則asinAb四.解答題(共6小題,滿分44分)17.(6分)(2023·高一課時練習(xí))在△ABC中,A=α0<α<π2,b=m.分別根據(jù)下列條件,求邊長(1)△ABC有一解;(2)△ABC有兩解;(3)△ABC無解.18.(6分)(2022秋·江蘇南通·高三階段練習(xí))在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點(diǎn)D在邊BC上,且AD=3,BD=2,CD=1.(1)若B=2π3(2)若c=4,求b.19.(8分)(2023·全國·模擬預(yù)測)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且csin(1)求C;(2)若點(diǎn)D在CB的延長線上,CB=BD,AD=l,求a+b的取值范圍.20.(8分)(2022春·河北唐山·高一階段練習(xí))在△ABC中,角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,且滿足A=45°,(1)求cosC的值;(2)若BC=10,D是AB的中點(diǎn),求CD的長.21.(8分)(2022秋·陜西渭南·高二期末)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知a(sin(1)求角B的大??;(2)若b(sinA+sinC)sin22.(8分)(2022春·福建三明·高一階段練習(xí))三明如意湖濕地公園是以水為主題的公園,分生態(tài)凈化區(qū)、生態(tài)保育區(qū)、生態(tài)科普區(qū)三個區(qū)域,具有生態(tài)觀光、休閑娛樂多種功能.欲在該公園內(nèi)搭建一個平面凸四邊形ABCD的休閑、觀光及科普宣教的平臺,如圖所示,其中DC=8百米,DA=4百米,△ABC為正三角形,建成后△BCD將作為人們旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域,△ABD將作為科普宣教濕地功能利用、弘揚(yáng)濕地文化的區(qū)域.(1)當(dāng)∠ADC=π3時,求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域△(2)求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域△BCD的面積的最大值.專題6.12解三角形(重難點(diǎn)題型檢測)參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題,滿分24分,每小題3分)1.(3分)(2022·全國·高三專題練習(xí))在△ABC中,已知a=2,b=3,B=30°,則此三角形(

)A.有一解 B.有兩解 C.無解 D.無法判斷有幾解【解題思路】根據(jù)給定條件,結(jié)合正弦定理計算判斷作答.【解答過程】在△ABC中,a=2,b=3,B=30°,由正弦定理得sinA=而a<b,有A<B=30°,即故選:A.2.(3分)(2022秋·吉林四平·高三階段練習(xí))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知a=3,b=2,cosC=13,則A.2 B.3 C.4 D.5【解題思路】直接由余弦定理求邊長c即可.【解答過程】解:因為a=3,b=2,又余弦定理得:c2=a故選:B.3.(3分)(2022·陜西安康·統(tǒng)考三模)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sinC=45,c=4,B=πA.1 B.2 C.1或7 D.2或14【解題思路】利用正弦定理求出b,兩角和的正弦展開式求出sinA【解答過程】由csinC=因為sinC=45,所以cos∴sinA=sin(B+C)=∴S△ABC或S△ABC故選:C.4.(3分)(2022·云南·模擬預(yù)測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為12b(bsinB?asinA.π6 B.5π6 C.π【解題思路】根據(jù)三角形面積公式,正弦定理角化邊,余弦定理結(jié)合即可解決.【解答過程】由題知,△ABC的面積為12所以12ab所以由正弦定理得ac=b2?所以cosB=因為B∈0,所以B?=故選:D.5.(3分)(2022秋·陜西渭南·高二期末)在△ABC中,若a+b+cb+c?a=3bc,且sinA=2sinBA.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【解題思路】將a+b+cb+c?a=3bc化簡并結(jié)合余弦定理可得sinA=2【解答過程】由a+b+cb+c?a=3bc,得整理得b2+c因為A∈(0,π),所以又由sinA=2sin化簡得b=c,所以△ABC為等邊三角形,故選:B.6.(3分)(2023·全國·高三對口高考)已知在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin2A?sinBsinA.?12,12 B.0,1【解題思路】利用余弦定理、正弦定理求解即可.【解答過程】由正弦定理及sin2A?sin根據(jù)余弦定理a2得a2令p=sinB?sin因此a2=4p由題意可知A是銳角,所以0<cos因此0≤p2<故選:A.7.(3分)(2022春·福建莆田·高一期中)為了測量鐵塔OT的高度,小劉同學(xué)在地面A處測得塔頂T處的仰角為30°,從A處向正東方向走140米到地面B處,測得塔頂T處的仰角為60°,若∠AOB=60°,則鐵塔OT的高度為(

)A.2021米 B.25C.207米 D.25【解題思路】設(shè)TO=h,用h表示出AO和BO,在△AOB中利用余弦定理即可求出h.【解答過程】設(shè)鐵塔OT的高度為?,在Rt△AOT中,∠TAO=30°,AO=在Rt△BOT中,∠TBO=60°,BO=在△AOB中,∠AOB=60°,由余弦定理得,AB即1402化簡得?2=3故選:A.8.(3分)(2022秋·江西上饒·高三階段練習(xí))三角形ABC的三邊a,b,c所對的角為A,B,C,1?(sinA?A.C=π3 B.若△ABC面積為43C.當(dāng)b=5,c=7時,a=9 D.若b=4,B=π4,則△ABC【解題思路】對于A,根據(jù)正弦定理和余弦定理可求出C=π3;對于B,由△ABC面積為43,求出ab=16,由余弦定理得到c=【解答過程】對于A,由1?(sinA?得sin2由正弦定理得a2所以cosC=因為0<C<π,所以C=對于B,因為△ABC面積為43,所以12ab所以ab=16,由余弦定理得c2=a所以c=(a+b)2?2ab?16所以a+b+c=a+b+(a+b)2?48≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時,等號成立,故△ABC的周長的最小值為12.故B說法正確;對于C,當(dāng)b=5,c=7時,由余弦定理得c2所以49=a2+25?10a?解得a=8或a=?3(舍),故C說法不正確;對于D,若b=4,B=π4,由正弦定理得得c=bsinC所以△ABC面積為12bcsin因為sin5π12=sin所以△ABC面積為46×2故選:C.二.多選題(共4小題,滿分16分,每小題4分)9.(4分)(2022秋·河北張家口·高三期中)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩解的是(

)A.b=10,A=45°,C=60° B.b=C.a(chǎn)=3,b=2,A=45° 【解題思路】對于A,直接判斷即可;對于B,sinC=csinBb=4?3215=【解答過程】對于A,因為b=10,A=45°,C=60°,所以B=75°,所以△ABC只有一解;故A錯誤;對于B,因為b=15所以由正弦定理得sinC=因為b<c,即B<C,所以C>60°,所以△ABC有兩解(60°<B<90°,或90°<B<120°),故B正確;對于C,因為a=3所以由正弦定理得asinA=因為22<23<32對于D,因為a=8,b=4,A=80°,所以由正弦定理得sinB=由于b<a,故B<80°,所以△ABC只有一解,故D錯誤;故選:BC.10.(4分)(2022秋·廣東廣州·高二階段練習(xí))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.下面四個結(jié)論正確的是(

)A.a(chǎn)=2,A=30°,則△ABC的外接圓半徑是2 B.若acosAC.若a2+b2>c2,則【解題思路】根據(jù)正余弦定理及其應(yīng)用,對每個選項進(jìn)行逐一分析,即可判斷和選擇.【解答過程】對A:由正弦定理知asinA=4=2R對B:由正弦定理及acosA=bsinB可得,sinA對C:因為cosC=a2+b對D:若A<B,a<b,所以由正弦定理得sinA<故選:ABD.11.(4分)(2022秋·福建福州·高二期中)三角形ABC的三邊a,b,c所對的角為A,B,C,1?(sinA?A.C=π3 B.若△ABC面積為43C.當(dāng)b=5,c=7時,a=9 D.若b=4,B=π4,則△ABC【解題思路】由題意可得sin2C=sin2A+sin2B?sinAsinB,選項A:利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即可求角【解答過程】因為△ABC,由題意可得1?sin整理得sin2由正弦定理邊角互化得c2又由余弦定理c2=a2+當(dāng)S△ABC=12absinC=4所以c2=a所以a+b+c≥12,B正確;由當(dāng)b=5,c=7時,c2=a由C=π3,B=π4得A=5又因為sin5所以S△ABC故選:ABD.12.(4分)(2022·全國·高一專題練習(xí))花戲樓是我市著名的旅游景點(diǎn),位于毫州城北關(guān),渦水南岸,是國家級點(diǎn)文物保護(hù)單位.花戲樓始于清順治十三年(公元1656年),是一座演戲的舞臺,因戲樓遍布戲文,彩繪鮮麗,俗稱花戲樓.它的正門前有兩根鐵旗桿,每根重12000斤,旗桿高16米多,直插碧空白云間,是花戲樓景點(diǎn)的一絕.我校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量旗桿AB的高度,選取與旗桿底部(點(diǎn)B)在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D(B,C,D不在同一直線上),如圖,興趣小組可以測量的數(shù)據(jù)有:CD,∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADB,∠ADC,∠BDC,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出旗桿AB的高度的是()A.CD,∠ACB,∠BCD,∠BDC B.CD,∠ACB,∠ACD,∠BCDC.CD,∠ACB,∠ACD,∠ADC D.CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC【解題思路】根據(jù)正弦定理和余弦定理分析與AB相關(guān)的三角形是否可解,從而可得正確的選項.【解答過程】對于A,在△BCD,因為已知CD,∠BCD,∠BDC,故由正弦定理可解三角形△BCD,從而求出CB,而在Rt△ACB中,因為已知∠ACB,故可求AB的高度,故A正確.對于B,知道CD,∠ACB,∠ACD,∠BCD,則AB可沿CB變化,故不可求AB的高度,故B錯誤.對于C,在△ACD,因為已知CD,∠ACD,∠ADC,故由正弦定理可解三角形△ACD,從而求出CA,而在Rt△ACB中,因為已知∠ACB,故可求AB的高度,故C正確.對于D,如圖所示,設(shè)∠ACB=α,∠BCD=β,∠ADC=γ,AB=?,在Rt△ACB中,AC=?在△BCD中,BD在Rt△ADB中,AD2在△ACD中,AC即?2sin2α=AD故可求AB的高度,故D正確.故選:ACD.三.填空題(共4小題,滿分16分,每小題4分)13.(4分)(2022·高一課時練習(xí))在△ABC中,a=x,b=3,B=30°,若該三角形有兩解,則x的取值范圍是3,6.【解題思路】利用正弦定理列出關(guān)系式,將a,b,sinB的值代入表示出sinA,根據(jù)B的度數(shù)確定出【解答過程】解:由asinA因為B=30°,所以0°<A<150°要使三角形有兩解,所以30°<A<150°且A≠90°,所以12<sinA<1,即故答案為:3,6.14.(4分)(2021秋·陜西咸陽·高二期中)如圖,一艘船自西向東勻速航行,上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處,下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為21nmile/h.(結(jié)果精確到整數(shù),參考數(shù)據(jù):6【解題思路】由圖可知,利用正弦定理可求出MN的長,根據(jù)航行時長為4小時,即可求得這只船的航行速度.【解答過程】如下圖所示:根據(jù)題意可知,MP=68,且∠MPN=75°+則在△MPN中,有正弦定理可知MPsin所以MN=62MP=34所以,航行速度為MN4又結(jié)果精確到整數(shù),即航行速度為21nmile/h故答案為:21.15.(4分)(2022秋·甘肅蘭州·高三階段練習(xí))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,a=4,3bcosA?acosC=ccosA,點(diǎn)D在線段BC上,2BD=DC,過點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F(xiàn),則【解題思路】先由3bcosA?acosC=ccosA結(jié)合正弦定理求得cosA,sinA,再由余弦定理可得b2+c2?23bc=16,結(jié)合不等式【解答過程】因為3bcosA?acos則3sin因為0<B<π,所以sin所以cosA=13由余弦定理可得a2=b因為b2+c2≥2bc,所以2bc?連結(jié)AD,因為2BD=DC,所以S△ACD所以12b?DF=2×12c×DE=則S△DEF故答案為:642.16.(4分)(2022秋·山東青島·高三階段練習(xí))已知在銳角△ABC中,角A,B,C,所對的邊分別為a,b,c,若b2=a(a+c),則asinAb【解題思路】根據(jù)余弦定理及正弦定理的邊換角得到B=2A,再將問題的分式利用正弦定理進(jìn)行邊換角,轉(zhuǎn)化求sinA的范圍,再求出A【解答過程】因為b2則b2即a=則sinA即sin即sinA即sinA又△ABC則-π2<B-asin又0<A<π即sinA即asinAb故答案為:12四.解答題(共6小題,滿分44分)17.(6分)(2023·高一課時練習(xí))在△ABC中,A=α0<α<π2,b=m.分別根據(jù)下列條件,求邊長(1)△ABC有一解;(2)△ABC有兩解;(3)△ABC無解.【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理,得到sinB=msinαa.分a<b(2)由已知可得sinα<(3)由已知可得sinB>1【解答過程】(1)由正弦定理asinA=(ⅰ)當(dāng)a<b,即a<m時,sinB=①若sinB>1,即msinαa>1,則B②若sinB=1,即msinαa=1,B=③若sinB<1,即msinαa<1,因為sinB>sinA,此時綜上所述,當(dāng)a=msinα?xí)r,(ⅱ)當(dāng)a=b,即a=m時,sinB=msin(ⅲ)當(dāng)a>b,即a>m時,sinB=msinαa綜上所述,△ABC有一解時,邊長a的取值范圍是a=msinα或(2)由(1)知,△ABC有兩解,應(yīng)滿足sinA<sinB<1,由sinB=m(3)由(1)知,△ABC無解,應(yīng)滿足sinB>1,即msinα18.(6分)(2022秋·江蘇南通·高三階段練習(xí))在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點(diǎn)D在邊BC上,且AD=3,BD=2,CD=1.(1)若B=2π3(2)若c=4,求b.【解題思路】(1)在△ABD中,由余弦定理可求出結(jié)果;(2)在△ABD中,由余弦定理求出cosB,在△ABC中,由余弦定理求出b【解答過程】(1)在△ABD中,由余弦定理得AD所以9=c2+4?2c?2?(?解得c=6?1或(2)在△ABD中,由余弦定理得AD所以9=16+4?2?4?2?cosB,所以在△ABC中,AC2=AB2所以b=3419.(8分)(2023·全國·模擬預(yù)測)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且csin(1)求C;(2)若點(diǎn)D在CB的延長線上,CB=BD,AD=l,求a+b的取值范圍.【解題思路】(1)由正弦定理得到cosC2=12(2)設(shè)∠CAD=α,則α∈0,π3,由正弦定理得到b=【解答過程】(1)csinB=bsin因為B∈0,π,所以故sinC=sinC因為C2∈0,故cosC因為C2∈0,π(2)在△ACD中,CD=2a,設(shè)∠CAD=α,則α∈0,由正弦定理得:ACsin即bsin解得:b=2故a+b=2因為α∈0,π3a+b的取值范圍是1220.(8分)(2022春·河北唐山·高一階段練習(xí))在△ABC中,角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,且滿足A=45°,(1)求cosC的值;(2)若BC=10,D是AB的中點(diǎn),求CD的長.【解題思路】(1)討論B,結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求cosB,再由兩角和差余弦公式求cos(2)討論B,利用正弦定理解△ABC可求AB,再由余弦定理解△BCD即可求得CD的長.【解答過程】(1)在△ABC中,A=45°,sinB=當(dāng)B∈0,π2時,cos當(dāng)B∈π2,cosC=?(2)由(1)當(dāng)B∈0,π2時,cos∠ACB=2在△ABC中,由正弦定理可得AB

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