舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題6.12 解三角形（重難點(diǎn)題型檢測）（含答案及解析）

專題6.12解三角形（重難點(diǎn)題型檢測）【人教A版2019】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知a=2,b=3,B=30°，則此三角形（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．無法判斷有幾解2．（3分）（2022秋·吉林四平·高三階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，已知a=3,b=2,cosC=13，則A．2 B．3 C．4 D．53．（3分）（2022·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sinC=45,c=4,B=πA．1 B．2 C．1或7 D．2或144．（3分）（2022·云南·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，△ABC的面積為12b(bsinB?asinA．π6 B．5π6 C．π5．（3分）（2022秋·陜西渭南·高二期末）在△ABC中，若a+b+cb+c?a=3bc，且sinA=2sinBA．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形6．（3分）（2023·全國·高三對口高考）已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin2A?sinBsinA．?12,12 B．0,17．（3分）（2022春·福建莆田·高一期中）為了測量鐵塔OT的高度，小劉同學(xué)在地面A處測得塔頂T處的仰角為30°，從A處向正東方向走140米到地面B處，測得塔頂T處的仰角為60°，若∠AOB=60°，則鐵塔OT的高度為(

)A．2021米 B．25C．207米 D．258．（3分）（2022秋·江西上饒·高三階段練習(xí)）三角形ABC的三邊a,b,c所對的角為A,B,C，1?(sinA?A．C=π3 B．若△ABC面積為43C．當(dāng)b=5，c=7時，a=9 D．若b=4，B=π4，則△ABC二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022秋·河北張家口·高三期中）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．b=10,A=45°,C=60° B．b=C．a(chǎn)=3,b=2,A=45° 10．（4分）（2022秋·廣東廣州·高二階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.下面四個結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)=2，A=30°，則△ABC的外接圓半徑是2 B．若acosAC．若a2+b2>c2，則11．（4分）（2022秋·福建福州·高二期中）三角形ABC的三邊a,b,c所對的角為A,B,C，1?(sinA?A．C=π3 B．若△ABC面積為43C．當(dāng)b=5，c=7時，a=9 D．若b=4，B=π4，則△ABC12．（4分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）花戲樓是我市著名的旅游景點(diǎn)，位于毫州城北關(guān)，渦水南岸，是國家級點(diǎn)文物保護(hù)單位.花戲樓始于清順治十三年(公元1656年)，是一座演戲的舞臺，因戲樓遍布戲文，彩繪鮮麗，俗稱花戲樓.它的正門前有兩根鐵旗桿，每根重12000斤，旗桿高16米多，直插碧空白云間，是花戲樓景點(diǎn)的一絕.我校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量旗桿AB的高度，選取與旗桿底部(點(diǎn)B)在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D(B，C，D不在同一直線上)，如圖，興趣小組可以測量的數(shù)據(jù)有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出旗桿AB的高度的是（）A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCDC．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·高一課時練習(xí)）在△ABC中，a=x,b=3,B=30°，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是．14．（4分）（2021秋·陜西咸陽·高二期中）如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為nmile/h.（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：615．（4分）（2022秋·甘肅蘭州·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，a＝4，3bcosA?acosC=ccosA，點(diǎn)D在線段BC上，2BD=DC，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，則16．（4分）（2022秋·山東青島·高三階段練習(xí)）已知在銳角△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，若b2=a(a+c)，則asinAb四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2023·高一課時練習(xí)）在△ABC中，A=α0<α<π2，b=m．分別根據(jù)下列條件，求邊長(1)△ABC有一解；(2)△ABC有兩解；(3)△ABC無解．18．（6分）（2022秋·江蘇南通·高三階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，點(diǎn)D在邊BC上，且AD=3，BD=2,CD=1.(1)若B=2π3(2)若c=4，求b.19．（8分）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且csin(1)求C；(2)若點(diǎn)D在CB的延長線上，CB＝BD，AD＝l，求a+b的取值范圍．20．（8分）（2022春·河北唐山·高一階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且滿足A=45°，(1)求cosC的值；(2)若BC=10，D是AB的中點(diǎn)，求CD的長．21．（8分）（2022秋·陜西渭南·高二期末）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a(sin(1)求角B的大??；(2)若b(sinA+sinC)sin22．（8分）（2022春·福建三明·高一階段練習(xí)）三明如意湖濕地公園是以水為主題的公園，分生態(tài)凈化區(qū)、生態(tài)保育區(qū)、生態(tài)科普區(qū)三個區(qū)域，具有生態(tài)觀光、休閑娛樂多種功能．欲在該公園內(nèi)搭建一個平面凸四邊形ABCD的休閑、觀光及科普宣教的平臺，如圖所示，其中DC=8百米，DA=4百米，△ABC為正三角形，建成后△BCD將作為人們旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域，△ABD將作為科普宣教濕地功能利用、弘揚(yáng)濕地文化的區(qū)域．(1)當(dāng)∠ADC=π3時，求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域△(2)求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域△BCD的面積的最大值．專題6.12解三角形（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知a=2,b=3,B=30°，則此三角形（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．無法判斷有幾解【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合正弦定理計算判斷作答.【解答過程】在△ABC中，a=2,b=3,B=30°，由正弦定理得sinA=而a<b，有A<B=30°，即故選：A.2．（3分）（2022秋·吉林四平·高三階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，已知a=3,b=2,cosC=13，則A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】直接由余弦定理求邊長c即可.【解答過程】解：因為a=3,b=2,又余弦定理得：c2=a故選：B.3．（3分）（2022·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sinC=45,c=4,B=πA．1 B．2 C．1或7 D．2或14【解題思路】利用正弦定理求出b，兩角和的正弦展開式求出sinA【解答過程】由csinC=因為sinC=45，所以cos∴sinA=sin(B+C)=∴S△ABC或S△ABC故選：C.4．（3分）（2022·云南·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，△ABC的面積為12b(bsinB?asinA．π6 B．5π6 C．π【解題思路】根據(jù)三角形面積公式，正弦定理角化邊，余弦定理結(jié)合即可解決.【解答過程】由題知，△ABC的面積為12所以12ab所以由正弦定理得ac=b2?所以cosB=因為B∈0,所以B?=故選：D.5．（3分）（2022秋·陜西渭南·高二期末）在△ABC中，若a+b+cb+c?a=3bc，且sinA=2sinBA．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】將a+b+cb+c?a=3bc化簡并結(jié)合余弦定理可得sinA=2【解答過程】由a+b+cb+c?a=3bc，得整理得b2+c因為A∈(0,π)，所以又由sinA=2sin化簡得b=c，所以△ABC為等邊三角形，故選：B.6．（3分）（2023·全國·高三對口高考）已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin2A?sinBsinA．?12,12 B．0,1【解題思路】利用余弦定理、正弦定理求解即可.【解答過程】由正弦定理及sin2A?sin根據(jù)余弦定理a2得a2令p=sinB?sin因此a2=4p由題意可知A是銳角，所以0<cos因此0≤p2<故選:A.7．（3分）（2022春·福建莆田·高一期中）為了測量鐵塔OT的高度，小劉同學(xué)在地面A處測得塔頂T處的仰角為30°，從A處向正東方向走140米到地面B處，測得塔頂T處的仰角為60°，若∠AOB=60°，則鐵塔OT的高度為(

)A．2021米 B．25C．207米 D．25【解題思路】設(shè)TO=h，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．【解答過程】設(shè)鐵塔OT的高度為?，在Rt△AOT中，∠TAO=30°，AO=在Rt△BOT中，∠TBO=60°，BO=在△AOB中，∠AOB=60°，由余弦定理得，AB即1402化簡得?2=3故選：A．8．（3分）（2022秋·江西上饒·高三階段練習(xí)）三角形ABC的三邊a,b,c所對的角為A,B,C，1?(sinA?A．C=π3 B．若△ABC面積為43C．當(dāng)b=5，c=7時，a=9 D．若b=4，B=π4，則△ABC【解題思路】對于A，根據(jù)正弦定理和余弦定理可求出C=π3；對于B，由△ABC面積為43，求出ab=16，由余弦定理得到c=【解答過程】對于A，由1?(sinA?得sin2由正弦定理得a2所以cosC=因為0<C<π，所以C=對于B，因為△ABC面積為43，所以12ab所以ab=16，由余弦定理得c2=a所以c=(a+b)2?2ab?16所以a+b+c=a+b+(a+b)2?48≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時，等號成立，故△ABC的周長的最小值為12.故B說法正確；對于C，當(dāng)b=5，c=7時，由余弦定理得c2所以49=a2+25?10a?解得a=8或a=?3（舍），故C說法不正確；對于D，若b=4，B=π4，由正弦定理得得c=bsinC所以△ABC面積為12bcsin因為sin5π12=sin所以△ABC面積為46×2故選：C.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022秋·河北張家口·高三期中）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．b=10,A=45°,C=60° B．b=C．a(chǎn)=3,b=2,A=45° 【解題思路】對于A，直接判斷即可；對于B，sinC=csinBb=4?3215=【解答過程】對于A，因為b=10,A=45°,C=60°，所以B=75°，所以△ABC只有一解；故A錯誤；對于B，因為b=15所以由正弦定理得sinC=因為b<c，即B<C，所以C>60°，所以△ABC有兩解（60°<B<90°，或90°<B<120°），故B正確；對于C，因為a=3所以由正弦定理得asinA=因為22<23<32對于D，因為a=8,b=4,A=80°，所以由正弦定理得sinB=由于b<a，故B<80°，所以△ABC只有一解，故D錯誤；故選：BC.10．（4分）（2022秋·廣東廣州·高二階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.下面四個結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)=2，A=30°，則△ABC的外接圓半徑是2 B．若acosAC．若a2+b2>c2，則【解題思路】根據(jù)正余弦定理及其應(yīng)用，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【解答過程】對A：由正弦定理知asinA=4=2R對B：由正弦定理及acosA=bsinB可得，sinA對C：因為cosC=a2+b對D：若A<B，a<b，所以由正弦定理得sinA<故選：ABD.11．（4分）（2022秋·福建福州·高二期中）三角形ABC的三邊a,b,c所對的角為A,B,C，1?(sinA?A．C=π3 B．若△ABC面積為43C．當(dāng)b=5，c=7時，a=9 D．若b=4，B=π4，則△ABC【解題思路】由題意可得sin2C=sin2A+sin2B?sinAsinB，選項A：利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即可求角【解答過程】因為△ABC，由題意可得1?sin整理得sin2由正弦定理邊角互化得c2又由余弦定理c2=a2+當(dāng)S△ABC=12absinC=4所以c2=a所以a+b+c≥12，B正確；由當(dāng)b=5，c=7時，c2=a由C=π3，B=π4得A=5又因為sin5所以S△ABC故選：ABD.12．（4分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）花戲樓是我市著名的旅游景點(diǎn)，位于毫州城北關(guān)，渦水南岸，是國家級點(diǎn)文物保護(hù)單位.花戲樓始于清順治十三年(公元1656年)，是一座演戲的舞臺，因戲樓遍布戲文，彩繪鮮麗，俗稱花戲樓.它的正門前有兩根鐵旗桿，每根重12000斤，旗桿高16米多，直插碧空白云間，是花戲樓景點(diǎn)的一絕.我校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量旗桿AB的高度，選取與旗桿底部(點(diǎn)B)在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D(B，C，D不在同一直線上)，如圖，興趣小組可以測量的數(shù)據(jù)有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出旗桿AB的高度的是（）A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCDC．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC【解題思路】根據(jù)正弦定理和余弦定理分析與AB相關(guān)的三角形是否可解，從而可得正確的選項．【解答過程】對于A，在△BCD，因為已知CD,∠BCD,∠BDC，故由正弦定理可解三角形△BCD，從而求出CB，而在Rt△ACB中，因為已知∠ACB，故可求AB的高度，故A正確．對于B，知道CD,∠ACB,∠ACD,∠BCD，則AB可沿CB變化，故不可求AB的高度，故B錯誤．對于C，在△ACD，因為已知CD,∠ACD,∠ADC，故由正弦定理可解三角形△ACD，從而求出CA，而在Rt△ACB中，因為已知∠ACB，故可求AB的高度，故C正確．對于D，如圖所示，設(shè)∠ACB=α，∠BCD=β，∠ADC=γ，AB=?，在Rt△ACB中，AC=?在△BCD中，BD在Rt△ADB中，AD2在△ACD中，AC即?2sin2α=AD故可求AB的高度，故D正確．故選：ACD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·高一課時練習(xí)）在△ABC中，a=x,b=3,B=30°，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是3,6．【解題思路】利用正弦定理列出關(guān)系式，將a，b，sinB的值代入表示出sinA，根據(jù)B的度數(shù)確定出【解答過程】解：由asinA因為B=30°，所以0°<A<150°要使三角形有兩解，所以30°<A<150°且A≠90°,所以12<sinA<1，即故答案為：3,6.14．（4分）（2021秋·陜西咸陽·高二期中）如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為21nmile/h.（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：6【解題思路】由圖可知，利用正弦定理可求出MN的長，根據(jù)航行時長為4小時，即可求得這只船的航行速度.【解答過程】如下圖所示：根據(jù)題意可知，MP=68，且∠MPN=75°+則在△MPN中，有正弦定理可知MPsin所以MN=62MP=34所以，航行速度為MN4又結(jié)果精確到整數(shù)，即航行速度為21nmile/h故答案為：21.15．（4分）（2022秋·甘肅蘭州·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，a＝4，3bcosA?acosC=ccosA，點(diǎn)D在線段BC上，2BD=DC，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，則【解題思路】先由3bcosA?acosC=ccosA結(jié)合正弦定理求得cosA，sinA，再由余弦定理可得b2+c2?23bc=16，結(jié)合不等式【解答過程】因為3bcosA?acos則3sin因為0<B<π，所以sin所以cosA=13由余弦定理可得a2=b因為b2+c2≥2bc，所以2bc?連結(jié)AD，因為2BD=DC，所以S△ACD所以12b?DF=2×12c×DE=則S△DEF故答案為：642.16．（4分）（2022秋·山東青島·高三階段練習(xí)）已知在銳角△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，若b2=a(a+c)，則asinAb【解題思路】根據(jù)余弦定理及正弦定理的邊換角得到B=2A，再將問題的分式利用正弦定理進(jìn)行邊換角，轉(zhuǎn)化求sinA的范圍，再求出A【解答過程】因為b2則b2即a=則sinA即sin即sinA即sinA又△ABC則-π2<B-asin又0<A<π即sinA即asinAb故答案為：12四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2023·高一課時練習(xí)）在△ABC中，A=α0<α<π2，b=m．分別根據(jù)下列條件，求邊長(1)△ABC有一解；(2)△ABC有兩解；(3)△ABC無解．【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理，得到sinB=msinαa.分a<b（2）由已知可得sinα<（3）由已知可得sinB>1【解答過程】（1）由正弦定理asinA=（ⅰ）當(dāng)a<b，即a<m時，sinB=①若sinB>1，即msinαa>1，則B②若sinB=1，即msinαa=1，B=③若sinB<1，即msinαa<1，因為sinB>sinA，此時綜上所述，當(dāng)a=msinα?xí)r，（ⅱ）當(dāng)a=b，即a=m時，sinB=msin（ⅲ）當(dāng)a>b，即a>m時，sinB=msinαa綜上所述，△ABC有一解時，邊長a的取值范圍是a=msinα或（2）由（1）知，△ABC有兩解，應(yīng)滿足sinA<sinB<1，由sinB=m（3）由（1）知，△ABC無解，應(yīng)滿足sinB>1，即msinα18．（6分）（2022秋·江蘇南通·高三階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，點(diǎn)D在邊BC上，且AD=3，BD=2,CD=1.(1)若B=2π3(2)若c=4，求b.【解題思路】（1）在△ABD中，由余弦定理可求出結(jié)果；（2）在△ABD中，由余弦定理求出cosB，在△ABC中，由余弦定理求出b【解答過程】（1）在△ABD中，由余弦定理得AD所以9=c2+4?2c?2?(?解得c=6?1或（2）在△ABD中，由余弦定理得AD所以9=16+4?2?4?2?cosB，所以在△ABC中，AC2=AB2所以b=3419．（8分）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且csin(1)求C；(2)若點(diǎn)D在CB的延長線上，CB＝BD，AD＝l，求a+b的取值范圍．【解題思路】（1）由正弦定理得到cosC2=12（2）設(shè)∠CAD=α，則α∈0,π3，由正弦定理得到b=【解答過程】（1）csinB=bsin因為B∈0,π，所以故sinC=sinC因為C2∈0,故cosC因為C2∈0,π（2）在△ACD中，CD=2a，設(shè)∠CAD=α，則α∈0,由正弦定理得：ACsin即bsin解得：b=2故a+b=2因為α∈0,π3a+b的取值范圍是1220．（8分）（2022春·河北唐山·高一階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且滿足A=45°，(1)求cosC的值；(2)若BC=10，D是AB的中點(diǎn)，求CD的長．【解題思路】(1)討論B，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求cosB，再由兩角和差余弦公式求cos(2)討論B，利用正弦定理解△ABC可求AB，再由余弦定理解△BCD即可求得CD的長.【解答過程】（1）在△ABC中，A=45°，sinB=當(dāng)B∈0,π2時，cos當(dāng)B∈π2,cosC=?（2）由(1)當(dāng)B∈0,π2時，cos∠ACB=2在△ABC中，由正弦定理可得AB