2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪課時(shí)分層訓(xùn)練67　幾何概型

課時(shí)分層訓(xùn)練(六十七)幾何概型(對應(yīng)學(xué)生用書第269頁)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的概率為()A．eq\f(1,π)B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)C[由0≤sinx≤eq\f(1,2)，且x∈[0，π]，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π)).故所求事件的概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(5,6)π))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－0)),π－0)＝eq\f(1,3).]2．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖10-6-6所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()圖10-6-6A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,8)B[設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).]3．(2018·深圳二調(diào))設(shè)實(shí)數(shù)a∈(0,1)，則函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點(diǎn)的概率為()【導(dǎo)學(xué)號：97190368】A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)D[由函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點(diǎn)，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥eq\f(3,4)，即有eq\f(3,4)≤a<1，結(jié)合幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求的概率為P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故選D.]4．(2018·湖北調(diào)考)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝x，則圓C上任取一點(diǎn)A到直線l的距離小于1的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[如圖所示，設(shè)與y＝x平行的兩直線AD，BF交圓C于點(diǎn)A，D，B，F(xiàn)，且它們到直線y＝x的距離相等，過點(diǎn)A作AE垂直于直線y＝x，垂足為E，當(dāng)點(diǎn)A到直線y＝x的距離為1時(shí)，AE＝1，又CA＝2，則∠ACE＝eq\f(π,6)，所以∠ACB＝∠FCD＝eq\f(π,3)，所以所求概率P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3)，故選D.]5．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)A[當(dāng)點(diǎn)P到底面ABC的距離小于eq\f(3,2)時(shí)，VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC．由幾何概型知，所求概率為P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).]6．(2018·西寧檢測(一))已知平面區(qū)域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|(x－2)2＋(y－2)2<4}，在區(qū)域D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自區(qū)域D2的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,16) D．eq\f(π,32)C[平面區(qū)域D1是邊長為4的正方形，面積是16，其中區(qū)域D1與D2的公共部分是半徑為2的eq\f(1,4)圓，其面積為eq\f(1,4)×π×22＝π，則所求概率為eq\f(π,16)，故選C．]7．(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A．eq\f(4n,m) B．eq\f(2n,m)C．eq\f(4m,n) D．eq\f(2m,n)C[因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).]二、填空題8.如圖10-6-7所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________．圖10-6-7eq\f(1,6)[如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).]9．一只蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________．eq\f(1,27)[由已知條件，可知蜜蜂只能在一個(gè)棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).]10．正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖10-6-8所示，若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________.【導(dǎo)學(xué)號：97190369】圖10-6-8eq\f(2,3)[由對稱性，S陰影＝4eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x3,3)))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\o\al(1,0)＝eq\f(8,3).又S正方形ABCD＝2×2＝4，由幾何概型，質(zhì)點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率P＝eq\f(S陰,S正方形ABCD)＝eq\f(2,3).]B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)11．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為()A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)π B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)D[|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圓及其內(nèi)部，如圖所示．當(dāng)|z|≤1時(shí)，y≥x表示的是圖中陰影部分．∵S圓＝π×12＝π，S陰影＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)×12＝eq\f(π－2,4).故所求事件的概率P＝eq\f(S陰影,S圓)＝eq\f(\f(π－2,4),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).]12．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則()A．p1<p2<eq\f(1,2) B．p2<eq\f(1,2)<p1C．eq\f(1,2)<p2<p1 D．p1<eq\f(1,2)<p2D[如圖，滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“x＋y≤eq\f(1,2)”對應(yīng)的圖形為陰影△ODE(如圖①)，其面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)<eq\f(1,2)，事件“xy≤eq\f(1,2)”對應(yīng)的圖形為斜線表示部分(如圖②)，其面積顯然大于eq\f(1,2)，故p2>eq\f(1,2)，則p1<eq\f(1,2)<p2，故選D.]13.(2018·太原模擬(二))如圖10-6-9，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(陰影部分)圍成一個(gè)大正方形，中間空出一個(gè)小正方形組成的圖形，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形的概率為eq\f(1,5)，則圖中直角三角形中較大銳角的正弦值為()圖10-6-9A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(1,5) D．eq\f(\r(3),3)B[設(shè)大正方形邊長為a，直角三角形中較大銳角為θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則小正方形的面積為a2－4×eq\f(1,2)×acosθ×asinθ＝a2－a2sin2θ，則由題意，得eq\f(a2－a2sin2θ,a2)＝eq\f(1,5)，解得sin2θ＝eq\f(4,5).因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sinθ＋cosθ＝eq\r(1＋sin2θ)＝eq\f(3,\r(5))①，sinθ－cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(1,\r(5))②.由①＋②解得sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，故選B．]14．(2018·貴州適應(yīng)性考試)已知區(qū)域Ω＝{(x，y)||x|≤eq\r(2)，0≤y≤eq\r(2)}，由直線x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，曲線y＝cosx與x軸圍成的封閉圖形所表示的區(qū)域記為A．若在區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P在區(qū)域A內(nèi)的概率為()A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(6),4)C[區(qū)域Ω＝{(x，y)||x|≤eq\r(2)，0≤y≤eq\r(2)}對應(yīng)的區(qū)域是矩形，面積為2eq\r(2)×eq\r(2)＝4，區(qū)域A的面積為2∫eq\f(π,3)0cosxdx＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求的概率為P＝eq\f(\r(3),4)，故選C．]15．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝AC＝eq\r(3)，∠BAC＝120°，D為棱BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PD與平面ABC所成的角為θ，則θ不大于45°的概率為________.【導(dǎo)學(xué)號：97190370】eq\f(2,3)[因?yàn)閠anθ＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(1,AD)