2025屆安徽省定遠縣啟明中學高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2025屆安徽省定遠縣啟明中學高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三個觀測點，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點定位測試中，兩個觀測點同時聽到爆炸聲，觀測點晚聽到，已知聲速為，則爆炸點與觀測點的距離是（）A. B.C. D.2．瑞士數學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點，其歐拉線方程為，則頂點C的坐標是（）A.（） B.（）C.（） D.（）3．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.3 B.C.1 D.4．雙曲線的光學性質為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經雙曲線上的點和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是（）A.4 B.5C.6 D.76．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.7．若關于x的方程有解，則實數的取值范圍為()A. B.C. D.8．在三棱柱中，，，，則這個三棱柱的高（）A1 B.C. D.9．設變量x，y滿足約束條件則目標函數的最小值為（）A.3 B.1C.0 D.﹣110．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，為一條漸近線上的一點，且，則的面積為（）A. B.C. D.111．如圖所示，在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，則向量可表示為（）A. B.C. D.12．已知點是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.14．已知雙曲線的左，右焦點分別為，P是該雙曲線右支上一點，且（O為坐標原點），，則雙曲線C的離心率為__________15．已知數列滿足下列條件：①數列是等比數列；②數列是單調遞增數列；③數列的公比滿足.請寫出一個符合條件的數列的通項公式__________.16．甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?個小時，假定它們在一晝夜的時間段內隨機地到達，則兩船中有一艘在停靠泊位時、另一艘船必須等待的概率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數的圖像為曲線，點、.（1）設點為曲線上在第一象限內的任意一點，求線段的長（用表示）；（2）設點為曲線上任意一點，求證：為常數；（3）由（2）可知，曲線為雙曲線，請研究雙曲線的性質（從對稱性、頂點、漸近線、離心率四個角度進行研究）.18．（12分）已知橢圓C：的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點為D，上頂點為B，點A的坐標為（1，0），過點D的直線L與橢圓在第一象限交于點P，與直線AB交于點Q設L的斜率為k，若，求k的值.19．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.20．（12分）已知數列滿足，（1）證明是等比數列，（2）求數列的前項和21．（12分）已知拋物線上任意一點到焦點F最短距離為2，（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點F的直線，互相垂直，且與C分別交于A，B，M，N四點，求四邊形AMBN面積的最小值22．（10分）在中，，，請再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大?。唬?）求的面積.條件①：；條件②：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據題意作出示意圖，然后結合余弦定理解三角形即可求出結果.【詳解】設爆炸點為，由于兩個觀測點同時聽到爆炸聲，則點位于的垂直平分線上，又在的正東方向且觀測點晚聽到，則點位于的左側，，,，設，則，解得，則爆炸點與觀測點的距離為，故選：D.2、A【解析】根據題意，求得的外心，再根據外心的性質，以及重心的坐標，聯立方程組，即可求得結果.【詳解】因為，故的斜率，又的中點坐標為，故的垂直平分線的方程為，即，故△的外心坐標即為與的交點，即，不妨設點，則，即；又△的重心的坐標為，其滿足，即，也即，將其代入，可得，，解得或，對應或，即或，因為與點重合，故舍去.故點的坐標為.故選：A.3、A【解析】由題意首先畫出可行域，然后結合目標函數的幾何意義求解最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最大值，聯立直線方程：，可得點A的坐標為：，據此可知目標函數的最大值為：.故選：A【點睛】方法點睛：求線性目標函數的最值，當時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.4、C【解析】連接，已知條件為，，設，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出的關系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以故選：C5、C【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個出來，則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是6個.故選：C.6、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經檢驗滿足題意故選：C7、C【解析】將對數方程化為指數方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當且僅當時取等號，故故選：C8、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，則答案可求.【詳解】設平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設三棱柱的高為h，則,故選：D.9、C【解析】線性規(guī)劃問題，作出可行域后，根據幾何意義求解【詳解】作出可行域如圖所示，，數形結合知過時取最小值故選：C10、A【解析】先表示出漸近線方程，設出點坐標，利用，解出點坐標，再按照面積公式求解即可.【詳解】由題意知，雙曲線漸近線方程為，不妨設在上，設，由得，解得，的面積為.故選：A.11、D【解析】根據空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數乘運算即可求解.【詳解】解：因為在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，所以，故選：D.12、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可判斷B正確，再求出，的關系可得C不正確，求出，的關系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據離心率得出，結合得出關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14、【解析】由已知及向量數量積的幾何意義易知，根據雙曲線的性質可得，再由雙曲線的定義及勾股定理構造關于雙曲線參數的齊次方程求離心率.【詳解】∵，∴△為等腰三角形且，又，∴，∴．又，，∴，則，可得，∴雙曲線C的離心率為故答案為：.15、（答案不唯一）【解析】根據題意判斷數列特征，寫出一個符合題意的數列的通項公式即可.【詳解】因為數列是等比數列，數列是單調遞增數列，數列公比滿足，所以等比數列公比，且各項均為負數，符合題意的一個數列的通項公式為.故答案為：（答案不唯一）16、【解析】利用幾何概型的面積型概率計算，作出邊長為24的正方形面積，求出部分的面積，即可求得答案.【詳解】設甲乙兩艘輪船到達的時間分為，則，記事件為兩船中有一艘在?？坎次粫r、另一艘船必須等待，則，即∴.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型，考查轉化與化歸思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意對概率模型的抽象成面積型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）具體見解析；（3）具體見解析.【解析】（1）由兩點間的距離公式求出距離，進而將式子化簡即可；（2）求出，進而討論兩種情況，然后結合基本不等式即可證明問題；（3）根據為雙曲線的焦點，結合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關性質.【小問1詳解】由題意，.【小問2詳解】設，由（1），.若x>0，則，當且僅當時取“=”，則，，所以.若x<0，則，當且僅當時取“=”，則，，所以.綜上：，為常數.【小問3詳解】易知函數：為奇函數，則其圖象關于原點對稱.由（2）可知，曲線為雙曲線，為雙曲線的焦點，則它關于直線對稱，還關于與垂直且過原點的直線對稱.，則，易得.綜上：雙曲線關于原點（0,0）對稱，且關于直線對稱.容易知道，直線是雙曲線C的漸近線.易知線段是雙曲線的實軸，將代入雙曲線解得頂點：.于是實軸長為焦距為，則離心率.18、（1）（2）1【解析】（1）根據橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-，由求解；（2）根據點M（，）在橢圓C上，頂點，再由，求得橢圓方程，由，結合，得到，設直線方程為，與橢圓方程聯立，求得點P的坐標，再由，求得Q的坐標，代入求解.【小問1詳解】解：設橢圓C：的上頂點為，左頂點為，右頂點為，因為橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問2詳解】因為點M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因為，所以，又，所以，則，設，則，當時，則，不合題意；當時，設直線方程為，與題意方程聯立，消去y得：則，所以，則，因為，由，得，因為，所以，化簡得，因，則.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結合向量法求得到平面的距離.【小問1詳解】以B為坐標原點，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標系.設，可得，，，.，.因為，所以.【小問2詳解】，設為平面DEF的法向量，則，即，可取.因為平面的法向量為，所以.由題設，可得，所以.點B到DFE平面距離.20、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個與n無關的非零常數，從而得出結論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項為，公比為的等比數列,，所以，（2）由（1）知的通項公式為；則所以【點睛】本題主要考查等比數列的證明以及分組求和法，屬于基礎題21、（1）（2）128【解析】（1）設拋物線上任一點為，由可得答案.（2）由題意可知，的斜率k存在且不為0,設出其方程并與拋物線方程聯立，得出韋達定理，從而得出弦長的表達式，同理得出弦長的表達式，進而得出四邊形AMBN面積的不等式，從而求出其最小值.【小問1詳解】設拋物線上任一點為，則，所以當時，，又∵，∴，即所以拋物線C的