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文檔簡介
2025屆天津市六校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、3.方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿足()A. B. C. D.4.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.5.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb6.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點(diǎn),,是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.7.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時(shí),的值為()A. B. C. D.8.2019年10月1日,中華人民共和國成立70周年,舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行,拼成一個(gè)6位數(shù),則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為A.96 B.84 C.120 D.3609.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點(diǎn),過的平面與棱、、分別交于、、,設(shè)三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,10.如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.11.已知點(diǎn)、.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則()A.45 B.42 C.25 D.36二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為銳角,若,則的值為____________.14.已知的終邊過點(diǎn),若,則__________.15.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.16.如圖,已知扇形的半徑為1,面積為,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為,已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:.18.(12分)已知函數(shù),.(1)若,,求實(shí)數(shù)的值.(2)若,,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2)的角的對(duì)邊分別為且,,求邊上的高的最大值.21.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點(diǎn),且,的平分線交于點(diǎn),求線段的長.22.(10分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
與中間值1比較,可用換底公式化為同底數(shù)對(duì)數(shù),再比較大?。驹斀狻?,,又,∴,即,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查冪和對(duì)數(shù)的大小比較,解題時(shí)能化為同底的化為同底數(shù)冪比較,或化為同底數(shù)對(duì)數(shù)比較,若是不同類型的數(shù),可借助中間值如0,1等比較.2、A【解析】
設(shè),利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意,設(shè),則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.3、D【解析】
由題設(shè)中所給的定義,方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對(duì)于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..4、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知,ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱,C選項(xiàng)不是三棱柱展開圖.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】試題分析:對(duì)于選項(xiàng)A,,,,而,所以,但不能確定的正負(fù),所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B,,,兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向,所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.6、B【解析】
根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,由圖象可知選B.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、B【解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8、B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0開頭的排列數(shù)共個(gè),其中含有2個(gè)10的排列數(shù)共個(gè),所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選B.9、A【解析】
設(shè),取與重合時(shí)的情況,計(jì)算出以及的值,利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè),延長到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除B、D選項(xiàng);因?yàn)?,,此時(shí),,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.10、D【解析】
先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,即,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則,解得,另一方面,由點(diǎn)到直線的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.12、D【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
∵為銳角,,∴,∴,,故.14、【解析】
】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過點(diǎn),若,.即答案為-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
本題首先可以根據(jù)將化簡為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng),即、時(shí)取等號(hào),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.16、【解析】
根據(jù)題意,利用扇形面積公式求出圓心角,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出,利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角,則,,所以在等腰三角形中,,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)由已知可得,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí),由,可求,時(shí),由,可證,驗(yàn)證時(shí),不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,綜上,由可得遞增,,時(shí);所以,綜上:故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和公式,屬于難題.18、(1)1(2)【解析】
(1)求得和,由,,得,令,令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性,分類討論,即可求解.解法二:可利用導(dǎo)數(shù),先證明不等式,,,,令(),利用導(dǎo)數(shù),分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因?yàn)?,所以在單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故方程①有且僅有唯一解,實(shí)數(shù)的值為1.(2)解法一:令(),則,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;故.令(),則.(i)若時(shí),,在單調(diào)遞增,所以,滿足題意.(ii)若時(shí),,滿足題意.(iii)若時(shí),,在單調(diào)遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以,即.變形得,,所以時(shí),,所以當(dāng)時(shí),.又由上式得,當(dāng)時(shí),,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;故.(ii)若時(shí),,在單調(diào)遞增,所以.因此,①當(dāng)時(shí),此時(shí),,,則需由(*)知,,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),所以.②當(dāng)時(shí),此時(shí),,則當(dāng)時(shí),(由(*)知);當(dāng)時(shí),(由(*)知).故對(duì)于任意,.綜上述:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力,對(duì)于恒成立問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.19、(1);(2).【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,再求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得在點(diǎn)處的切線方程;(2)令,然后利用導(dǎo)數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】(1),,∴,又,∴切線方程為,即.(2)令,,①若,則在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立.②若,令,∴,易知與在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞減,,當(dāng)即時(shí),在上恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,當(dāng)即時(shí),使,∴在遞增,此時(shí),∴,∴在遞增,∴,不合題意.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時(shí)求參數(shù)的取值范圍問題,第二問的難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)后二次求導(dǎo)問題,對(duì)分類討論思想及化歸與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想要求較高,難度較大,屬拔高題.20、(1).(2)【解析】
(1)由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,得出結(jié)論.(2)由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值,可得邊上的高的最大值.【詳解】解:(1)∵函數(shù),當(dāng)時(shí),,.(2)中,,∴.由余弦定理可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即的最大值為3.再根據(jù),故當(dāng)取得最大值3時(shí),取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查降冪公式、兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)的性質(zhì),余弦定理,三角形面積公式,所用公式較多,選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙忸}關(guān)鍵,本題屬于中檔題.21、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因?yàn)樵谥?,,所以,因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因?yàn)闉橹芯€,所以,,所以,因?yàn)?,所以,所以,由?)知,所以,或,,所以,因?yàn)闉榻瞧椒志€,,,或2,所以,或,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算,余弦定理解三角形及三
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