2025屆山西省鹽湖五中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2025屆山西省鹽湖五中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.3．若離散型隨機變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.104．若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或5．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切6．青少年視力被社會普遍關(guān)注，為了解他們的視力狀況，經(jīng)統(tǒng)計得到圖中右下角名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù)．如果執(zhí)行如圖所示的算法程序，那么輸出的結(jié)果是（）A. B.C. D.7．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.28．已知函數(shù)在處取得極小值，則（）A. B.C. D.9．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.210．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.11．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.12．下列命題中正確的是A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”B.若命題，是假命題，則實數(shù)C.“”的一個充分不必要條件是“”D.命題“若，則”的逆否命題為真命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、均為正實數(shù)，且，則的最小值為___________.14．二進制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進制數(shù)為______.15．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動點P到兩定點A，B的距離之比滿足(且，t為常數(shù))，則點的軌跡為圓．已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，則P點的軌跡為圓，該圓方程為_________；過點的直線交圓于兩點，且，則_________16．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E是AD的中點，將沿BF折起至的位置，使得二面角的大小為120°（如圖2），M，N分別是，的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值19．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若的圖象在點處的切線與軸負半軸有公共點，求的取值范圍；（Ⅱ）當時，求的最值20．（12分）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°（1）求雙曲線C的標準方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標準方程21．（12分）等差數(shù)列的前項和記為，已知.（1）求的通項公式：（2）求，并求為何值時的值最大.22．（10分）如圖，在平面直角標系中，已知n個圓與x軸和線均相切，且任意相鄰的兩個圓外切，其中圓.（1）求數(shù)列通項公式；（2）記n個圓的面積之和為S，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)并結(jié)合反例，即可判斷命題真假.【詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結(jié)論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質(zhì)，可知D正確.故選：D.2、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B3、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因為，所以故選：D4、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項公式求解【詳解】解：設(shè)該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C5、C【解析】利用圓心距與半徑的關(guān)系確定正確選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，，所以兩圓相交.故選：C6、B【解析】依題意該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于的人數(shù)，結(jié)合莖葉圖判斷可得；【詳解】解：根據(jù)程序框圖可知，該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于的人數(shù)，由莖葉圖可知視力小于等于的有5人，故選：B7、A【解析】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因為平面，平面，平面，所以，，因為所以如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點到直線的距離為.故選：A8、A【解析】由導(dǎo)數(shù)與極值與最值的關(guān)系，列式求實數(shù)的值.【詳解】由條件可知，，，解得：，，檢驗，時，當，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以當時，函數(shù)取得極小值，滿足條件.所以.故選：A9、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導(dǎo)致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.10、D【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.11、C【解析】先根據(jù)題意對數(shù)據(jù)進行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因為由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C12、C【解析】．命題的否定是同時否定條件和結(jié)論；．將當成真命題解出的范圍，再取補集即可；．求出“”的充要條件再判斷即可；．判斷原命題的真假即可【詳解】解：對于A：命題“若，則”的否命題為：“若，則“，故A錯誤；對于B：當命題，是真命題時，，所以，又因為命題為假命題，所以，故B錯誤；對于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D：因為命題“若，則”是假命題，所以其逆否命題也是假命題，故D錯誤；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因、均為正實數(shù)，由基本不等式可得，整理可得，，，則，解得，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.14、13【解析】根據(jù)二進制數(shù)和十進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換方法即可求解.【詳解】.故答案為：13.15、①.②.【解析】設(shè)，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè)，則，整理得到，即.因為，故為的中點，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點，則，故，解得，故答案為：，.16、【解析】利用復(fù)數(shù)除法化簡，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構(gòu)造中位線，利用面面平行，可以證明;（2）建立空間直角坐標系，用空間向量的方法即可.【小問1詳解】證明：如圖，取ED的中點P，連接MP，NP.在平行四邊形ABCD中，因為E是AD的中點，，所以，又，所以四邊形BCDE是平行四邊形；因為M，N分別是，BC的中點，所以，.又平面，平面，所以平面，平面.因為，所以平面平面.又平面，所以平面【小問2詳解】取BE的中點O，連接，CO，CE.在圖1中，因為，所以是等邊三角形，，又四邊形ABCD等腰梯形，所以，即是等邊三角形；所以如圖，，，所以.以為原點，射線OB為x軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，則，，，，則，設(shè)平面的法向量為，，得令，則，，即，由題可知，平面BCD的一個法向量為，.由圖可知，平面與平面BDC夾角余弦值為；18、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因為M，N是DA，PD的中點，所以MN//AP，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因為四邊形ABCD為正方形，且Q為BC中點，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因為，所以面PAQ//面MNC【小問2詳解】因為PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則19、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)．求得切線方程，由切線與軸的交點在負半軸可得的范圍；（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，由的正負確定單調(diào)性，極值得最值【詳解】命題意圖本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用解析（Ⅰ）由題可知，，故可得的圖象在點處的切線方程為令，可得由題意可得，即，解得，即的取值范圍為（Ⅱ）當時，，易知在上單調(diào)遞增又，當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，無最大值【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的的最值．解題關(guān)鍵是求出導(dǎo)函數(shù)，由的正負確定單調(diào)性，得函數(shù)的極值，從而可得最值20、（1），2（2）【解析】（1）結(jié)合，聯(lián)立即得解；（2）由題意，即得解.【詳解】（1）由題意，又解得：故雙曲線C的標準方程為：，離心率為（2）由題意橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓方程為故即橢圓方程為：21、（1）；（2）當或時，的值最大.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以有，即；【小問2詳解】由（1）可知，所