高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練30平面向量的數(shù)量積

三十平面向量的數(shù)量積(時(shí)間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)如果向量a,b滿足a=1,b=2,且a⊥(ab),則a和b的夾角大小為()A.30° B.135° C.75° D.45°【解析】選D.由a⊥(ab),則a·(ab)=a2a·b=a2abcos<a,則11×2cos<a,b>=0,得cos<a,b>=22,0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°2.(5分)已知向量a,b滿足a+b=5,a-b=4,則a·bA.9 B.3 C.6 D.9【解析】選D.因?yàn)閍+b=5,所以a+b2=25,即得a2+b2又a-b=4,同理可得a2+b22a·b=16,兩式相減得4a·b=9,即a·b=3.(5分)(2023·佛山模擬)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是 ()A.(3,3) B.(3,3)C.(3,3) D.(3,3)【解析】選B.因?yàn)閍=(2,23),b=(3,1),所以a·b=2×3+23×1=43,b=(3)2+12=2,所以向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量為a·bb·4.(5分)(2023·臨滄模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,則b= (A.5 B.10 C.5 D.10【解析】選A.因?yàn)閍=(2,1),所以|a|=5,又因?yàn)閍·b=10,a+b=5所以a+b2=50,即|a|2+2a·b+|b|2=50,解得|5.(5分)(多選題)(2023·淮安模擬)已知a,b,c是平面內(nèi)三個(gè)非零向量,則下列結(jié)論正確的是 ()A.若a·c=b·c,則a=bB.若a+b=a-b,C.若a∥c,b∥c,則a∥bD.若a∥b,則a·b=a【解析】選BC.對(duì)于A,若a·c=b·c,則accos<a,c>=bccos<b,則acos<a,c>=bcos<b,c>,但cos<a,c>與cos<b,c>不一定相同,所以得不到a=b,無法得到a=b,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若a+b=平方得a2+2a·b+b2=a22a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故B正確;對(duì)于C,若a∥c,b∥c,則a∥b顯然成立,故C正確;對(duì)于D,a·b=abcos<a,ba·b=abcos<a,b>,若a∥b,則cos<a,b>=±1,若cos<a,b6.(5分)(多選題)(2023·蘇州模擬)如圖,已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,記BC=e,則 ()A.AD=2(AE+AC)B.AB·(EA+2FA)=|AB|2C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FED.AE在CB方向上的投影向量為32【解析】選BCD.正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,對(duì)于A,連接CE交AD于O,則△ACE為正三角形,且O為CE的中點(diǎn),AE+AC=2AO,而AD=2,OD=EDsin30°=12,則AO=32,|AE+AC|=2|AO|=3>|所以AD≠2(AE+AC),A不正確;對(duì)于B,AB⊥AE,∠BAF=120°,AB·(EA+2FA)=2AB·FA=2×1×1×cos60°=1=|AB|2,B正確;對(duì)于C,FE=BC,則有CD·FE=BC·CD,因此BC(CD·FE)=(BC·CD)FE,C正確;對(duì)于D,EF=CB=e,<AE,EF>=150°,|AE|=2|AF|cos30°=3,向量AE在CB方向上的投影向量為|AE|cos<AE,CB>·CBCB=3cos150°(e)=32D正確.7.(5分)(2023·浦東模擬)已知A,B是圓心為C,半徑為5的圓上的兩點(diǎn),且AB=5,則AC·CB=________.

【解析】由題意,得圓C的半徑為5,且AB=5,由余弦定理知,cos∠ACB=52+52-(5)22×5×5=910,所以AC·CB=CA·CB=|CA答案:458.(5分)(2023·保山模擬)已知平面向量a,b的夾角為π3,且a=1,b=2,則2ab與b的夾角是__________【解析】由平面向量a,b的夾角為π3,且a=1,b=2,可得(2ab)·b=2a·bb=2×1×2cosπ34=2,且2a-b=設(shè)向量2ab與b的夾角為θ,所以cosθ=(2a-b)·因?yàn)棣取蔥0,π],可得θ=2π3,即2ab與b的夾角為2π答案:2π9.(10分)平面內(nèi)三個(gè)向量a=(1,2),b=(1,1),c=(3,3).(1)若d=25,且d與a方向相反,求d的坐標(biāo);(2)若(a+kc)⊥(a2b),求a+kc在向量a上的投影向量的模.【解析】(1)設(shè)d=λa(λ<0),則d=λa=(λ,2λ),由d=25可得λ2+(2λ)2=25?λ(2)a+kc=(1+3k,2+3k),a2b=(3,0),由題意得3(1+3k)=0?k=13所以a+kc=(0,1),所以a+kc在向量a上的投影向量的模為(a+kc)·a【加練備選】1.(2023·大慶模擬)已知向量a,b滿足a=2,b=(1,1),a·b=2,則sin<a+b,b>= ()A.12 B.22 C.32【解析】選D.由(a+b)·b=a·b+b2=2+2=0,則cos<a+b,b>=(a由<a+b,b>∈[0,π],則<a+b,b>=π2,故sin<a+b,b>=12.(多選題)已知a=b=a+b=1,下述結(jié)論正確的是 (A.a-b=3 B.(a+b)·bC.<ab,b>=π6 D.(a2b)·a【解析】選AB.因?yàn)閍=b=a+所以a+b2=a2+2a·b+b2=1?a·b=12?<a,對(duì)于A項(xiàng),a-b2=a22a·b+b2=3?a-b對(duì)于B項(xiàng),(a+b)·b=a·b+b2=12,B正確對(duì)于C項(xiàng),cos<ab,b>=(a-b)·ba-bb=a·b-b23=3對(duì)于D項(xiàng),(a2b)·a=a22a·b=2≠0,故D錯(cuò)誤.【能力提升練】10.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,則t=()A.6 B.5 C.5 D.6【解析】選C.c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,即9+3t+165|c|=11.(5分)已知向量a=(2,1),b=(3,1),下列說法不正確的是 ()A.與向量a方向相同的單位向量是(255,B.(a+b)⊥aC.向量a在向量b上的投影向量是102D.a+2【解析】選C.對(duì)于A,因?yàn)橄蛄縜=(2,1),b=(3,1),所以與向量a共線且方向相同的單位向量為aa=(2,1)22+12=(255,55),故A正確,不符合題意;對(duì)于B,因?yàn)閍=(2,1),b=(3,1),故a+b=(1,2),所以(a+b)·a=1×2+2=0,故(a+b)⊥a成立,故B正確,不符合題意;對(duì)于C,向量a在向量b上的投影向量是a(a·bab)·bb=2×(-3)+1×110·b=12b,故12.(5分)(多選題)(2023·鄭州模擬)蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體,它的一端是平整的六角形開口,另一端是封閉的六角菱形的底,由三個(gè)相同的菱形組成,巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形ABCDEF,下列說法正確的是 ()A.ACAE=BFB.AC+AE=2C.AD·AB=|AB|2D.EC在AB上的投影向量為3【解析】選CD.對(duì)A,ACAE=EC,顯然由題圖可得EC與BF為相反向量,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,由圖易得AE=AC,直線AD平分∠EAC,且△ACE為正三角形,根據(jù)平行四邊形法則有AC+AE=2AH,與AD共線且同方向,易知△EDH,△AEH均為含π6角的直角三角形,故EH=3AH=3EH=3DH,則AD=4DH,而2AH=6DH,故2AHAD故AC+AE=32AD,故B錯(cuò)誤;對(duì)C,因?yàn)椤螧CD=∠ABC=AB=BC=DC,所以∠BDC=∠DBC=π6,則∠ABD=π又因?yàn)锳D∥BC,所以∠DAB=π3,AD=2ABAD·AB=ADABcosπ3=2AB2×12=AB2對(duì)D,連接AE,作CG垂直AB所在直線,垂足為G,記AB=m,由C選項(xiàng)可知EA⊥AB,所以EC在AB上的投影向量為AG,易知在Rt△BCG中,∠CBG=π3,BC=m,所以BG=12m,所以AG=3故AG=32AB,故D13.(5分)(2023·寧德模擬)在平行四邊形ABCD中,已知DE=12EC,BF=AE=2,AF=6,則AC·BD=__________.

【解析】設(shè)AB=a,AD=b,由DE=12EC,BF=12FC,可得AE=AD+DE=1AF=AB+BF=a+13b,又因?yàn)锳E=2,AF=6所以AE2=(13a+b)2=19a2+b2+23a·b=2,AF2=(a+13b)2=兩式相減得到89a289b2=4,可得a2b2=又由AC=a+b,BD=ba,所以AC·BD=(a+b)·(ba)=b2a2=92答案:9【加練備選】已知△OAB中,OA=1,OB=2,OA·OB=1,過點(diǎn)O作OD垂直AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E滿足OE=12ED,則EO·EA的值為【解析】OA·OB=1×2×cos<OA,OB>=2cos<OA,OB>=1,cos<OA,OB>=12由于0≤<OA,OB>≤π,所以<OA,OB>=2π3.AB=12+S△OAB=12×7×OD=12×1×2×sin2π3,OD=37,由于OE=12ED,所以O(shè)E=ED=37×23=221,DA=12-(37)所以cos∠OEA=1212+4212-122×121×421=12答案:214.(10分)(2023·滁州模擬)已知平面向量a,b是單位向量,且a⊥(a2b).(1)求向量a,b的夾角;(2)若ab=(12,32),向量c與向量ab共線,且|c|=|a+b|,求向量【解析】(1)因?yàn)閍⊥(a2b),所以a·(a2b)=a22a·b=0,又因?yàn)閍,b是單位向量,設(shè)a與b的夾角為θ,所以a·(a2b)=a22a·b=12cosθ=0,解得cosθ=12又θ∈[0,π],所以θ=π3(2)因?yàn)閨c|=|a+b|,所以|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=3,即|c|=3.設(shè)c=(x,y),則有|c|=x2+y2=3,因?yàn)橄蛄縞與向量所以32x=12y,解得y=3x,聯(lián)立兩式解得:x=所以c為(32,32)或(32,15.(10分)(2023·蘇州模擬)已知△ABC中,AB=2,AC=3,BP=13BC,Q是邊AB(含端點(diǎn))(1)若AQ=25AB,O點(diǎn)為AP與CQ的交點(diǎn),請(qǐng)用AB,AC表示(2)若點(diǎn)Q使得AP⊥CO,求cos∠BAC的取值范圍.【解題指南】(1)由已知得AP=23AB+13AC,再由A,O,P三點(diǎn)共線,令A(yù)O=λAP,由AQ=25AB得AO=5λ3AQ+λ3AC,然后由(2)由(1)中信息,設(shè)AQ=tAB(0≤t≤1),則CQ=tABAC,再由垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律,求出cos∠BAC,借助函數(shù)的單調(diào)性求解作答.【解析】(1)因?yàn)锽P=13BC,所以AP=23AB+13AC.又A所以有λ∈R,AO=λAP=2λ3AB+λ3AC,又AB=52AQ,即有AO=5λ3AQ+λ3AC,而C,O,Q三點(diǎn)共線,于是5λ3+(2)由(1)知,AP=13AC+23AB,而CQ=AQAC,設(shè)AQ=tAB(0≤t≤1),則CQ=由AP⊥CO,得AP·CQ=0,即(13AC+23AB)·(整理得t3AC·AB13AC2+23tAB223AC·AB=0,于是cos∠BAC=3-83t2(t-2)=-83(t-2)-732(t-2)=4376(t-2),顯然函數(shù)y【加練備選】如圖,設(shè)△ABC中的∠BAC,∠ABC,∠ACB所對(duì)的邊是a,b,c,AD為∠BAC的平分線,已知AB=1,AD=34AB+14AC,ABAB·ACAC=12,點(diǎn)E,F分別為邊AB,AC上的動(dòng)點(diǎn),線段EF交AD于點(diǎn)G,且(1)求邊BC的長(zhǎng)度;(2)設(shè)AG=kAD,AE=λAB,AF=μAC,當(dāng)AG·EF=4528時(shí),求k的值【解題指南】(1)由ABAB·ACAC=12,可得∠BAC=π3,過D分別作DN∥AB,交AB,AC于點(diǎn)M,N,由平行線分線段成比例可得AMAB=34,ANAC進(jìn)而可得BDDC=ABAC=BMAM=13,結(jié)合余弦定理可得a2=b2+c22bccos∠(2)由△AEF的面積是△ABC面積的一半,可得λμ=12①,由E,F,G三點(diǎn)共線,得k=2由AG·EF=4528,得27μ-9λ12μ+4【解析】(1)由ABAB·ACAC=12,得cos∠BAC=12,又因?yàn)椤螧AC∈(0,π),所以∠又因?yàn)锳D=34AB+14AC,過D分別作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于點(diǎn)所以AMAB=34,ANAC=14,所以BDDC=ABAC=BMAM=1又因?yàn)閍2=b2+c22bccos∠BAC=7,所以BC=a=7;(2)因?yàn)锳G=kAD,AE=λAB,AF=μAC(0≤λ,μ,k≤1),△AEF的面積是△ABC面積的一半,所以12|AE|·|AF|sin∠BAC=12×12|AB|·|