廣東省惠州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

惠州市20232024學(xué)年第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上.2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)在（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列命題中正確的是（）A.零向量沒有方向 B.共線向量一定是相等向量C.若為實(shí)數(shù)，則向量與方向相同 D.單位向量的模都相等3.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（）A.32，90 B.32，92 C.30，90 D.30，924.已知向量，，則向量在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.5.某校有小學(xué)生、初中生和高中生，其人數(shù)比是，為了解該校學(xué)生的視力情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為的樣本，已知樣本中高中生的人數(shù)比小學(xué)生的人數(shù)少20，則（）A.100 B.120 C.200 D.2406.設(shè)，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，則7.擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積是偶數(shù)”．那么下列結(jié)論正確的是（）A.與是對立事件 B.與是互斥事件C.與是相互獨(dú)立事件 D.與是相互獨(dú)立事件8.已知直三棱柱的體積為8，二面角的大小為，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為 B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等 D.三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小10.設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確有（）A.若，則B.對任意復(fù)數(shù)，，有C.對任意復(fù)數(shù)，，有D.在復(fù)平面內(nèi)，若，則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為11.在中，角所對的邊分別是，，，下列命題正確的是（）A.若，，則面積的最大值為B.若，，則面積的最大值為C.若，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則D.若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積最大值為三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.甲、乙兩人獨(dú)立的解同一道題，甲、乙解對題的概率分別是、，那么恰好只有1人解對題的概率是________.13.已知頻率分布直方圖如圖所示，記其平均數(shù)為，中位數(shù)為，則與的大小關(guān)系為________.14.如圖，已知在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，，，，.當(dāng)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐體積為________；當(dāng)三棱錐的外接球的半徑最小時(shí)，直線與所成角的余弦值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，已知，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，設(shè)，.（1）用向量，表示；（2）若，求.16.已知有下面三個(gè)條件：①；②；③；請從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問題：在中，角所對的邊分別是，，，且________.（1）求角A的大小；（2）若是的角平分線，且，，求線段的長.17.為了研究學(xué)生每天總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯題情況，某課題組在我市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時(shí)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績在110分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯題視為“經(jīng)?？偨Y(jié)整理”，少于4天視為“不經(jīng)常總結(jié)整理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯題的學(xué)生占70%.

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常總結(jié)整理

不經(jīng)?？偨Y(jié)整理

合計(jì)

（1）根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全表格；（2）求圖1中m的值及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的第65百分位數(shù)；（3）抽取100名學(xué)生中按“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯題”與“不經(jīng)常總結(jié)整理錯題”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談；求這2名同學(xué)均來自“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯題”的概率.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，面面，是的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，說明理由.19.將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率.（1）求（2）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.（3）令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值.惠州市20232024學(xué)年第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上.2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，即可求解對應(yīng)的點(diǎn)為，進(jìn)而得解.【詳解】,故對應(yīng)的點(diǎn)為，故對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C2.下列命題中正確的是（）A.零向量沒有方向 B.共線向量一定是相等向量C.若為實(shí)數(shù)，則向量與方向相同 D.單位向量的模都相等【答案】D【解析】【分析】對于A：根據(jù)向量以及零向量的定義分析判斷；對于BC：舉反例說明即可；對于D：根據(jù)單位向量的定義分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)向量的定義可知：任意向量均有方向，且規(guī)定零向量的方向是任意的，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：例如，是非零向量，可知是共線向量但不是相等向量，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：例如是非零向量，且，可知向量與方向相反，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：根據(jù)定義可知：單位向量的模均為1，所以單位向量的模都相等，故D正確；故選：D.3.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（）A.32，90 B.32，92 C.30，90 D.30，92【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是10，方差是10，所以的平均數(shù)是，方差是.故選：A4.已知向量，，則向量在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式可得.【詳解】根據(jù)題意得，所以向量在方向上的投影向量為，故選：C.5.某校有小學(xué)生、初中生和高中生，其人數(shù)比是，為了解該校學(xué)生的視力情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為的樣本，已知樣本中高中生的人數(shù)比小學(xué)生的人數(shù)少20，則（）A.100 B.120 C.200 D.240【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣求樣本中高中生和小學(xué)生的人數(shù)，列式求解即可.【詳解】由題意可知：樣本中高中生的人數(shù)為，小學(xué)生的人數(shù)為，則，解得.故選：B.6.設(shè)，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】D【解析】【分析】對于ABC：以正方體為載體，舉反例說明即可；對于D：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于正方體，且分別為的中點(diǎn)，對于選項(xiàng)A：例如平面，平面，，但平面∥平面，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：例如∥平面，平面，但，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：例如平面，且均與平面平行，但平面平面，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：若，，由線面垂直的性質(zhì)可知，故D正確；故選：D.7.擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積是偶數(shù)”．那么下列結(jié)論正確的是（）A.與是對立事件 B.與是互斥事件C.與是相互獨(dú)立事件 D.與是相互獨(dú)立事件【答案】D【解析】【分析】選項(xiàng)A和B，根據(jù)條件，利用互斥事件的概念，即可判斷出選項(xiàng)A和B的正誤；選項(xiàng)C和D，利用相互獨(dú)立的判斷方法，計(jì)算各自發(fā)生的概率及同時(shí)發(fā)生的概率，即可判斷出正誤，從而得出結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)閿S兩顆骰子，兩個(gè)點(diǎn)數(shù)可以都是偶數(shù)，也可以都是奇數(shù)，還可以一奇一偶，即一次試驗(yàn)，事件和事件可以都不發(fā)生，所以選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)榧磧蓚€(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)，即與可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，又，所以，故選項(xiàng)C錯誤，對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.8.已知直三棱柱的體積為8，二面角的大小為，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二面角的定義，找到二面角的平面角，解得，再根據(jù)直三棱柱的體積求出，再利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，，則二面角的平面角為，二面角的大小為，則，所以，，又直三棱柱的體積為8，，則，，又平面平面，平面平面，且平面，平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，又，，解得，故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為 B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等 D.三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式一一計(jì)算可得；【詳解】解：依題意球的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以AC選項(xiàng)正確．圓錐的側(cè)面積為，所以B選項(xiàng)正確．圓錐的表面積為，圓柱表面積為，所以D選項(xiàng)不正確．故選：ABC10.設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）A.若，則B.對任意復(fù)數(shù)，，有C.對任意復(fù)數(shù)，，有D.在復(fù)平面內(nèi)，若，則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為【答案】BC【解析】【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對A：由，故，故，故A錯誤；對B：設(shè)、，則，，故，故B正確；對C：設(shè)、，有，則，，故，故C正確；對D：設(shè)，則有，集合M所構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，半徑為的圓，故，故D錯誤.故選：BC.11.在中，角所對的邊分別是，，，下列命題正確的是（）A.若，，則面積的最大值為B.若，，則面積的最大值為C.若，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則D.若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值為【答案】AD【解析】【分析】對于AB：利用余弦定理結(jié)合基本不等式求的最大值，進(jìn)而可得面積的最大值；對于C：利用余弦定理分析可得：關(guān)于c的方程有2個(gè)不相等的正根，結(jié)合二次方程列式求解；對于D：利用余弦定理可得，再利用基本不等式求內(nèi)切圓半徑的最大值，即可得結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A：由余弦定理可得，即，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以面積的最大值為，故A正確；對于選項(xiàng)B：由余弦定理可得，即，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以面積的最大值為，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：由余弦定理可得，即，整理可得，由題意可知：關(guān)于c的方程有2個(gè)不相等的正根，則，解得，且，可得，故C錯誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，則，整理可得，注意到，則，即，可知，且，則該三角形內(nèi)切圓半徑.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，可得，所以該三角形的內(nèi)切圓面積的最大值是，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問題的關(guān)注點(diǎn)（1）根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；（2）結(jié)合內(nèi)角和定理、面積公式等，靈活運(yùn)用三角恒等變換公式；（3）對于最值問題，常常利用基本不等式或三角函數(shù)分析求解.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.甲、乙兩人獨(dú)立的解同一道題，甲、乙解對題的概率分別是、，那么恰好只有1人解對題的概率是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)對立事件結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)甲、乙解對題分別為事件A，，則，可得所以恰好只有1人解對題的概率.故答案為：.13.已知頻率分布直方圖如圖所示，記其平均數(shù)為，中位數(shù)為，則與的大小關(guān)系為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的“拖尾”情況分析平均數(shù)與中位數(shù)的大小.【詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖在右側(cè)“拖尾”，可知平均數(shù)大于中位數(shù)，即.故答案為：.14.如圖，已知在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，，，，.當(dāng)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐體積為________；當(dāng)三棱錐的外接球的半徑最小時(shí)，直線與所成角的余弦值為________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】在中，由余弦定理，可得，再求出，再用面積公式求的面積，體積公式求三棱錐體積即可；作出輔助線，推導(dǎo)出當(dāng)取最小值時(shí)，最小，即最小，此時(shí)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則是的中點(diǎn)，則是棱的中點(diǎn)，進(jìn)而求出各邊長，得到【詳解】因?yàn)?，，，所以在中，由余弦定理，得，所以，所以，所以；作，垂足為，作，垂足為，易知棱在平面上的射影為，則點(diǎn)在平面上的射影在線段上，因?yàn)椋?，解得，故，則，設(shè)的中點(diǎn)為，外接球的球心為，半徑為，則平面，即，在中，①，又因?yàn)棰谟散佗冢傻?，所以?dāng)取最小值時(shí)，最小，即最小，此時(shí)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則是的中點(diǎn)，則是棱的中點(diǎn).因?yàn)?，所以直線與所成角即為直線與所成角.因?yàn)?，再由余弦定理，得，因?yàn)?，所?故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析得當(dāng)三棱錐的外接球的半徑最小時(shí)，為棱的中點(diǎn)，從而得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，已知，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，設(shè)，.（1）用向量，表示；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式結(jié)論可解；（2）將用基底表示出來，再用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可解.【小問1詳解】如圖所示，，所以，所以.【小問2詳解】點(diǎn)為線段中點(diǎn)，用三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式結(jié)論得，由（1）知，則，,則.則.16.已知有下面三個(gè)條件：①；②；③；請從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問題：在中，角所對的邊分別是，，，且________.（1）求角A的大?。唬?）若是的角平分線，且，，求線段的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇①：利用三角形的面積公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得，得到，即可求解；選擇②：由正弦定理化簡得到，得到，即可求解；選擇③，化簡得到,即，由余弦定理求得，即可求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合，列出方程，即可求解.【小問1詳解】選擇①：由，可得，即，即，因?yàn)?，所以；選擇②：因?yàn)棰?，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得，所以，即，可得，因?yàn)椋傻?，所以；選擇③：由，可得,又由正弦定理得，再由余弦定理得，因?yàn)椋?【小問2詳解】若是的角平分線，則，且，即，解得17.為了研究學(xué)生每天總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯題情況，某課題組在我市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時(shí)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績在110分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯題視為“經(jīng)常總結(jié)整理”，少于4天視為“不經(jīng)?？偨Y(jié)整理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯題的學(xué)生占70%.

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)?？偨Y(jié)整理

不經(jīng)常總結(jié)整理

合計(jì)

（1）根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全表格；（2）求圖1中m的值及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的第65百分位數(shù)；（3）抽取的100名學(xué)生中按“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯題”與“不經(jīng)常總結(jié)整理錯題”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談；求這2名同學(xué)均來自“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯題”的概率.【答案】（1）表格見詳解（2）；120（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)補(bǔ)全表格；（2）根據(jù)頻率和為1求得，再結(jié)合百分位數(shù)的定義列式求解；（3）分別求相應(yīng)的人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型分析求解.【小問1詳解】數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有人，不優(yōu)秀的人人，經(jīng)常整理錯題的有人，不經(jīng)常整理錯題的是人，經(jīng)常整理錯題且成績優(yōu)秀的有人，所以表格為

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理352560不經(jīng)常整理152540合計(jì)5050100【小問2詳解】由題意可知每組頻率依次為，則，解得；因?yàn)椋?，設(shè)第65百分位數(shù)為，可知，則，解得，所以學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的第65百分位數(shù)為120.【小問3詳解】由題意可知：樣本中“經(jīng)常總結(jié)整理錯題”的人數(shù)為，設(shè)為，“不經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯題”的人數(shù)為，設(shè)為，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則樣本空間，可知，設(shè)這2名同學(xué)均來自“經(jīng)常總結(jié)整理錯題”為事件M，則，即，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，面面，是的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)，連接，利用三角形的中位線定理可得∥，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由面面垂直的性質(zhì)可證得平面，則，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，然后由線面垂直的判定可得平面，則直線與平面所成角為，從而可求得答案；（3）當(dāng)時(shí)