江蘇省南京市玄武區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研八年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁，全卷滿分100分，考試時(shí)間為100分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．2．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號(hào)是否與本人相符合，再將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效．4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、選項(xiàng)中的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；B、選項(xiàng)中的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；C、選項(xiàng)中的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；D、選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：D．2.估計(jì)的值在（）A.2到3之間 B.3到4之間 C.4到5之間 D.5到6之間【答案】B【解析】【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，用夾逼法估算即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴的值在3到4之間，故選：B．3.下列各組數(shù)中，能夠組成直角三角形的是（）A.3，4，5 B.4，5，6 C.5，6，7 D.6，7，8【答案】A【解析】【詳解】解：A、∵32+42=9+16=25；52=25，∴32+42=52，則此選項(xiàng)線段長(zhǎng)能組成直角三角形；B、∵42+52=16+25=41；62=36，∴42+52≠62，則此選項(xiàng)線段長(zhǎng)不能組成直角三角形；C、∵52+62=25+36=61；72=49，∴52+62≠72，則此選項(xiàng)線段長(zhǎng)不能組成直角三角形；D、∵62+72=36+49=85；82=64，∴62+72≠82，則此選項(xiàng)線段長(zhǎng)不能組成直角三角形故選：A．4.如圖，在中，，垂直平分．若，，則的周長(zhǎng)是（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，先利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后利用等量代換可得的周長(zhǎng)，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∵，∴的周長(zhǎng)，故選：B．5.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A.三邊高線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)到線段兩端的距離相等，即可求解．【詳解】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：B6.如圖，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線，是運(yùn)用了“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”這一性質(zhì)，由作圖所得條件，判定三角形全等運(yùn)用的方法是（）A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS【答案】A【解析】【分析】易知：，，因此符合的條件．【詳解】解：連接，，由作圖知：在和中，，∴（），

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖?基本作圖，要清楚作圖時(shí)作出的線段與、與是相等的．熟練掌握三角形全等的判定條件是解答此題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，已知，，，，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，由，得，則，所以，因?yàn)?，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，故選：C．8.如圖，在中，分別以為邊作等邊三角形ABD與等邊三角形，連接與交于點(diǎn)F，連接．有以下四個(gè)結(jié)論：①；②FA平分；③；④．其中結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)利用證明可得出①正確；作于P，于Q，證明，得出，證出平分，得②正確；在上截取，連接，證明，則，可得，是等邊三角形，即可得，得④正確；由，可得，得③不正確；進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵三角形ABD與等邊三角形ACE是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，①正確；②作于P，于Q，如圖所示：∵，∴，∴，∵，，∴點(diǎn)A在的平分線上，∴FA平分，②正確；④如圖，在DF上截取，連接AO，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，④正確；③∵，，∴，即，③不正確；綜上所述：正確的結(jié)論是①②④，共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，三角形內(nèi)角和的定理等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.______，______．【答案】①.2②.【解析】【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，求一個(gè)數(shù)的立方根，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，故答案為：2，．10.直角三角形兩邊長(zhǎng)為6和8，則斜邊中線長(zhǎng)為_________．【答案】5或4##4或5【解析】【分析】根據(jù)兩種情況：6和8都為直角邊；8為斜邊，6為直角邊，得到斜邊長(zhǎng)度，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可解答．【詳解】解：當(dāng)6和8都為直角三角形的直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理可得，直角三角形的斜邊為，斜邊上的中線長(zhǎng)為；當(dāng)8為直角三角形的斜邊，6為直角三角形的直角邊時(shí)，斜邊上的中線長(zhǎng)為，綜上所述，斜邊中線長(zhǎng)為5或4，故答案為：5或4．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)情況能夠正確地分類討論是解題地關(guān)鍵．11.已知，若則的周長(zhǎng)為_______．【答案】18【解析】【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴∴的周長(zhǎng)為，故答案為：18．12.如圖，平分，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得，這個(gè)條件可以是______．（寫出一個(gè)即可）【答案】（或或)【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定方法“”即可解答．【詳解】解：∵平分，∴，①，∵，，，∴；②，∵，，，∴，③，∵，，，∴，綜上：這個(gè)條件可以是，，；故答案為：（或或）．13.如圖，在中，，，．以AC為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是______．【答案】5【解析】【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”即可解答．【詳解】解：∵，，，∴，∴正方形的面積，故答案為：5．14.如圖，在中，，，，將沿折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，則線段的長(zhǎng)為______．【答案】3【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，求出的長(zhǎng)并且證明是解題的關(guān)鍵．

由勾股定理得，由折疊得，，則，所以，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：，，，，，解得，故答案為：3．15.如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊上，若，，，則的度數(shù)為______°．【答案】72【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用等腰三角形的外角性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∵，∴，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：72．16.如圖，O為內(nèi)角平分線交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線交、于M、N，已知，，則點(diǎn)O到的距離為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)N作于點(diǎn)D，過點(diǎn)O分別作三邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F、G，根據(jù)三線合一得出，再根據(jù)勾股定理求出，即可求出，再根據(jù)結(jié)合角平分線到兩邊距離相等，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)N作于點(diǎn)D，過點(diǎn)O分別作三邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F、G，∵，，∴,根據(jù)勾股定理可得：,∴,∵O為內(nèi)角平分線交點(diǎn)，∴,設(shè)，∵,∴，即，解得：，∴,故答案為：17.在中，，，，在邊上有一點(diǎn)P，且是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的定義，根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論，畫出符合實(shí)際條件的圖形即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上或點(diǎn)P在上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上；綜上：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4，故答案為：4．18.如圖，中，，，，D、E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．

【答案】【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱-路徑最短問題，勾股定理，如圖，作D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，作D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，，推出，可得M、C、N共線，由，，可知F、E、M、N共線時(shí)，且時(shí)，的值最小，最小值，求出的值即可解決問題【詳解】解：如圖，作D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，作D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，，∵，∴，∴M、C、N共線，∵，∵，∴當(dāng)F、E、M、N共線時(shí)，且時(shí)，的值最小，最小值，∵，∴，∵，，∴∴，∴的最小值為．故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共64分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.計(jì)算：．【答案】5【解析】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，立方根的意義．利用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，立方根的意義解答即可．【詳解】解：=．20.求下列各式中x：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了根據(jù)平方根和立方根解方程，熟練掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．（1）先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，再根據(jù)平方根的定義，即可解答；（3）根據(jù)立方根的定義，兩邊同時(shí)開立方，即可解答．【小問1詳解】解：，，；【小問2詳解】解：，，．21.如圖，，，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查三角形全等判定和性質(zhì)．根據(jù)判定，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】證明：在和中，，，．22.如圖，在中，于點(diǎn)，，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積；（3）判斷的形狀．【答案】（1）（2）（3）直角三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義及勾股定理即可解答；（2）根據(jù)垂直的定義及勾股定理可知，再根據(jù)三角形的面積公式即可解答；（3）根據(jù)垂直的定義及勾股定理可知，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可解答．【小問1詳解】解：∵，∴，∵在中，，，∴，∴的長(zhǎng)為；【小問2詳解】解：∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，，∴，即面積為；【小問3詳解】解：是直角三角形，理由如下：∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∵，，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．23.證明：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．已知：如圖，平分，點(diǎn)P是任意上一點(diǎn)，，，E、F為垂足．求證：______．證明：【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)證明，即可解答．【詳解】已知：如圖，平分，點(diǎn)P是任意上一點(diǎn)，，，E、F為垂足．求證：．證明：∵平分，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．24.如圖，四邊形，，，A是邊DE上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)B．（1）求證：；（2）設(shè)三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的證明，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，找出面積相等的圖形是解決問題的關(guān)鍵．（1）先證和全等得，然后根據(jù)可得出結(jié)論；（2）由（1）可知，則，，，進(jìn)而得四邊形的面積正方形的面積，即，而，，，據(jù)此勾股定理得以證明．【小問1詳解】證明：如圖所示：，，，，，，，在和中，，，，又，．【小問2詳解】證明：由（1）可知：，，，，四邊形的面積正方形的面積，，即，，，，即，整理得：．25.過點(diǎn)P用兩種不同的方法，利用直尺和圓規(guī)作直線l，交兩邊于B、C，使得為等腰三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，尺規(guī)作圖；方法一：作的角平分線，過點(diǎn)P作的垂線，交兩邊于B、C，即為所求；取上任意點(diǎn)E，作；取上任意點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)至H；作，交兩邊于B、C，即為所求．【詳解】解：方法一：作的角平分線，過點(diǎn)P作的垂線，交兩邊于B、C，即為所求；∵平分，，∴，則為等腰三角形；方法二：取上任意點(diǎn)E，作；取上任意點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)至H；作，交兩邊于B、C，即為所求；∵，∴，∴，∴，則為等腰三角形．26.通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：【模型理解】（1）如圖①，，共頂點(diǎn)A，，，，連．由，得．又，，可以推理得到，進(jìn)而得到______，______．【問題研究】（2）小明同學(xué)在思考完上述問題后，解決了下面的尺規(guī)作圖問題．如圖②，已知直線a、b及點(diǎn)P，a與b不平行．作等腰直角，使得點(diǎn)A、B分別在直線a、b上．小明同學(xué)作法簡(jiǎn)述如下：如圖③，過點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)D，以P為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，過點(diǎn)E作，交b于點(diǎn)B，在a上截取，連．即為所要求作的等腰直角三角形．請(qǐng)證明小明的作法是正確的．【深入研究】小明同學(xué)經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：在上題條件下，也能作出等邊，使得點(diǎn)A、B分別在直線a、b上．（3）請(qǐng)你簡(jiǎn)述作法，并在