專題訓(xùn)練：三角形全等的五種常見(jiàn)類型（解析版）

三角形全等的常見(jiàn)類型題型01全等三角形在證明線段和角相等中的應(yīng)用【典例分析】【例1】（23-24八年級(jí)上·河北廊坊·期中）在四邊形中，，，E為的中點(diǎn)，連接，，．

（1）；（填“”“”或“”）（2）．【答案】3【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，得到，即可。（2）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，證明，得出，，求出，證明，得出．本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線定義，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形。【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，如圖所示：

∵，∴，∴，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：3【例1-2】.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求證：∠A=∠D．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】連接AC，證明△ABC≌△DCB(SAS)，得出BD=AC，再證，即可△ABD≌△DCA(SSS)．【詳解】連接AC，BD在△ABC與△DCB中，{AB=CD∴△ABC≌△DCB(SAS)，BD=AC，在△ABD與△DCA中，{AB=DC∴△ABD≌△DCA(SSS)，∴∠BAD=∠CDA．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，掌握全等三角形性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【變式演練】【變式1-1】.如圖，在△ABC中，∠B=∠C，在邊BC上順次取點(diǎn)D，E，使BD=CE．作FD⊥BC，GE⊥BC，分別與CA，BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，G．求證：GB=FC．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)BD=CE推出BE=CD，根據(jù)FD⊥BC，GE⊥BC，得出∠GEB=∠FDC=90°，結(jié)合∠B=∠C，利用ASA證明△BEG≌△CDF，即可得出GB=FC，熟練掌握利用ASA證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵BD=CE，∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD，∵FD⊥BC，GE⊥BC，∴∠GEB=∠FDC=90°，在△BEG和△CDF中，∠B=∠CBE=CD∴△BEG≌△CDFASA∴GB=FC．【變式1-2】．（2023八年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）如圖，在△ABF與△DCE中，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求證：∠A=∠D．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．由“HL”可證Rt△ABF≌【詳解】證明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在Rt△ABF和RtAF=DEBF=CE∴Rt∴∠A=∠D．【變式1-3】（23-24八年級(jí)上·廣東陽(yáng)江·期末）如圖1，已知：，點(diǎn)A、B在的邊上，，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作，且，作，垂足為F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，證明：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，作點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，與直線交于點(diǎn)H，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能熟練應(yīng)用三角形全等證明線段相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“同角的余角相等”證明，再根據(jù)“AAS”證明即可；（2）類比（1）的方法證明即可；（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用“ASA”證明即可得證．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，在和中，，．（2）解：結(jié)論成立．，，，，，，，，在和中，，，．（3）證明：如圖：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，又E、關(guān)于直線對(duì)稱，，，、、三點(diǎn)共線，由（2）可得，，，，即，，，，，，在和中．題型02全等三角形在證明線段的和差關(guān)系中的應(yīng)用【典例分析】【例2-1】（22-23八年級(jí)上·廣東潮州·階段練習(xí)）在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析，見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）由已知推出，因?yàn)椋?，推出，根?jù)即可得到答案；由得到，，即可求出答案；（）與（）證法類似可證出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案，本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的余角相等，垂直的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴；證明：由（）知：，∴，，∵，∴；（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴．【例2-2】（23-24八年級(jí)上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知四邊形中，，點(diǎn)在邊上，連接，．(1)如圖1，若平分，求證：；(2)如圖2，若為中點(diǎn)，求證：平分．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作的垂線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于，利用證明，得到，再利用證明，得到，即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)作于，利用證明，得到，再利用證明，得到，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，則，在和中，，，，平分，，在和中，，，，；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，則，在和中，，，，為中點(diǎn)，，，在和中，，，，平分【變式演練】【變式2-1】已知：D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；（2）如圖②，若，請(qǐng)判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【詳解】（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）DE＝BD＋CE．理由如下：如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．【變式2-2】（2023秋?樂(lè)亭縣期中）已知，在中，，，，三點(diǎn)都在直線上，且，（1）如圖①，若，則與的數(shù)量關(guān)系為，與的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線段，與的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持，，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．是否存在，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得，再利用證明，得，；（2）由（1）同理可得，得，，可得答案；（3）分或兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決問(wèn)題．【解答】解：（1），，，，，，，，故答案為：，；（2），由（1）同理可得，，，；（3）存在，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，綜上：或．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．【變式2-3】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），且．

(1)連接交于點(diǎn)，設(shè)．①當(dāng)時(shí)，如圖1，則______．②當(dāng)時(shí)，如圖2，若，求的長(zhǎng)．(2)如圖3，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．【答案】(1)①；②(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)條件作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）①證即可求解；②過(guò)點(diǎn)作于，證，再證，可求．（2）在上截取，連證，再證，即可求證．【詳解】（1）解：①∵，，，∴∵∴∴∴故答案為：②過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：

∵，，∴∵，∴∵，∴∴，∵，∴∵，∴∴∴（2）解：在上截取，連，如圖所示：

∵，，，∴∴，∵，∴∵∴∵∴∴∵題型03全等三角形在證明線段的倍分關(guān)系中的應(yīng)用【典例分析】【例3】（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證：.

【答案】見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)，并交于，證，推出，證推出即可．【詳解】證明：延長(zhǎng)，并交于，

平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．【變式演練】【變式3-1】如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：CE=【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明△ABD≌△ACF(ASA)，得出BD=CF，證明△BCE【詳解】證明：如圖所示，延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F．∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF．又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF∴△ABD∴BD=CF，在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBE∴△BCE∴CE=EF，∴CE=12CF=12【變式3-2】（23-24八年級(jí)上·重慶墊江·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，,，交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：【答案】證明見(jiàn)詳解【詳解】證明：如圖延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)F交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)是的角平分線在和中，又在和中【變式3-3】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，交x軸于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)如圖2，，求證：；(3)如圖3，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，，求的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)的度數(shù)為【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定；倍長(zhǎng)中線法構(gòu)全等；（1）過(guò)A作于N，過(guò)B作于M，根據(jù)即可證明，再由全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）在x軸正半軸上截取，連接，則，先證，由全等三角形的性質(zhì)和同角的補(bǔ)角相等可證，再證，得，進(jìn)而可證；（3）過(guò)A作軸于P，軸于T，交x軸于Q，先證，可得，再證，可得，進(jìn)而可得，再由互余關(guān)系求解即可．【詳解】（1）證明：過(guò)A作于N，過(guò)B作于M，則，，，在和中，，，，（2）在x軸正半軸上截取，連接，則，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（3）過(guò)A作軸于P，軸于T，交x軸于Q，，，軸，，軸，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，題型04全等三角形在證明線段位置關(guān)系中的應(yīng)用【典例分析】【例4】（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，，，，，圖中、有怎樣的數(shù)量與位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】，；證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，首先根據(jù)已知可證得，再根據(jù)全等三角形的判定定理，即可證得，可得，，據(jù)此可證得．【詳解】解：，，理由如下：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，在與中，，，，，，，【變式演練】【變式4-1】（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．

(1)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)寫(xiě)出線段與的位置關(guān)系，并證明．【答案】(1)，見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)至H，使，連接．證明．得到，推出．再證明，得到，由此得到結(jié)論．（2）由得到，推出，進(jìn)而得到，證得．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)至H，使，連接．

∵F是的中點(diǎn)，∴．在和中，∴．∴，∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．（2）．證明：∵，∴．∵，，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線法正確三角形全等，正確掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵【變式4-2】（22-23八年級(jí)下·江西景德鎮(zhèn)·期中）如圖在中，為銳角，點(diǎn)D在射線上，以為一邊在右側(cè)作正方形．

(1)如果，，①當(dāng)點(diǎn)D在線段(不含端點(diǎn))上時(shí)，如圖1，則線段與的位置關(guān)系是_____②當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立?并說(shuō)明理由．(2)如果，是銳角，點(diǎn)D在線段(不含端點(diǎn))上，如圖3．當(dāng)滿足什么條件時(shí)，？并說(shuō)明理由．【答案】(1)①；②、①中的結(jié)論仍然成立，詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再證明，得出，進(jìn)而可得出結(jié)論；②先證明，再證明，得出，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，，作，先證明，再得出，證明，得出，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】（1）①正方形中，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即．故答案為：；②、①中的結(jié)論仍然成立，證明如下：∵，∴，.即，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，作，

∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法是解答本題的關(guān)鍵【變式4-3】（23-24八年級(jí)上·廣東惠州·期中）綜合探究：如圖1，是等腰三角形，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，在上截取，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P；

(1)求證：；(2)求證：．(3)如圖2，將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，是否還與全等？那么與的位置關(guān)系是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，不發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．掌握全等三角形的判定定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．（1）由條件推出，即可求證；（2）由推出，即可求證；（3）根據(jù)證即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，在和中，∴（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴（3）解：，不發(fā)生變化，理由如下：∵，，∴，∴，∴∵∴∵，∴，∵，∴，∴題型05全等三角形在求角的度數(shù)中的應(yīng)用【典例分析】【例5-1】（22-23八年級(jí)上·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，，和分別平分和，和相交于．（1）的度數(shù)為．（2）若，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】/120度8【分析】（1）利用，角平分線的定義，即可得出答案；（2）由題中條件可得，進(jìn)而得出，通過(guò)角之間的轉(zhuǎn)化可得出，進(jìn)而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），，分別平分，，；故答案為：；（2）如圖，在上截取，連接．

平分，在和中，，，，，，在和中，，，，．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)在上截取，得出是解題關(guān)鍵【例5-2】（23-24八年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）已知：如圖，，，．

(1)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，即可．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和為，，求出的角度，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出，根據(jù)全等三角形的判定，則，則，最后根據(jù)是三角形的外角和，即可；（2）由（1）得，根據(jù)全等三角形的判定，即可．【詳解】（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∵．（2）由（1）得，，在和中，，∴【變式演練】【變式5-1】（22-23八年級(jí)上·河北唐山·期中）如圖，已知：，，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】先證得到，結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系求解即可得到答案；【詳解】解：在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，答：；【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形全等得到角度關(guān)系．【變式5-2】（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，已知為的角平分線，延長(zhǎng)到E，使得，連接，若，且．(1)求證：平分；(2)求的取值范圍；(