模型訓(xùn)練：全等三角形基本模型（原卷版）

全等三角形基本模型訓(xùn)練全等模型一一線三等角模型例題：【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、△CAF的外角．若，，求證：△ABE≌△CAF．【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級上·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，是經(jīng)過頂點(diǎn)C的一條直線，，E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上．①如圖1，若，，試判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖2，若，請?zhí)砑右粋€關(guān)于α與關(guān)系的條件，使①中的條件仍然成立，并說明理由．(2)如圖3.若直線經(jīng)過的外部，，請?zhí)岢鲫P(guān)于，，三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并說明理由．2．（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）（1）如圖①，已知：中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，于，于，求證：；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且，為任意銳角或鈍角，請問結(jié)論是否成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線與的延長線交于點(diǎn)，若，的面積是，求與的面積之和．全等模型二三垂直模型例題：通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到結(jié)論：_____，_____．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)，求證：．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·吉林遼源·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到①的位置時，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到②的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到③的位置時，試問、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系，不需要證明．2．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進(jìn)行操作活動，探究有關(guān)線段之間的關(guān)系問題情境：如圖1，三角形紙片中，，.將點(diǎn)C放在直線上，點(diǎn)A，B位于直線的同側(cè)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D初步探究：(1)在圖1的直線上取點(diǎn)E，使，得到圖2，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)小穎又拿了一張三角形紙片繼續(xù)進(jìn)行拼圖操作，其中，.小穎在圖1的基礎(chǔ)上，將三角形紙片的頂點(diǎn)P放在直線上，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，過點(diǎn)N作于點(diǎn)H.如圖3，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由3．（23-24七年級下·云南昆明·期末）綜合與實(shí)踐：(1)【問題情境】在綜合與實(shí)踐課上，何老師對各學(xué)習(xí)小組出示了一個問題：如圖1，，，，，垂足分別為點(diǎn)，．請證明：．(2)【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，，，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，連接，作且，連接交于點(diǎn)．若，，請證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)．(3)【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)提出問題：如圖3，，，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，連接，作且，連接交射線于點(diǎn)．若，請直接寫出的值．全等模型三旋轉(zhuǎn)型模型例題：如圖1，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點(diǎn)C放置在水平直線MN上，在中，，，試回答下列問題：（1）若把三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB∥MN時，度；（2）在三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若，，求MN．（3）三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？請說明理由．鞏固訓(xùn)練1．如圖，和都是等腰直角三角形，．（1）猜想：如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）探究：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）拓展：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時，則的長是______．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動時，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．全等模型四倍長中線模型例題：（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，．回答下列問題：(1)求證：和是兄弟三角形．(2)取的中點(diǎn)，連接，試說明．小王同學(xué)根據(jù)要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線（點(diǎn)）倍延”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題．①請?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造，并證明．②求證：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期末）如圖，中，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接并延長交于．若，，，那么的長度為．2．（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期中）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至E，使，∵是邊上的中線，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△

CDA（依據(jù)1），∴，在中，（依據(jù)2），∴．(1)任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：．【歸納總結(jié)】上述方法是通過延長中線，使，構(gòu)造了一對全等三角形，將，，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．(2)任務(wù)二：如圖3，，，則的取值范圍是；A．； B．； C．(3)任務(wù)三：利用“倍長中線法”，解決下列問題．如圖4，中，，D為中點(diǎn)，求證：．3．（2023上·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．(2)如圖2，是的中線，，，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，D，E在邊上，且．求證：．4．（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)學(xué)活動課上，王老師提出了如下問題：如圖1，，【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過三角形全等把轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是______；方法總結(jié)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形【問題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，，下列四個選項(xiàng)中：直接寫出所有正確選項(xiàng)的序號是______．①；②；③；④【問題拓展】（3）如圖3，，，與互補(bǔ)，連接E是的中點(diǎn)，求證：；（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長交于點(diǎn)，，，則的面積是______．全等模型五截長補(bǔ)短模型例題：在四邊形中，點(diǎn)C是邊的中點(diǎn)．(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數(shù)量關(guān)系及理由；(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數(shù)量關(guān)系及理由．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·四川成都·期中）在的高、交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，求的度數(shù)；(3)如圖2，延長到點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，當(dāng)時，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．（23-24七年級下·四川達(dá)州·期末）在數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出以下題目條件：在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是直線上的一點(diǎn)，并且．請同學(xué)們在原條件不變的情況下添加條件，開展探究活動．【初步探索】（1）“興趣”小