題型突破：實數(shù)（原卷版）

第十四章實數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導圖0202知識速記一、算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)1.算術(shù)平方根的定義：如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).二、平方根的概念與性質(zhì)1.平方根的定義：如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達為，其中是的算術(shù)平方根.2.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．3.平方根的性質(zhì)三、立方根的概念1.立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.2.立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.3.立方根的性質(zhì)：4.立方根的應用：利用立方根的定義解方程和求解實際問題.四、認識無理數(shù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.五、實數(shù)概念及分類無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為無理數(shù)．實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型：（1）開不盡的方根；（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)；（3）含有π的絕大部分數(shù).六、實數(shù)與數(shù)軸每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．即實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應．0303題型歸納題型一算術(shù)平方根、平方根與立方根概念理解例題：（23-24八年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）下列說法正確的是（）A．64的平方根是8B．的立方根是C．的立方根是D．只有非負數(shù)才有立方根鞏固訓練1.（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）下列說法錯誤的是（）A．4是16的算術(shù)平方根 B．2是4的一個平方根C．的平方根是 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是02.（23-24八年級上·四川成都·階段練習）下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．的立方根是C．的立方根是 D．的立方根是3.（23-24八年級上·湖南湘潭·期末）下列說法中正確的個數(shù)是（

）①的平方根是；②沒有平方根；③非負數(shù)a的平方根是非負數(shù)；④負數(shù)沒有平方根；⑤0和1的平方根等于本身．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4.（23-24八年級上·安徽宿州·期中）下列語句：①任意一個數(shù)都有兩個平方根；②是1的平方根；③帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；④的平方根是；⑤的算術(shù)平方根2．其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型二求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根例題：（2024七年級下·云南·專題練習）．鞏固訓練1.（23-24八年級上·四川眉山·期中）根式的化簡；；；；2.（23-24八年級上·陜西西安·期末）的立方根是；的平方根是．3.（22-23七年級下·河南信陽·階段練習）的算術(shù)平方根是7；的立方根是；的平方根是．題型三已知一個數(shù)的平方根或立方根，求這個數(shù)例題1：（23-24七年級下·吉林長春·期末）一個正數(shù)的兩個平方根分別是與，則的值是．例題2：（23-24八年級上·福建三明·期末）若一個數(shù)的立方根是2，則這個數(shù)為．鞏固訓練1.（23-24七年級下·山東臨沂·期末）如果一個正數(shù)的平方根是和，則這個正數(shù)是．2.（23-24七年級下·陜西安康·期末）已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根是和，則這個正數(shù)是．3.（23-24七年級下·山東德州·期中）已知的平方根是，的算術(shù)平方根是，則的值為．4.（23-24七年級下·內(nèi)蒙古烏?！て谀┮阎牧⒎礁?，是的算術(shù)平方根，則．5.（23-24七年級下·陜西西安·期末）已知的立方根是，的算術(shù)平方根是5．則的平方根為．6.（23-24七年級下·四川德陽·階段練習）已知的平方根是的立方根是2，則的立方根是．題型四利用算術(shù)平方根的非負性解題例題：（23-24八年級下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）若，則．鞏固訓練1.（23-24七年級下·北京·期中）已知，則的算術(shù)平方根為．2.（23-24七年級下·新疆喀什·期末）若實數(shù)，滿足，則的值是．3.（23-24七年級下·四川廣安·期中）已知，m、n是有理數(shù)，且，則的算術(shù)平方根是．題型五利用平方根、立方根的定義解方程例題：（23-24七年級下·重慶開州·期末）求下列各式中x的值：(1)；(2)．鞏固訓練1.（23-24七年級下·河北保定·期中）求下列各式中x的值：(1)；(2)．2.（23-24八年級上·河南南陽·階段練習）求下列各式中的的值．(1)(2)題型六求代數(shù)式的平方根例題：（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）已知與互為相反數(shù)，求的平方根．鞏固訓練1.（23-24七年級下·福建莆田·階段練習）一個正數(shù)b的平方根是與，(1)求a和b的值．(2)求平方根．2.（23-24七年級下·河南商丘·期中）已知的算術(shù)平方根是5，的平方根是，c是的整數(shù)部分，求的平方根．3.（22-23七年級下·陜西安康·期中）一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和．(1)求和的值．(2)求的平方根．題型七立方根的性質(zhì)例題：（23-24七年級下·廣西崇左·階段練習）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．鞏固訓練1.（22-23七年級下·河南商丘·期中）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）.A． B． C． D．2.（23-24七年級下·福建龍巖·階段練習）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．3.（23-24八年級上·湖南衡陽·階段練習）下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．4.（23-24七年級下·山東日照·期中）如圖，有理數(shù)化簡：．題型八無理數(shù)的識別例題：（23-24七年級下·天津濱海新·期末）在，，，，，這六個數(shù)中，無理數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個鞏固訓練1.（23-24七年級下·四川南充·期中）在，，，，，，，，（每兩個之間依次增加一個）中，無理數(shù)的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個2.（2024·陜西西安·模擬預測）已知實數(shù)，0.16，3，，，，其中為無理數(shù)的有個．3.（23-24七年級下·上海黃浦·期中）下列實數(shù)中：3.1416，，，，，，……（它的位數(shù)無限，且相鄰兩個“3”之間的“1”依次增加1個），無理數(shù)有個．題型九實數(shù)概念理解例題：（22-23八年級上·全國·單元測試）下列說法正確的是（

）A．正實數(shù)和負實數(shù)統(tǒng)稱實數(shù) B．正數(shù)、和負數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)C．帶根號的數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱實數(shù) D．無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)鞏固訓練1.（23-24八年級上·安徽·開學考試）下列說法正確的是（

）A．兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示 D．分數(shù)可能是無理數(shù)2.（22-23八年級上·山東青島·期中）已知下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①在數(shù)軸上只能表示無理數(shù)；②任何一個無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示；③實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；④有理數(shù)有無限個，無理數(shù)有有限個．A．①② B．②③ C．③④ D．②③④3.（23-24八年級上·湖南衡陽·階段練習）下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)和0；②有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應；③無理數(shù)都是無限小數(shù)；④；⑤平方根與立方根都等于它本身的數(shù)為0和1．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型十實數(shù)的分類例題：（24-25八年級上·江蘇·假期作業(yè)）把下列各數(shù)填入相應的大括號內(nèi)：有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：；正實數(shù)集合：；負實數(shù)集合：．鞏固訓練1.（23-24七年級下·新疆伊犁·期中）把下列各數(shù)分別填入相應的集合內(nèi)：，0，，，，，整數(shù)集合{

}；無理數(shù)集合{

}；負實數(shù)集合{

}．2.（23-24八年級上·全國·單元測試），3，，，0.1010010001…，，0，，，(1)正數(shù)集合：{

…}(2)無理數(shù)集合：{

…}；(3)分數(shù)集合：{

…}；(4)非正整數(shù)集合：{

…}；3.（23-24八年級上·全國·單元測試）把下列各數(shù)填在相應的大括號內(nèi)．，，，，，，，，，，（每相鄰兩個之間依次多個），．有理數(shù)：；無理數(shù)：；正數(shù)：整數(shù)：；非負數(shù)：；分數(shù)：．題型十一實數(shù)的性質(zhì)例題：（23-24八年級上·全國·單元測試）（1）的絕對值為；的相反數(shù)為；（2）的絕對值為；的相反數(shù)為．鞏固訓練1.（23-24八年級上·全國·單元測試）的相反數(shù)是；的絕對值是；的相反數(shù)是．2.（23-24七年級下·天津?qū)幒印て谥校┑钠椒礁牵南喾磾?shù)為，的絕對值為．3.（23-24七年級下·湖南衡陽·期中）的絕對值是，的相反數(shù)是．題型十二實數(shù)與數(shù)軸例題：（23-24七年級下·北京·階段練習）如圖，直徑為1個單位長度的圓從點A沿數(shù)軸向右滾動（無滑動）一周到達點B，則的長度為；若點A對應的數(shù)是，則點B對應的數(shù)是．鞏固訓練1.（22-23八年級上·四川成都·期中）實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式．2.（22-23八年級上·四川成都·期中）如圖，已知于點C，點C對應的數(shù)是，那么數(shù)軸上點B所表示的數(shù)是．

3.（23-24八年級上·山東濟南·開學考試）如圖，實數(shù)，，m在數(shù)軸上所對應的點分別為A，B，C，點B關(guān)于原點O的對稱點為D．若m為整數(shù)，則m的值為．題型十三實數(shù)的大小比較例題：（22-23七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）比較大?。ㄓ谩埃?，”表示）：．鞏固訓練1.（23-24八年級上·全國·單元測試）下列各數(shù)：，其中小于的數(shù)是