1.5.1+全稱(chēng)量詞與存在量詞 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.5.1全稱(chēng)量詞與存在量詞教學(xué)目標(biāo)

理解全稱(chēng)量詞、存在的定義，全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的定義01

會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題（重點(diǎn)）02掌握全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題真假的判斷（重點(diǎn)、難點(diǎn)）03

04全稱(chēng)量詞與存在量詞學(xué)科素養(yǎng)

全稱(chēng)量詞、存在的定義，全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的定義數(shù)學(xué)抽象

直觀想象

全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題真假的判斷邏輯推理

全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模全稱(chēng)量詞與存在量詞01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge全稱(chēng)量詞與存在量詞

一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．判斷為真的語(yǔ)句是真命題，判斷為假的語(yǔ)句是假命題．

我們有時(shí)會(huì)遇到一些含有變量的陳述句，由于不知道變量代表什么數(shù)，無(wú)法判斷真假，因此它們不是命題．但是，如果在原語(yǔ)句的基礎(chǔ)上，用一個(gè)短語(yǔ)對(duì)變量的取值范圍進(jìn)行限定，就可以使它們成為一個(gè)命題，我們把這樣的短語(yǔ)成為量詞．02新

知

探

索NewKnowledgeexplore下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)x>3；(2)2x+1是整數(shù)；(3)對(duì)所有的x∈R，x>3；(4)對(duì)任意一個(gè)x∈Z，2x+1是整數(shù)．

語(yǔ)句（1）（2）中含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無(wú)法判斷它們的真假，所以它們不是命題．(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“所有的”對(duì)變量x進(jìn)行限定，使(3)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句;(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“任意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定，使(4)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句.

全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，

并用符號(hào)“?”表示．常見(jiàn)的全稱(chēng)量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”等．全稱(chēng)量詞命題的表述形式：全稱(chēng)量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”，

可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”

．全稱(chēng)量詞命題：含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)量詞命題．含有變量x的語(yǔ)句【例1】判斷下列全稱(chēng)量詞命題的真假．

(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(2)?x∈R，|x|+1≥1；(3)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)．∵2是素?cái)?shù),但不是奇數(shù),∴命題(1)是假命題;∵|x|≥0，∴|x|+≥1，∴命題(2)是真命題；∵是無(wú)理數(shù),但

是有理數(shù),∴命題(3)是假命題;思考：如何判斷全稱(chēng)量詞命題的真假？

若判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證P(x)成立;

若判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0

,使得P(x0

)不成立即可.下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一個(gè)x∈R,使2x+1=3；(4)至少有一個(gè)x∈Z,x能被2和3整除．

容易判斷，語(yǔ)句（1）（2）不是命題．(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,使(3)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句;

(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,從而使(4)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句.

存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，

并用符號(hào)“?”表示．常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“有的”“某一個(gè)”等存在量詞命題的表述形式：全稱(chēng)量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”，

可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”．存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫做全稱(chēng)量詞命題．【例2】判斷下列存在量詞命題的真假.(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0;(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線;(3)有些平行四邊形是菱形.∵由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是互相平行的,因此不存在兩個(gè)相交的直線垂直于同一條直線,∴命題(2)是假命題;∵△=-8<0,∴一元二次方程x2+2x+3=0無(wú)實(shí)根,∴命題(1)是假命題;∵菱形是平行四邊形，∴命題(3)是真命題.思考：如何判斷存在量詞命題的真假？

要判斷存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可.

如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,（即集合M中所有的元素x，都使得p(x)不成立），那么這個(gè)存在量詞命題是假命題.【練習(xí)】下列命題中為全稱(chēng)量詞命題的是(

)A.有些實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)；

B.矩形都有外接圓；C.過(guò)直線外一點(diǎn)有一條直線和已知直線平行；D.?x∈R，x2+x≤2.【解析】選A、C、D是存在量詞命題，B可改寫(xiě)為“所有矩形都有外接圓”，是全稱(chēng)量詞命題.B【練習(xí)】將下列命題用“?”或“?”表示．(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一個(gè)負(fù)根.?x0<0，ax02＋2x0＋1＝0(a<0)．?x∈R，x2≥0．【練習(xí)】判斷下列量詞命題的真假．(1)末位是零的整數(shù)，可以被5整除．(2)?x∈R，有|x＋1|>1.(3)?x∈R，滿(mǎn)足3x2＋2>0.(4)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)．因?yàn)槊恳粋€(gè)末位是零的整數(shù)，都能被5整除，所以(1)是真命題.當(dāng)x＝0時(shí)，不滿(mǎn)足|x＋1|>1，所以(2)為假命題.?x∈R，有3x2＋2>0，所以(3)為真命題．如存在整數(shù)3只有正因數(shù)1和3，所以(4)為真命題．03拓展提升ExpansionAndPromotion【例】已知命題“任意1≤x≤2，x2－m≥0”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．因?yàn)椤叭我?≤x≤2，x2－m≥0”成立，所以x2－m≥0，即m≤x2對(duì)任意的1≤x≤2恒成立，【解析】因?yàn)閥＝x2在1≤x≤2上y隨x增大而增大，所以y＝x2在1≤x≤2上的最小值為1．所以m≤1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤1}．【例】已知命題“存在1≤x≤2，x2－m≥0”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】因?yàn)閥＝x2在1≤x≤2上y隨x增大而增大，

所以y＝x2在1≤x≤2上的最大值為22＝4．

因?yàn)椤按嬖?≤x≤2，x2－m≥0”成立，

所以x2－m≥0，即m≤x2在1≤x≤2有解，

所以m≤4，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤4}．04歸納總結(jié)SumUp全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，

并用符號(hào)“?”表示．全稱(chēng)量詞命題的表述形式：全稱(chēng)量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”，

可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”

.存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，

并用符號(hào)“?”表示．存在量詞命題的表述形式：全稱(chēng)量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”，

可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”.全稱(chēng)量詞命題真假的判斷：

若判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證P(x)成立;若判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0

,使得P