專(zhuān)題06 直線與圓錐曲線的的綜合問(wèn)題（專(zhuān)題測(cè)試）解析版

1/12專(zhuān)題06直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題1、過(guò)點(diǎn)和雙曲線僅有一交點(diǎn)的直線有（）A．1條 B．2條 C．4條 D．不確定【解析】直線斜率不存在時(shí),不滿足條件；直線斜率存在時(shí),與漸近線平行的直線,滿足題意∴過(guò)點(diǎn)和雙曲線僅有一交點(diǎn)的直線有2條故選:B．2、斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D.eq\f(8\r(10),5)【解析】選C設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，則x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).3、已知是拋物線的焦點(diǎn)，則過(guò)作傾斜角為的直線分別交拋物線于（在軸上方）兩點(diǎn)，則的值為()A． B． C． D．【解析】，∴.4、已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線與雙曲線的右支一定有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】雙曲線的漸近線方程為，

由題意可知，雙曲線漸近線的傾斜角范圍是，漸近線斜率，而，

由此得不等式，即，故5、已知斜率為1的直線l與雙曲線y2＝1的右支交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為（）y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x【解析】設(shè)斜率為1的直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得，設(shè)，，，，可得，，則，解得，由于直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得，則直線的方程為．故選：．6、已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．【答案】【解析】設(shè)，，由得，，所以，因?yàn)椋跈E圓上，所以，，所以，所以，與對(duì)應(yīng)相減得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值．7、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）已知橢圓的內(nèi)接的頂點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，右焦點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意可設(shè)，，線段中點(diǎn)為，且，可得為的重心，設(shè)，，由重心坐標(biāo)公式可得，，，即有的中點(diǎn)，可得，，由題意可得點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可得，由，可得，即有.故答案為：.8、已知拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝6，則|BF|＝________.【解析】不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根據(jù)焦半徑公式|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4eq\r(2)，所以直線AB的斜率為k＝eq\f(4\r(2),2－4)＝－2eq\r(2)，所以直線方程為y＝－2eq\r(2)(x－4)，與拋物線方程聯(lián)立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.答案：129、對(duì)不同的實(shí)數(shù)值,討論直線與橢圓的位置關(guān)系.【解析】由消去得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與橢圓相交；當(dāng)，此時(shí)直線與橢圓相切；當(dāng)，此時(shí)直線與橢圓相離.10、已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2))).(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若eq\o(AF1,\s\up7(→))＝2eq\o(F1B,\s\up7(→))，求直線l的斜率k的值．【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，,a2＝b2＋c2，,c＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，,b＝\r(3)，))所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由題意得直線l的方程為y＝k(x＋1)(k＞0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k2)＋4))y2－eq\f(6,k)y－9＝0，則Δ＝eq\f(144,k2)＋144＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(6k,3＋4k2)，y1y2＝eq\f(－9k2,3＋4k2)，又eq\o(AF1,\s\up7(→))＝2eq\o(F1B,\s\up7(→))，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，則3＋4k2＝8，解得k＝±eq\f(\r(5),2)，又k＞0，所以k＝eq\f(\r(5),2).11、已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.（Ⅱ）由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直.設(shè)其直線方程為，代入（1）得.設(shè)，則，.由，得，解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.12、已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．（1）若，求的方程；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】設(shè)直線．（1）由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．由，可得，則．從而，得．所以的方程為．（2）由可得．由，可得．所以．從而，故．代入的方程得．故．13、已知雙曲線C：與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線C過(guò)點(diǎn)．(1)若雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上有一點(diǎn)P，使得，求△的面積；(2)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)作直線l與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，若△的周長(zhǎng)是，求直線l的方程．【解析】(1)設(shè)雙曲線C：，點(diǎn)代入得：

∴雙曲線C：在△PF1F2中，設(shè)

，∴

，由②得：，，

，∴；(2)∵

∴

，1°當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，，不符合題意（舍）2°當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB：

，聯(lián)立：

，∴，解得：，此時(shí)

，∴直線l方程：或.14、.已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為：，