專(zhuān)題06 直線與圓錐曲線的的綜合問(wèn)題(專(zhuān)題測(cè)試)解析版_第1頁(yè)
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1/12專(zhuān)題06直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題1、過(guò)點(diǎn)和雙曲線僅有一交點(diǎn)的直線有()A.1條 B.2條 C.4條 D.不確定【解析】直線斜率不存在時(shí),不滿足條件;直線斜率存在時(shí),與漸近線平行的直線,滿足題意∴過(guò)點(diǎn)和雙曲線僅有一交點(diǎn)的直線有2條故選:B.2、斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為()A.2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D.eq\f(8\r(10),5)【解析】選C設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為y=x+t,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+4y2=4,,y=x+t))消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,則x1+x2=-eq\f(8,5)t,x1x2=eq\f(4t2-1,5).∴|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+k2)·eq\r(x1+x22-4x1x2)=eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(8,5)t))2-4×\f(4t2-1,5))=eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5-t2),當(dāng)t=0時(shí),|AB|max=eq\f(4\r(10),5).3、已知是拋物線的焦點(diǎn),則過(guò)作傾斜角為的直線分別交拋物線于(在軸上方)兩點(diǎn),則的值為()A. B. C. D.【解析】,∴.4、已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線與雙曲線的右支一定有兩個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】雙曲線的漸近線方程為,

由題意可知,雙曲線漸近線的傾斜角范圍是,漸近線斜率,而,

由此得不等式,即,故5、已知斜率為1的直線l與雙曲線y2=1的右支交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則直線l的方程為()y=x B.y=x C.y=x D.y=x【解析】設(shè)斜率為1的直線的方程為,聯(lián)立雙曲線方程,可得,設(shè),,,,可得,,則,解得,由于直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn),可得,則直線的方程為.故選:.6、已知點(diǎn)P(0,1),橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A,B滿足=2,則當(dāng)m=___________時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.【答案】【解析】設(shè),,由得,,所以,因?yàn)椋跈E圓上,所以,,所以,所以,與對(duì)應(yīng)相減得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.7、(2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末)已知橢圓的內(nèi)接的頂點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn),右焦點(diǎn),線段中點(diǎn)為,且,則橢圓離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意可設(shè),,線段中點(diǎn)為,且,可得為的重心,設(shè),,由重心坐標(biāo)公式可得,,,即有的中點(diǎn),可得,,由題意可得點(diǎn)在橢圓內(nèi),可得,由,可得,即有.故答案為:.8、已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作一條直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|=6,則|BF|=________.【解析】不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(A在B上方),根據(jù)焦半徑公式|AF|=x1+eq\f(p,2)=x1+4=6,所以x1=2,y1=4eq\r(2),所以直線AB的斜率為k=eq\f(4\r(2),2-4)=-2eq\r(2),所以直線方程為y=-2eq\r(2)(x-4),與拋物線方程聯(lián)立得x2-10x+16=0,即(x-2)(x-8)=0,所以x2=8,故|BF|=8+4=12.答案:129、對(duì)不同的實(shí)數(shù)值,討論直線與橢圓的位置關(guān)系.【解析】由消去得,當(dāng)時(shí),,此時(shí)直線與橢圓相交;當(dāng),此時(shí)直線與橢圓相切;當(dāng),此時(shí)直線與橢圓相離.10、已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3),\f(\r(3),2))).(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方),若eq\o(AF1,\s\up7(→))=2eq\o(F1B,\s\up7(→)),求直線l的斜率k的值.【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a=|EF1|+|EF2|=4,,a2=b2+c2,,c=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,c=1,,b=\r(3),))所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1.(2)由題意得直線l的方程為y=k(x+1)(k>0),聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=kx+1,,\f(x2,4)+\f(y2,3)=1,))整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k2)+4))y2-eq\f(6,k)y-9=0,則Δ=eq\f(144,k2)+144>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=eq\f(6k,3+4k2),y1y2=eq\f(-9k2,3+4k2),又eq\o(AF1,\s\up7(→))=2eq\o(F1B,\s\up7(→)),所以y1=-2y2,所以y1y2=-2(y1+y2)2,則3+4k2=8,解得k=±eq\f(\r(5),2),又k>0,所以k=eq\f(\r(5),2).11、已知橢圓()的半焦距為,原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),的直線的距離為.(Ⅰ)求橢圓的離心率;(Ⅱ)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),求橢圓的方程.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,則原點(diǎn)到直線的距離,由,得,解得離心率.(Ⅱ)由(1)知,橢圓的方程為.依題意,圓心是線段的中點(diǎn),且.易知,不與軸垂直.設(shè)其直線方程為,代入(1)得.設(shè),則,.由,得,解得.從而.于是.由,得,解得.故橢圓的方程為.12、已知拋物線的焦點(diǎn)為,斜率為的直線與的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為.(1)若,求的方程;(2)若,求.【答案】(1);(2).【解析】設(shè)直線.(1)由題設(shè)得,故,由題設(shè)可得.由,可得,則.從而,得.所以的方程為.(2)由可得.由,可得.所以.從而,故.代入的方程得.故.13、已知雙曲線C:與雙曲線有相同的漸近線,且雙曲線C過(guò)點(diǎn).(1)若雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為,,雙曲線C上有一點(diǎn)P,使得,求△的面積;(2)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)作直線l與雙曲線右支交于A,B兩點(diǎn),若△的周長(zhǎng)是,求直線l的方程.【解析】(1)設(shè)雙曲線C:,點(diǎn)代入得:

∴雙曲線C:在△PF1F2中,設(shè)

,∴

,由②得:,,

,∴;(2)∵

,1°當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),,不符合題意(舍)2°當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)AB:

,聯(lián)立:

,∴,解得:,此時(shí)

,∴直線l方程:或.14、.已知A、B分別為橢圓E:(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),,P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)依據(jù)題意作出如下圖象:由橢圓方程可得:,,,,橢圓方程為:(2)證明:設(shè),則直線的方程為:,即:聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得:,整理得:,解得:或?qū)⒋胫本€可得:所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得:點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為:,

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