5.1.1 任意角 高一數(shù)學(xué)新教材配套課件（人教A版必修第一冊）

5.1.1任意角1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負角與零角.2.理解象限角的概念.（重點）3.理解并掌握終邊相同的角的概念，能熟練寫出終邊相同的角所組成的集合.（重點、難點）學(xué)習(xí)目標1自主學(xué)習(xí)一.

任意角1.角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條

繞著它的端點

所成的

.2.角的表示：如圖所示：角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：

，終邊：

，頂點

.射線旋轉(zhuǎn)圖形OAOBO名稱定義圖示正角一條射線繞其端點按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角

負角一條射線繞其端點按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角一條射線

做任何旋轉(zhuǎn)形成的角

3.角的分類：逆時針順時針沒有二.角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個角，

為角α的相反角.(1)α＋β：把角α的

旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝

.－α終邊α＋(－β)三.象限角把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與

重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的

在第幾象限，就說這個角是第幾_______；如果角的終邊在

，就認為這個角不屬于任何一個象限.原點終邊象限角坐標軸上思考

“銳角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？答案銳角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是銳角，也可以是大于360°的角，還可以是負角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負角.四.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝_________________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.k·360°，k∈Z}{β|β＝α＋思考

終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？答案

終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角終邊相同.1.第二象限角是鈍角.(

)2.終邊與始邊重合的角為零角.(

)3.終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍.(

)×√×小試牛刀2經(jīng)典例題例1

(多選)下列說法，不正確的是A.三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.鈍角比第三象限角小D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角題型一任意角的概念√解析A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正確；B中始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故B正確；C中鈍角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正確；D中零角或負角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D不正確.√√總結(jié)：理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可.跟蹤訓(xùn)練

經(jīng)過2個小時，鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°√解析鐘表的時針和分針都是順時針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過的角度都是負的，故鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－60°，－720°.例2在0°~360°范圍內(nèi)，找出與-950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角。題型二終邊相同角的表示解總結(jié)：終邊相同的角的表示(1)終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.例3寫出終邊在y軸上的角的集合。例4寫出終邊在直線y=x上的角的集合S.S中滿足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？解析答案見課本P171頁例3跟蹤訓(xùn)練

(1)若角2α與240°角的終邊相同，則α等于A.120°＋k·360°，k∈Z

B.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈Z

D.240°＋k·180°，k∈Z√解析角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.(2)下列角的終邊與37°角的終邊在同一直線上的是A.－37°B.143°C.379°

D.－143°√解析與37°角的終邊在同一直線上的角可表示為37°＋k·180°，k∈Z，當k＝－1時，37°－180°＝－143°.題型三象限角及區(qū)域角的表示例5

(1)(多選)下列四個角為第二象限角的是A.－200°

B.100°

C.220°D.420°解析－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范圍內(nèi)，與－200°終邊相同的角為160°，它是第二象限角，同理100°為第二象限角，220°為第三象限角，420°為第一象限角.√√(2)如圖所示.解終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.①寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.(1)象限角的判定方法①根據(jù)圖象判定.利用圖象實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的思想，因為0°～360°之間的角與坐標系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系.②將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi).在直角坐標平面內(nèi)，在0°～360°之間沒有兩個角終邊是相同的.(2)表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.跟蹤訓(xùn)練

已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍.解終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.探究：確定nα及

所在的象限已知α是第二象限角：(1)求角

所在的象限；解方法一∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).方法二如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，(2)求角2α所在的象限.解∵k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z).∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.3當堂達標1.與－30°終邊相同的角是A.－330°B.150°C.30°D.330°√解析因為所有與－30°終邊相同的角都可以表示為α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.2.(多選)下列四個角中，屬于第二象限角的是A.160°

B.480°

C.－960°D.1530°√解析160°是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.√√3.與－460°角終邊相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z

B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z

D.－260°＋k·360°，k∈Z√解析因為－460°＝260°＋(－2)×360°，故與－460°角終邊相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.4.在0°～360°范圍內(nèi)，與角－60°的終邊在同一條直線上的角為____________.解析與角－60°的終邊在同一條直線上的角可表示為β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范圍內(nèi)，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，120°，300°∴k＝1或2，當k＝1時，β＝120°，當k＝2時，β＝300°.5.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是_________________________________________.