2024八年級數(shù)學(xué)上冊第13章全等三角形練素養(yǎng)2.等腰三角形中作輔助線的八種常用方法習(xí)題課件新版華東師大版

華師版八年級上第13章全等三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)2.等腰三角形中作輔助線的八種常用方法

幾何圖形中添加輔助線，往往能把分散的條件集中，使

隱蔽的條件顯露，將復(fù)雜的問題簡單化.例如：作“三線”

中的“一線”或平行線證線段相等，利用截長補(bǔ)短法證線段

和、差關(guān)系或求角的度數(shù)，利用倍長中線法證線段的倍分關(guān)

系等，將不在同一個(gè)三角形中的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形

(或兩個(gè)全等三角形)中，然后運(yùn)用等腰(或全等)三角形的性

質(zhì)來解決問題.方法1構(gòu)造“三線合一”1.

如圖，在△

ABC

中，

AC

＝2

AB

，

AD

平分∠

BAC

交

BC

于

D

，

E

是

AD

上一點(diǎn)，且

EA

＝

EC

.

求證：

EB

⊥

AB

.

12345678【證明】如圖，作

EF

⊥

AC

于點(diǎn)

F

，則∠

AFE

＝90°.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

FAE

.

又∵

AE

＝

AE

，∴△

ABE

≌△

AFE

(S.A.S.).∴∠

ABE

＝∠

AFE

＝90°.∴

EB

⊥

AB

.

12345678方法2作平行線構(gòu)造等腰三角形2.

如圖，點(diǎn)

E

在△

ABC

的

AC

邊的延長線上，點(diǎn)

D

在

AB

邊

上，

DE

交

BC

于點(diǎn)

F

，

DF

＝

EF

，

BD

＝

CE

.

求證：△

ABC

是等腰三角形.12345678【證明】如圖，過點(diǎn)

D

作

DG

∥

CE

交

BC

于點(diǎn)

G

，則∠

E

＝∠

FDG

.

在△

ECF

和△

DGF

中，

∴△

ECF

≌△

DGF

(A.S.A.).∴

CE

＝

GD

.

∵

BD

＝

CE

，∴

BD

＝

GD

.

∴∠

B

＝∠

DGB

.

∵

DG

∥

AC

，∴∠

DGB

＝∠

ACB

.

∴∠

B

＝∠

ACB

.

∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等腰三角形.12345678方法3等腰三角形中證與腰有關(guān)聯(lián)的線段時(shí)常作腰的平行線

(或垂線)3.

[新考法·動點(diǎn)探究法2024華南師大附中期中]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，點(diǎn)

P

從點(diǎn)

B

出發(fā)沿線段

BA

移動，同

時(shí)，點(diǎn)

Q

從點(diǎn)

C

出發(fā)沿線段

AC

的延長線移動，點(diǎn)

P

，

Q

移動的速度相同，

PQ

與直線

BC

相交于點(diǎn)

D

.

(1)求證：

PD

＝

QD

.

12345678【證明】如圖，過點(diǎn)

P

作

PF

∥

AC

交

BC

于點(diǎn)

F

.

12345678(2)過點(diǎn)

P

作直線

BC

的垂線，垂足為點(diǎn)

E

.

P

，

Q

在

移動的過程中，線段

DE

的長度是否保持不變？請

說明理由.

12345678方法4等腰三角形中證與底有關(guān)聯(lián)的線段時(shí)常作底的平行線4.

[2024·福州八中月考]如圖，在等邊三角形

ABC

中，

D

是

邊

AC

延長線上一點(diǎn)，延長

BC

至

E

，使

CE

＝

AD

，

DG

⊥

BE

于

G

.

求證：

BG

＝

EG

.

12345678【證明】如圖，過點(diǎn)

D

作

DF

∥

BE

，交

AB

的延長線于

F

.

又∵△

ABC

是等邊三角形，∴

AB

＝

AC

＝

BC

，∠

ABC

＝∠

ACB

＝∠

AFD

＝∠

ADF

＝∠

A

＝60°.∴△

ADF

是等邊三角形.∴

AD

＝

DF

＝

AF

.

∴

CD

＝

BF

.

又∵

AD

＝

CE

，∴

FD

＝

CE

.

12345678又∵∠

DCE

＝∠

ACB

＝60°，∴∠

DFB

＝∠

ECD

.

∴△

FBD

≌△

CDE

(S.A.S.).∴

DB

＝

DE

.

∴△

BDE

是等腰三角形.又∵

DG

⊥

BE

于

G

，∴

G

為

BE

的中點(diǎn).∴

BG

＝

EG

.

12345678方法5補(bǔ)形法構(gòu)造等腰三角形5.

如圖，已知

AD

∥

BC

，

AE

平分∠

BAD

，點(diǎn)

E

是

CD

的中點(diǎn).(1)求證：

AB

＝

AD

＋

BC

；12345678【證明】如圖，延長

AE

交

BC

的延長線于點(diǎn)

F

.

12345678(2)求證：

AE

⊥

BE

.

【證明】由(1)知△

FCE

≌△

ADE

，∴

AE

＝

FE

.

又∵

BA

＝

BF

，∴△

ABF

為等腰三角形.∴

AE

⊥

BE

.

12345678方法6倍長中線法構(gòu)造等腰三角形6.

如圖，在△

ABC

中，

AD

為中線，點(diǎn)

E

為

AB

上一點(diǎn)，

AD

，

CE

交于點(diǎn)

F

，且

AE

＝

EF

.

求證：

AB

＝

CF

.

12345678【證明】如圖，延長

AD

至點(diǎn)

G

，使

DG

＝

AD

，連結(jié)

CG

.

又∵

BD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

GDC

，∴△

ABD

≌△

GCD

(S.A.S.).∴

AB

＝

CG

，∠

G

＝∠

EAF

.

∵

AE

＝

EF

，∴∠

EAF

＝∠

EFA

.

又∵∠

EFA

＝∠

CFG

，∴∠

G

＝∠

GFC

.

∴

CG

＝

CF

.

∴

AB

＝

CF

.

12345678方法7延長(或截取)法構(gòu)造等腰三角形7.

如圖，在△

ABC

中，∠

BAC

＝2∠

B

，

CD

平分∠

ACB

交

AB

于點(diǎn)

D

.

求證：

AC

＋

AD

＝

BC

.

12345678【證明】方法一：如圖①，延長

CA

至點(diǎn)

E

，使

EA

＝

AD

，連結(jié)

ED

，則∠

E

＝∠

ADE

.

∴∠

BAC

＝∠

E

＋∠

ADE

＝2∠

E

.

∵∠

BAC

＝2∠

B

，∴∠

E

＝∠

B

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

BCD

.

又∵

CD

＝

CD

，∴△

CDE

≌△

CDB

(A.A.S.).∴

CE

＝

CB

.

∵

CE

＝

AC

＋

AE

＝

AC

＋

AD

，∴

AC

＋

AD

＝

BC

.

12345678方法二：如圖②，延長

DA

到點(diǎn)

E

，使

AE

＝

AC

，連結(jié)

CE

，則∠

E

＝∠

ACE

.

∴∠

BAC

＝∠

E

＋∠

ACE

＝2∠

E

.

∵∠

BAC

＝2∠

B

，∴∠

B

＝∠

E

.

∴

BC

＝

EC

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

BCD

.

∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BCD

＝∠

B

＋∠

ACD

.

又∵∠

DCE

＝∠

ACE

＋∠

ACD

＝∠

B

＋∠

ACD

，∴∠

ADC

＝∠

DCE

.

∴

DE

＝

CE

.

∴

AC

＋

AD

＝

AE

＋

AD

＝

DE

＝

CE

＝

BC

.

12345678方法三：如圖③，在

BC

上截取

CE

＝

CA

，連結(jié)

DE

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

BCD

.

又∵

CD

＝

CD

，∴△

ACD

≌△

ECD

(S.A.S.).∴

AD

＝

DE

，∠

BAC

＝∠

DEC

.

∵∠

BAC

＝2∠

B

，∠

DEC

＝∠

B

＋∠

BDE

，∴∠

BDE

＝∠

B

.

∴

DE

＝

BE

，∴

AC

＋

AD

＝

CE

＋

DE

＝

CE

＋

BE

＝

BC

.

12345678方法8截長補(bǔ)短法構(gòu)造等腰三角形8.

[2024·北師大附中期中]如圖，

CD

是△

ABC

的角平分線，

點(diǎn)

E

是邊

AC

上的點(diǎn)，滿足

DE

＝

DB

.

(1)求證：∠

B

與∠

DEC

互補(bǔ)；12345678

12345678(2)點(diǎn)

F

是

BC

邊上一點(diǎn)，滿足∠

B

＋2∠

DFC

＝180°，

請判斷線段

CF

與線段

CE

，

ED

之間滿足的等量關(guān)

系，并且證明.12345678【解】