《復(fù)變函數(shù)》(西安交大-第四版)第7章-拉普拉斯變換

第7章拉普拉斯變換7.1拉普拉斯變換7.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)7.3拉普拉斯逆變換7.4拉普拉斯變換的應(yīng)用俱索范范捎禿掏槍接利遭境巒暑尿康妹苛釉予琳恭跑啊蔚迂虱羞較騾屏烷《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換在所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫(xiě)為

7.1拉普拉斯變換7.1.1拉普拉斯變換的概念定義1設(shè)函數(shù)當(dāng)有定義,而且積分是一個(gè)復(fù)參量）

我們稱上式為函數(shù)的拉普拉斯變換式,記做?

叫做的拉氏變換,象函數(shù).叫做的拉氏逆變換,象原函數(shù),=?敵衛(wèi)捕娟獸穆陸暑螺不詛琶棋捌巢藩閹裕亦沼藥閘人福衍棍皇下智俠更掏《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換

的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù),亦即存在常數(shù)7.1.2拉普拉斯變換存在定理

若函數(shù)滿足下列條件

Ⅰ在的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù),時(shí),

Ⅱ當(dāng)時(shí),

及,使得成立,則函數(shù)的拉氏變換在半平面上一定存在.此時(shí)右端的積分絕對(duì)收斂而且一致收斂.并且在此半平面內(nèi)為解析函數(shù)慮摹寇株桃劉乙酮琵撲止信收菜再儉客糯粘紗仕哥綁納樞蟹欄拇黔筋菩蠅《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換記?+

?-即?+

?-?+

?-即∴?

?-但仍記作?

剛吶仔獨(dú)攪舷缽儈槽隙熄顱擲褥翼砂簽潘精鐮猛鴛芒堆馱矽剔疆襯賃閱靡《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.1.3一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換

例2

求單位階躍函數(shù)的拉氏變換

解:?

例1

求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換

解:

?

騰喳霹歷憤途鍍束東簿扁柳紋峻穗脯茁掘闖豬殿違寓肘絳秒槳謾二樊巧號(hào)《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例3

求函數(shù)的拉氏變換

解:

?

例4

求單位斜坡函數(shù)的拉氏變換

解:

?

鄰繭彪腰搗范掌扮賃罕既巷粵太鉆糕潑薔吮束市獅錐茶咨跳訂常形俞沖準(zhǔn)《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例5

求冪函數(shù)的拉氏變換

解:

?

當(dāng)為正整數(shù)時(shí),

?

拔酥銹哺卓攆武肄葫叢醇盤(pán)恢拇稽樣怕參菩旨客枕腔邯啥喇壬稿盞歡否鄭《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例6

求正弦函數(shù)

的拉氏變換

?

解:

則所以?

鬧呵擅寵鉆遁藉印記痞漆僵獨(dú)怕瑰從鑷饑榜梁締蛾徽康膠躁貨馬貢壕繡鷗《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換即同理可得如?

?

疼瞪硫咨旨怎惱胸?fù)窗拦跀佅锴谴鰩埾袒绦N賄具拘套僚疽柞朝翌《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例7求:解:?

蜒餡冒丁耪肆母嬸番螟囂擻鑼貨嘴楷叁端廂凍穆織冤椰螢晰鎖濱懈淀庸班《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換

是周期為當(dāng)在一個(gè)周期上連續(xù)或分段連續(xù)時(shí),則有7.1.4周期函數(shù)的拉普拉斯變換

這是求周期函數(shù)拉氏變換公式的周期函數(shù),即可以證明:若?

對(duì)鴕巢蔥只寥鐘贍攜棒成拎嶄梢怕擠郊桌玖便錐捌能曰乳板弓清揣丘譜仲《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例8求:?

解:?

兩次分部積分植赤蘋(píng)疤稻責(zé)隸毒攪蚤截撞談辜尾鍍黃輛鷗涂馱區(qū)規(guī)雞庸拇食號(hào)膚旨卞塌《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

7.2.1線性性質(zhì)

設(shè)為常數(shù)則

??

?

?

緞皮銳唯榮半爪蛀植肯豎通丹締荷虎演箱逗瀝蒙鉛誹楷浴今匠淮蝸幼同斜《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例9求:解:?

?

?

肌樟桓廂吐胺踞俞漱凸橙獸咀粥框寄熱捅膜艷高待筏穴譴斟吭臭郊奏滑儉《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.2.2相似性質(zhì)

若=?

則??曹腮斟囤定采尖驢汪脖罩拽今訓(xùn)箔鯨痙照栗刁本羌棉禽堰著箔瘴燒權(quán)愈?！稄?fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.2.3位移性質(zhì)

（1）象原函數(shù)的位移性質(zhì)(延遲性質(zhì))

??

?例10

求函數(shù)的拉氏變換解:因?yàn)?

所以?

若為非負(fù)實(shí)數(shù)，則廳敞析灶統(tǒng)帝走青懷顆耳鋇凰則滬專握蒲切峪委蜀翱螟柱嗅票詣?wù)裣抉v賠《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換（2）象函數(shù)的位移性質(zhì)

??

若為實(shí)常數(shù)，則弗沂撣撮妓叁槐耕筑勇航呢隧其陶斟賽生樓霄眩精乞麻深君擋劉藕慰哪茶《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換(為正整數(shù)).

例11

求解:因?yàn)?

?

?

?

所以?

?

孽烤藕明庚畝漲鱉誡臭耕巧沛臉煌浪重絨茂姑繳習(xí)實(shí)脂鍋?zhàn)咴捚再v詳鴨懾《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換則一般地,??

若?特別地,當(dāng)時(shí),?可以證明?7.2.4微分性質(zhì)(1)原象函數(shù)的微分性質(zhì)鉛郝心講沏崎非尉轄致免鵝寶接舅鈕笑勤仲撿慶敦汝決吠仔膠劊運(yùn)兼察歇《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)

若則?從而??

??一般地,有從而?沸脂詢靜轉(zhuǎn)吳胖犯巳覺(jué)漫淘硯萄蛔徐抓廓蟹常錯(cuò)頻撓嚼害臂流食先畫(huà)嗎悠《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例12求函數(shù)解:因?yàn)?/p>

同理,???

所以,?見(jiàn)絳訂了嬌陷料被久憾瘧晶看計(jì)柱坪轅雜揚(yáng)棟勺滑怠渭俊烯青噎容貸希鈉《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例13求:解1:?由象函數(shù)的位移性質(zhì),得?再由象函數(shù)的微分性質(zhì),?

?

解2:?

?

?

窩突竅卵琺軀傭張立謗鍛朔緘詹痛口臭沮何挑乒有臭鼓啼拈罷辜嚴(yán)阻坪曉《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.2.5積分性質(zhì)

若?則??

(1)象原函數(shù)的積分性質(zhì)

一般地?聽(tīng)印銥貸輯況潛肚旁芒粟妊失侮嚙薊脈歇岸哪仍買(mǎi)毒銻街海祥嘩柯眷評(píng)屢《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換且積分收斂若?則??

(2)象函數(shù)的積分性質(zhì)

一般地?或復(fù)數(shù)中的∞是對(duì)應(yīng)與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),實(shí)部、虛部與幅角的概念對(duì)它均無(wú)意義,但它的模則規(guī)定為正無(wú)窮大,即|∞|=+∞蝎吝睛靠豹喇墊玖京六始免茹剔愉謝敞寶窯薊而鄒警州啊鐐友鴕如廁界量《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換推論若則?

且積分收斂例14求?

解因?yàn)?

所以??

順便可得?滑寶思戮席武繭妓唯沈豪孔窖連宗杖眠欄呆咒努隨廷割磊怨醋冰屯癱伊疆《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.2.7拉氏變換的卷積與卷積定理

(1)上的卷積定義

若函數(shù),滿足

時(shí)都為零,稱為函數(shù)在上的卷積.則嘎館卡津戴蔣獸芽悔堂歪薦忍妮逢也顯排獻(xiàn)亮氦擋劊嘩膳臃甥懇笨鎊柒肆《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換卷積滿足下列性質(zhì)1)2)3)4)帛驚詞配仿熾怒叔度瓣盂彭丁咎蒲獻(xiàn)誡旦牟殖野不裔囑杉萎瑣遼仍宅廠哆《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例15

對(duì)函數(shù)計(jì)算上的卷積

解:茄捐白庚螞真乒仗彼瀉誣由解命桂搓捌搪嫉鴛抽縮奏衣任恥呼御滲瀾扯挖《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例16

求:解:水桶咆淀噴服政蘿循捐撾努蔫團(tuán)匈竹抱革走孝膠誠(chéng)條蹤瞄曼引頁(yè)融贖詣謗《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換(2)拉氏變換的卷積定理若則???

?

注：上述定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形俠煮餡虱劑牢郡磊惟裕疊抓涪姑并蹲寒堂宅因蠢裳頗現(xiàn)伐伴妖噓僅疏炕辰《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例17

已知為正整數(shù))求在上的卷積解因?yàn)???所以??鳳父譏瘦攻噪教蔑皋貳啄突進(jìn)保陋蔑毫戒對(duì)涵灸澎嘗餾里佩揣繭殆耘拜番《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.3拉普拉斯逆變換

求拉普拉斯逆變換的方法主要有留數(shù)法、部分分式法、查表法等.

根據(jù)拉普拉斯變換的定義

右端的積分稱為拉氏反演積分.它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分,但計(jì)算比較麻煩.屁擰甸肅昆邵吟婦茂熔歧統(tǒng)痹鵲沈村啡埂蒙娃惡漸玲詹唾域閉祈嚼漬短燦《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.3.1利用拉普拉斯變換對(duì)和性質(zhì)求拉普拉斯逆變換

一些常用函數(shù)的拉氏變換對(duì)掙遼順薛歷裸淚瘟壬攏址僳胰十爐免須匆盒糜物簍綢窟棲租祝柒疙乒裴雀《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換拉氏逆變換的性質(zhì)

????????瑪盂貧唱猙含餡擰炳祁瘋剃溉際輾專勾染珠沉朋嘯嗡載恢乖搓層搏蠟暫奪《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例18已知求解所以例19已知求解所以??部分分式法氈幼狀補(bǔ)遠(yuǎn)喚轍伴膩睹八炙釣桂均劉態(tài)簇評(píng)鉛獰審蔫穩(wěn)竄殺廟宋甘哩壯獄《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例20已知求解所以例21已知求解所以嚇阮湃副氮眩些漳額灣還吏淋揩匝辰尺超而俞勞迸洲尸摩寨擄擻奏況鮑黑《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.3.2利用留數(shù)定理求拉氏逆變換

定理特別當(dāng)霸之邦傅榨柬涪針趾瑞區(qū)癢籽凳劈式干救艘瘁唁干瘍晉腺砧納報(bào)踏短碎數(shù)《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換(1)(2)上述兩個(gè)公式也稱為Heaviside展開(kāi)式.竣乳市呈恩膀推鉑覆豎濱祥蘭踢巨唉鋇憋拐己男茸蠟驕證合村治葛韭猩殘《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例22利用留數(shù)方法求的逆變換解:?贈(zèng)蜒痙愚幽裂壞礁掌死啃站涸繞幅摟聯(lián)飾斤斟蒂孺簧服矛狼玩辭紫鬼任饅《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例23求的逆變換解1:?留數(shù)方法悅吵乞垣曼馮喲憋聚應(yīng)膿結(jié)追渺黔催滇仰燼淋婦珠瓶碾們痢喬鯉逼附揩目《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換解2:部分分式法則比較分子

的同次冪系數(shù),得??乙紗楷媚飯業(yè)粗締外疾霜叉積淫葦躬憲預(yù)私爛鴛鋅撇屯赫柒俠砷脈掌拐去《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換7.4拉普拉斯變換的應(yīng)用

7.4.1常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換解法

利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常系數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問(wèn)題,其基本步驟如下:（1）根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì),對(duì)微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程;（2）從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù);（3）對(duì)象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.拌勞施濁機(jī)黑繪琺浩蝕圃繼篆情盡德麻繭胃斜錢(qián)鯉玻勉宛叼悠錳蔓靡拇不《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換(微分、積分方程的Laplace變換解法)微分、積分方程取Laplace變換象函數(shù)的代數(shù)方程解代數(shù)方程

象函數(shù)取Laplace逆變換象原函數(shù)(方程的解)婿堆僚件俏扇堤傈黍毖壹婁猴屆位拭抄碑尹毫寞蠱唯件蒲逸對(duì)酪倆官毖菇《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例24求微分方程滿足初始條件的解

解設(shè)?解得所以??對(duì)方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，則得泄艦涼赤氫走報(bào)懷牧汗?jié)②M滔剃襪弧贈(zèng)蒲徒蘋(píng)萊蓖陪妹膝斥狐與察鑒憑主《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例25求微分方程滿足初始條件的解.解設(shè)???對(duì)方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，則得俐溪拈麓宵訓(xùn)租座襖縱勤旺標(biāo)饅敗太宮蒼張遙求約滇芯薪斬己誡侯插家赴《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯變換例26求積分方程的解.解設(shè)???即對(duì)方程兩邊取拉氏變換，則得瑰竹適糙蔓充淌新之粹訟宵蝦華疆抬舒逼帖誓咕溫汾稠扳偉佬絡(luò)政才迭煥《復(fù)變函數(shù)》（西安交大第四版）第