江西省上饒市玉山文苑學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次檢測數(shù)學(xué)試卷

江西省上饒市玉山文苑學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．若函數(shù)在定義域上的值域為，則稱為“函數(shù)”．已知函數(shù)是“函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知，則（

）A． B． C． D．4．在中，，若，則（

）A． B． C． D．5．若圓與圓交于兩點，則的最大值為（

）A． B． C． D．6．質(zhì)監(jiān)部門對某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進行檢測，對此建筑構(gòu)件實施打擊，該構(gòu)件有兩個易損部位，每次打擊后，部位損壞的概率為，部位損壞的概率為，則在第一次打擊后就有部位損壞（只考慮兩個易損部分）的條件下，兩個部位都損壞的概率是（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且，則下列說法正確的是（

）A． B．為遞增數(shù)列C．為遞減數(shù)列 D．8．已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．10．如圖，一個漏斗形狀的幾何體上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是，公共面是一個邊長為1的正方形，則（

）A．該幾何體的體積B．直線PD與平面ABCD所成角的正切值為C．異面直線AP與CC1的夾角正弦值為D．存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上11．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，是的極大值點B．當(dāng)時，有三個零點C．若滿足，則D．當(dāng)時，若在上有最大值，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．楔體形構(gòu)件在建筑工程上有廣泛的應(yīng)用．如圖，某楔體形構(gòu)件可視為一個五面體ABCDEF，其中面ABCD為正方形．若，，且EF與面ABCD的距離為2cm，則該楔體形構(gòu)件的體積為.

13．已知為曲線上的動點，則的最大值為.14．已知曲線上有不同的兩點和，若點關(guān)于直線的對稱點在曲線上，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15．（13分）新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源（或使用常規(guī)的車用燃料、采用新型車載動力裝置），綜合車輛的動力控制和驅(qū)動方面的先進技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進、具有新技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車.新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發(fā)動機汽車等.目前新能源汽車越來越普及，對充電樁的需求量也越來越大，某商場計劃在地下停車庫安裝公共充電樁，以滿足顧客的需求.據(jù)市場分析，公共充電樁的歷年總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x（x是正整數(shù)）成一元二次函數(shù)關(guān)系，營運三年時總利潤為20萬元，營運六年時總利潤最大，最大為110萬元．(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求營運的年平均總利潤的最大值（注：年平均總利潤=歷年總利潤÷營運年數(shù)）．16．（15分）已知向量，函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.17．（17分）如圖，在四棱錐中，，側(cè)面平面．(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)若直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積．18．（15分）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的焦距是實軸長的倍，過上一點作的兩條漸近線的平行線，分別交軸于兩點，且．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過雙曲線的右焦點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，點是線段的中點，過點且與垂直的直線交直線于點，點滿足，求四邊形面積的最小值．19．（17分）記是公差不為的等差數(shù)列an的前項和，已知，，數(shù)列bn滿足，且.(1)求an(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；(3)求證：對于任意正整數(shù)，參考答案1．A【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的定義域與值域的求法，求得和，結(jié)合集合交集的運算，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，又由函數(shù)有意義，可得，解得，所以，所以.故選：A.2．C【分析】根據(jù)“函數(shù)”的定義確定的值域為，結(jié)合每段上的函數(shù)的取值范圍列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】由題意可知的定義域為，又因為函數(shù)是“函數(shù)”，故其值域為；而，則值域為；當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故由函數(shù)是“函數(shù)”可得，解得，即實數(shù)的取值范圍是，故選：C3．C【分析】代入二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】由條件可知，，而.故選：C4．B【分析】先由求出AB=AC即，接著由余弦定理結(jié)合數(shù)量積的運算律計算得，再由平面向量模的求法即可計算比較得解.【詳解】設(shè)的角A、B、C的對邊為a、b、c，因為，所以，所以，故，所以AB=AC，即所以，

所以，，，因為，所以，即.故選：B.5．D【分析】分析出圓M與圓N的公共弦AB，滿足，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為1,0時，，利用余弦定理計算可得,由余弦函數(shù)的單調(diào)性確定最大，即為最大，計算即可得出結(jié)果.【詳解】可化為，故圓N的圓心為，半徑為，由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，所以且，故，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為1,0時，，在中，，又，在上單調(diào)遞減，故為銳角，且當(dāng)時，最大，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)最大時，取得最大值，且最大值為.故選：D6．A【分析】求得第一次打擊后就有部位損壞的概率和兩個部位都損壞的概率，再由條件概率公式代入即可求解.【詳解】解題分析記事件：第一次打擊后就有部位損壞，事件兩個部位都損壞，則，由條件概率公式可得.故選：A7．A【分析】由題意公比，利用求出公比為，可判斷ABC選項；利用等比數(shù)列前項和公式求判斷D.【詳解】，，則，由，且，得，即，解得，故A對；，不為單調(diào)數(shù)列，故B，C錯；又，故D錯，故選：A.8．D【分析】通過對進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點的存在性定理，判斷出函數(shù)在定義域上的零點，進而得出結(jié)果．【詳解】因為，所以當(dāng)時，由，解得或，且有，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，則需，所以；當(dāng)時，令，解得或，且有，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又,所以僅有一個負數(shù)零點，所以滿足題意；綜上，的取值范圍是或．故選：D.9．BC【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，設(shè)，再應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A,B,C選項，應(yīng)用基本不等式計算判斷D.【詳解】對于A，設(shè)在上單調(diào)遞增，由，得，即，故A錯誤；對于B，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，由，得，故B正確；對于C，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，故C正確；對于D，由，得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）；再結(jié)合，得，故D錯誤．故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)再應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性判斷選項.10．ABD【分析】對于A，根據(jù)長方體和棱錐的體積公式求解即可；對于B，連接交于，連接，則可得為直線與平面所成角，然后求解即可；對于C，由于,則可得的補角為異面直線與的夾角，然后在中求解即可；對于D，先求出長方體的外接球半徑，然后判斷點是否在該球上即可.【詳解】對于A，該幾何體的體積為，故A正確；對于B，連接交于，連接，由題意可知四棱錐為正四棱錐，所以平面，所以為直線與平面所成角，因為正方形的邊長為1，所以，所以，故B正確；對于C，設(shè)，因為，所以或其補角為異面直線與的夾角,且，所以，所以異面直線與的夾角余弦值為，故C錯誤；對于D，設(shè)長方體的外接球的球心為，半徑為，則為的中點，且，得，因為，所以點長方體的外接球上，所以存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上，故D正確.故選：ABD.11．AC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的形式討論導(dǎo)數(shù)的符號后可判斷A的正誤，再討論單調(diào)性后可判斷BD的正誤，根據(jù)題設(shè)中的恒等式可求的值，故可判斷C的正誤.【詳解】對于A，，當(dāng)時，或時，f'x<0；當(dāng)時，f'x故為的極大值點，故A正確；對于B，當(dāng)時，由A的分析同理可得：當(dāng)或時，f'x>0；當(dāng)時，f'故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，，，故只有一個零點；對于C，，由題設(shè)可得恒成立，故即，故C正確.對于D，取，由B的分析可得：在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，而，，此時在無最大值，故選：AC.12．【分析】作輔助線，將五面體分割為三棱柱與四棱錐，再利用錐體與柱體的體積關(guān)系計算該幾何體的體積．【詳解】由五面體ABCDEF可知，四邊形與四邊形都為平面四邊形.如圖所示，分別取，的中點，，連接，，，

因為面為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，因為，分別為，的中點，，，所以，則四邊形為平行四邊形，同理四邊形也為平行四邊形.則，平面，平面，所以平面，同理平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又四邊形也是平行四邊形，所以幾何體為三棱柱，已知EF與面ABCD的距離為2cm，即點到平面的距離.由題意，；又；所以該五面體的體積．故答案為：.13．/【分析】化簡曲線方程，三角換元，利用三角恒等變換化簡后求最值即可.【詳解】曲線即，由于在曲線上，令，則，（其中，，不妨設(shè)），，又，，當(dāng)時取得最大值.故答案為：14．【分析】由曲線與關(guān)于直線對稱，將問題轉(zhuǎn)化為曲線與有個交點，即方程有個不同的實根，進而轉(zhuǎn)化為和有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】曲線與關(guān)于直線對稱，又點關(guān)于直線的對稱點在曲線上，曲線與有個交點，即有個不同的實根，即方程有個不同的實根，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，h'x>0，hx在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，h'x<0，h，再根據(jù)當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出hx由于直線過定點，當(dāng)直線與hx的圖象相切時，設(shè)切點為，此時，即，可得，此時切線的斜率為，由圖可知，時，直線與hx的圖象有個交點，實數(shù)的取值范圍為0,1，故答案為：0,1.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.15．(1)(2)20萬元【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，再結(jié)合題意列出式子即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，先求出，再結(jié)合基本不等式的公式即可求解.【詳解】（1）因為營運六年時總利潤最大，最大為110萬元，所以二次函數(shù)的開口向下，且頂點坐標(biāo)為，所以設(shè)該函數(shù)為，營運三年時總利潤為20萬元，即，解得，所以.即.（2）由（1）知，所以營運的年平均總利潤為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故營運的年平均總利潤的最大值為20萬元.16．(1)(2).【分析】（1）首先利用數(shù)量積公式和二倍角公式，輔助角公式，化簡函數(shù)，再求周期；（2）由題意轉(zhuǎn)化為與函數(shù)在區(qū)間上的圖象恰有兩個交點，利用整體代入的方法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】（1），的最小正周期；（2）由題知在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線恰有兩個交點，令，作出的圖象與直線，如圖.由圖知，當(dāng)時，的圖象與直線有兩個交點，實數(shù)的取值范圍為.17．(1)證明見詳解；(2)證明見詳解；(3)2.【分析】（1）取的中點M，連接，由得到，再根據(jù)側(cè)面平面得到平面，得到；進而結(jié)合條件即可證得平面.（2）由（1）易得，由可得，從而，進而證得平面.（3）由（1）易得為直線與平面所成的角,,易得，根據(jù)棱錐的體積公式即可求得解.【詳解】（1）證明：在△中，取的中點M，連接，因為，所以，因為側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面所以平面，因為平面，所以，又，，平面，所以平面.（2）由（1）知平面，又平面，所以，在△中，因為，所以，所以，在同一平面中，因為，，所以，因為平面，平面，所以平面.（3）由（1）知平面，連接，則為直線與平面所成的角.在Rt△中，，所以,在Rt△中，，所以，解得.故三棱錐的體積.18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)Px0,y0，求出過點作的兩條漸近線的平行線方程，再利用和（2）設(shè)直線，，直曲聯(lián)立，利用韋達定理，三點共線，斜率之積為，列出等式求出點坐標(biāo)，結(jié)合向量關(guān)系得到四邊形是平行四邊形，然后再由弦長公式，點到直線的距離公式，以及換元法求導(dǎo)分析單調(diào)性，求最小值即可求解；【詳解】（1）

設(shè)Px0,y0過點作的兩條漸近線的平行線方程分別為：，則不妨取，于是，又，且，可得，所以雙曲線方程為，（2）

設(shè)直線，，聯(lián)立方程，可得，①，，由于直線與雙曲線的左右兩支相交，所以方程①有兩個同號的實根，，故，由三點共線得，②由得，③由②③解得，由可知，四邊形是平行四邊形，所以，，，，令，則，則，令，則，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增