高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題03正態(tài)分布(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題03正態(tài)分布(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、正態(tài)分布若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為對任意的,,它的圖象在軸的上方.可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為.特別地,當(dāng)時,稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即.由的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點：曲線在軸的上方，與軸不相交。（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱.（3）曲線在處達(dá)到峰值(最高點)（4）當(dāng)無限增大時，曲線無限接近軸.（5）軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.2、正態(tài)分布的原則二、典型題型題型一：正態(tài)密度函數(shù)1．（2021·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）某地處偏遠(yuǎn)山區(qū)的古鎮(zhèn)約有人口5000人，為了響應(yīng)國家號召，鎮(zhèn)政府多項并舉，鼓勵青壯勞力外出務(wù)工的同時發(fā)展以旅游業(yè)為龍頭的鄉(xiāng)村特色經(jīng)濟(jì)，到2020年底一舉脫貧.據(jù)不完全統(tǒng)計該鎮(zhèn)約有的人外出務(wù)工.下圖是根據(jù)2020年扶貧工作期間隨機(jī)調(diào)查本地100名在外務(wù)工人員的年收入(單位：千元)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)怙計該鎮(zhèn)外出務(wù)工人員的創(chuàng)收總額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；（2）假設(shè)該鎮(zhèn)外出務(wù)工人員年收入服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)為，其中為樣本平均值.若的最大值為，求的值；（3）完成脫貧任務(wù)后，古鎮(zhèn)黨政班子并不懈怠，決心帶領(lǐng)全鎮(zhèn)人民在奔小康道路上再上一個新臺階，出臺了多項優(yōu)惠政策，鼓勵本地在外人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).調(diào)查顯示務(wù)工收入在和的人群愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)比例分別為和.從樣本人群收入在的人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，設(shè)為愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.2．（2018·高二課時練習(xí)）正態(tài)總體當(dāng)時的概率密度函數(shù)是(1)證明是偶函數(shù);(2)求的最大值;(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明的增減性.3．（2014·高二課時練習(xí)）已知某種零件的尺寸ξ(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且.(1)求概率密度函數(shù)；(2)估計尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？題型二：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用1．（2023·全國·高二課堂例題）某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X（單位：g）服從正態(tài)分布，求：（參考數(shù)據(jù)：，）(1)隨機(jī)抽取1罐，其凈重超過的概率；(2)隨機(jī)抽取1罐，其凈重在與之間的概率.2．（2022·河南開封·河南省蘭考縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：年高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績，．(1)若規(guī)定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．附：當(dāng)時，，．3．（2022·四川成都·石室中學(xué)校考三模）2021年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時，為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時長(單位：小時)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計算：若，令，則，且．(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；(ii)從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到0.001)，以及Z的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：，，，，.若，則，，.4．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨立的，且每個學(xué)生在每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1．（1）將每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為，求的期望和方差；（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)比較大時，二項分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量，令，則．當(dāng)時，對于任意實數(shù)，記．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對應(yīng)的概率值．例如當(dāng)時，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是的值．0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808，0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自習(xí)時間閱覽室座位不夠用的概率；②若要使在晚自習(xí)時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？題型三：正態(tài)分布的實際應(yīng)用1．（2024上·湖南衡陽·高三統(tǒng)考期末）已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：）.(1)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；(2)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）袋，記質(zhì)量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.2．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習(xí)）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機(jī)選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計算得：.(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.(2)假設(shè)生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.記事件：在森林公園內(nèi)再從中隨機(jī)選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間.①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求；②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計時，得出了如下結(jié)論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.在這個條件下，求，并判斷護(hù)林員的結(jié)論是否正確，說明理由.參考公式：若，則.參考數(shù)據(jù)：.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年中秋國慶雙節(jié)期間，我國繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費點，為方便統(tǒng)計，時間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數(shù)進(jìn)行初步處理，已知，時間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：時間段頻數(shù)100300mn(1)現(xiàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數(shù)為，求的分布列與期望；(2)由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果四舍五入保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③.4．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管，質(zhì)檢員從中抽出若干根對其直徑（單位：）進(jìn)行測量，得出這批鋼管的直徑服從正態(tài)分布.（參考數(shù)據(jù)：若，則；；）(1)如果鋼管的直徑滿足為合格品，求該批鋼管為合格品的概率（精確到0.01）；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，現(xiàn)要從40根該種鋼管中任意挑選3根，求次品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.題型四：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)1．（2023下·廣西玉林·高二?？计谥校┮阎S機(jī)變量，且其正態(tài)曲線在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且．(1)求參數(shù)，的值．(2)求．附：若，則，2．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）3D打印即快速成型技術(shù)的一種，又稱增材制造，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．中國的3D打印技術(shù)在飛機(jī)上的應(yīng)用已達(dá)到規(guī)模化、工程化，處于世界領(lǐng)先位置．我國某企業(yè)利用3D打印技術(shù)生產(chǎn)飛機(jī)的某種零件，8月1日質(zhì)檢組從當(dāng)天生產(chǎn)的零件中抽取了部分零件作為樣本，檢測每個零件的某項質(zhì)量指標(biāo)，得到下面的檢測結(jié)果：質(zhì)量指標(biāo)頻率(1)根據(jù)頻率分布表，估計8月1日生產(chǎn)的該種零件的質(zhì)量指標(biāo)的平均值和方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)由頻率分布表可以認(rèn)為，該種零件的質(zhì)量指標(biāo)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①若，求的值；②若8月1日該企業(yè)共生產(chǎn)了500件該種零件，問這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于的件數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：，若，則，，．3．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考三模）為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪成如下頻率分布直方圖(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中指標(biāo)值的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中指標(biāo)的值服從正態(tài)分布（i）若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計其中血液指標(biāo)的值不超過的家禽數(shù)量（結(jié)果保留整數(shù)）；（ii）在統(tǒng)計學(xué)中，把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機(jī)抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中指標(biāo)的值大于，判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.參考數(shù)據(jù)：①；②若，則4．（2022下·云南昆明·高二云南師大附中校考期中）為普及傳染病防治知識，增強(qiáng)市民的疾病防范意識，提高自身保護(hù)能力，某市舉辦傳染病防治知識有獎競賽．現(xiàn)從該市所有參賽者中隨機(jī)抽取了100名參賽者的競賽成績，并以此為樣本繪制了如表所示的頻率分布表．競賽成績?nèi)藬?shù)610183316116(1)求這100名參賽者的競賽成績的樣本均值和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若該市所有參賽者的成績X近似地服從正態(tài)分布，用樣本估計總體，近似為樣本均值，近似為樣本方差，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（參考數(shù)據(jù)：）①如果按照的比例將參賽者的競賽成績劃分為參與獎、二等獎、一等獎、特等獎四個等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線（精確到整數(shù)）；②若該市共有10000名市民參加了競賽，試估計參賽者中獲得特等獎的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，．題型五：3原則1．（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考階段練習(xí)）近年來，隨著電腦、智能手機(jī)的迅速普及，我國在線教育行業(yè)出現(xiàn)了較大的發(fā)展.某在線教育平臺為了解利用該平臺學(xué)習(xí)的高一學(xué)生化學(xué)學(xué)習(xí)效果，舉行了一次化學(xué)測試，并從中隨機(jī)抽查了200名學(xué)生的化學(xué)成績（滿分100分），將他們的成績分成以下6組：，，，…，，統(tǒng)計結(jié)果如下面的頻數(shù)分布表所示.組別頻數(shù)203040603020(1)現(xiàn)利用分層抽樣的方法從前3組中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取4人調(diào)查其成績不理想的原因，試求這4人中至少有2人來自前2組的概率.(2)高一學(xué)生的這次化學(xué)成績Z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得，且這次測試恰有2萬名學(xué)生參加.（i）試估計這些學(xué)生這次化學(xué)成績在區(qū)間內(nèi)的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（ii）為了提升學(xué)生的成績，該平臺決定免費贈送給在平臺學(xué)習(xí)的學(xué)生若干學(xué)習(xí)視頻，具體贈送方案如下：方案1：每人均贈送25小時學(xué)習(xí)視頻；方案2：這次測試中化學(xué)成績不高于56.19分的學(xué)生贈送40小時的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績在內(nèi)的學(xué)生贈送30小時的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績高于84.81分的學(xué)生贈送10小時的學(xué)習(xí)視頻.問：哪種方案該平臺贈送的學(xué)習(xí)視頻總時長更多?請根據(jù)數(shù)據(jù)計算說明.參考數(shù)據(jù)：則，.2．（2023·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）2015年5月，國務(wù)院印發(fā)《中國制造》，是我國由制造業(yè)大國轉(zhuǎn)向制造業(yè)強(qiáng)國戰(zhàn)略的行動綱領(lǐng).經(jīng)過多年的發(fā)展，我國制造業(yè)的水平有了很大的提高，出現(xiàn)了一批在國際上有影響的制造企業(yè).我國的造船業(yè)?光伏產(chǎn)業(yè)?5G等已經(jīng)在國際上處于領(lǐng)先地位，我國的精密制造也有了長足發(fā)展.已知某精密設(shè)備制造企業(yè)生產(chǎn)某種零件，根據(jù)長期檢測結(jié)果，得知生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，且質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的零件稱為優(yōu)等品.(1)求該企業(yè)生產(chǎn)的零件為優(yōu)等品的概率（結(jié)果精確到0.01）；(2)從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取5件，隨機(jī)變量表示抽取的5件中優(yōu)等品的個數(shù)，求的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.附：0.9973.3．（2023下·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識有獎競賽，競賽類勵規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲得一等獎，其他學(xué)生不得獎，為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

若該市所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：(1)若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；(2)若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于隨機(jī)取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附參考數(shù)據(jù)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.4．（2023下·福建泉州·高二校考期中）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取個零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：）：.設(shè)這個數(shù)據(jù)的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為．(1)求與；(2)假設(shè)這批零件的內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布．從這批零件中隨機(jī)抽取個，設(shè)這個零件中內(nèi)徑小于的個數(shù)為，求.參考數(shù)據(jù)：若，則，，．三、專項訓(xùn)練1．（2024上·江西·高三校聯(lián)考期末）面試是求職者進(jìn)入職場的一個重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯不得分.(1)若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.附：若（），則，，.2．（2024上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長度近似服從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長度不小于6.04．(1)求；(2)如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？說明：對任何一個正態(tài)分布來說，通過轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到．可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.22.32.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99743．（2024上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質(zhì)量均服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布．(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機(jī)抽取K（，）個數(shù)據(jù)，記這K個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機(jī)變量請利用該結(jié)論解決問題；假設(shè)面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機(jī)購買25個面包，記這25個面包質(zhì)量的平均值為Y，求；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個面包，求取出黃色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校為了了解高一學(xué)生安全知識水平，對高一學(xué)生進(jìn)行“消防安全知識測試”，并且規(guī)定測試成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”．若該年級“不合格”的人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則該年級知識“達(dá)標(biāo)”；否則該年級知識“不達(dá)標(biāo)”，需要重新對該年級學(xué)生進(jìn)行消防安全培訓(xùn)．現(xiàn)從全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，經(jīng)統(tǒng)計得，10名學(xué)生的平均成績?yōu)?4分，標(biāo)準(zhǔn)差為7．(1)假設(shè)高一學(xué)生的知識測試成績服從正態(tài)分布．將上述10名學(xué)生的成績作為樣本，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值．利用估計值估計：高一學(xué)生知識是否“達(dá)標(biāo)”？(2)已知知識測試中的多項選擇題中，有4個選項．小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．這樣，小明在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項．假設(shè)小明在做某道多項選擇題時，基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機(jī)選擇．記表示小明做完該道多項選擇題后所得的分?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）某市有20000名學(xué)生參加了一項知識競賽活動（知識競賽分為初賽和復(fù)賽），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初賽成績作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值和分位數(shù)．(2)若所有學(xué)生的初賽成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，，初賽成績不低于89分的學(xué)生才能參加復(fù)賽，試估計能參加復(fù)賽的人數(shù)．(3)復(fù)賽設(shè)置了三道試題，第一、二題答對得30分，第三題答對得40分，答錯得0分．已知某學(xué)生已通過初賽，他在復(fù)賽中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復(fù)賽成績?yōu)椋蟮姆植剂屑皵?shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．6．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）攀枝花屬于亞熱帶季風(fēng)氣候區(qū)，水果種類豐富．其中，“紅格臍橙”已經(jīng)“中華人民共和國農(nóng)業(yè)部2010年第1364號公告”予以登記，根據(jù)其種植規(guī)模與以往的種植經(jīng)驗，產(chǎn)自該果園的單個“紅格臍橙”的果徑（最大橫切面直徑，單位：）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布．(1)一顧客購買了10個該果園的“紅格臍橙”，求會買到果徑小于的概率；(2)為了提高利潤，該果園每年投入一定的資金，對種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn)．如圖是2013年至2022年（單位：萬元）與年利潤增量y（單位：萬元）的散點圖：

該果園為了預(yù)測2023年投資金額為20萬元時的年利潤增量，建立了關(guān)于的兩個回歸模型；模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；模型②：由圖中樣本點的分布，可以認(rèn)為樣本點集中在曲線：的附近．對投資金額做交換，令，且有，，，．（?。└鶕?jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中關(guān)于的回歸方程；（ⅱ）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測投資金額為20萬元時的年利潤增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．回歸模型模型①模型②回歸方程102.2836.19附：若隨機(jī)變量，則，；樣本（）的最小二乘估計公式為，；相關(guān)指數(shù)．8．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實驗中學(xué)校考期中）全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）．(2)由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中.①估計這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．9．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，激勵青年學(xué)生積極奮發(fā)向上.某學(xué)校團(tuán)委組織學(xué)生參加了“青春心向黨，奮進(jìn)新時代”為主題的知識競賽活動，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績（卷面共100分）頻率分布直方圖如圖所示.

(1)將此次競賽成績近似看作服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差S分別作為，的近似值），已知樣本的標(biāo)準(zhǔn)差.現(xiàn)從該校參與知識競賽的所有學(xué)生中任取100人，記這100人中知識競賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望；(2)從得分區(qū)間和的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機(jī)抽測3份試卷，若已知抽測的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測3份試卷有2份來自區(qū)間的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則

，，.10．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中?？茧A段練習(xí)）為落實體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》，A市共100000名男學(xué)生進(jìn)行100米短跑訓(xùn)練，在某次短跑測試中，從中抽取100名男生作為樣本，統(tǒng)計他們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)規(guī)定男生短跑成績不超過13.5秒為優(yōu)秀.

(1)估計樣本中男生短跑成績的平均數(shù).（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)根據(jù)統(tǒng)計分析，A市男生的短跑成績X服從正態(tài)分布，以（1）中所求的樣本平均數(shù)作為的估計值，求下列問題：①若從A市的男生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績在以外的人數(shù)為Y，求；②在這100名男生中、任意抽取2名成績優(yōu)秀的男生的條件下，將該2人成績納入全市排名（短跑周時越少、排名越靠前），能進(jìn)入全市前2275名的人數(shù)為x，求x的期望.附：若，則：，，，專題03正態(tài)分布(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、正態(tài)分布若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為對任意的,,它的圖象在軸的上方.可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為.特別地,當(dāng)時,稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即.由的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點：曲線在軸的上方，與軸不相交。（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱.（3）曲線在處達(dá)到峰值(最高點)（4）當(dāng)無限增大時，曲線無限接近軸.（5）軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.2、正態(tài)分布的原則二、典型題型題型一：正態(tài)密度函數(shù)1．（2021·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）某地處偏遠(yuǎn)山區(qū)的古鎮(zhèn)約有人口5000人，為了響應(yīng)國家號召，鎮(zhèn)政府多項并舉，鼓勵青壯勞力外出務(wù)工的同時發(fā)展以旅游業(yè)為龍頭的鄉(xiāng)村特色經(jīng)濟(jì)，到2020年底一舉脫貧.據(jù)不完全統(tǒng)計該鎮(zhèn)約有的人外出務(wù)工.下圖是根據(jù)2020年扶貧工作期間隨機(jī)調(diào)查本地100名在外務(wù)工人員的年收入(單位：千元)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)怙計該鎮(zhèn)外出務(wù)工人員的創(chuàng)收總額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；（2）假設(shè)該鎮(zhèn)外出務(wù)工人員年收入服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)為，其中為樣本平均值.若的最大值為，求的值；（3）完成脫貧任務(wù)后，古鎮(zhèn)黨政班子并不懈怠，決心帶領(lǐng)全鎮(zhèn)人民在奔小康道路上再上一個新臺階，出臺了多項優(yōu)惠政策，鼓勵本地在外人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).調(diào)查顯示務(wù)工收入在和的人群愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)比例分別為和.從樣本人群收入在的人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，設(shè)為愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）(千元)；（2）；（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出100名在外務(wù)工人員的年平均收入，再乘以可得結(jié)果；（2）根據(jù)概率密度函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，結(jié)合已知最大值可得結(jié)果；（3）求出隨機(jī)變量的可能取值及其概率可得分布列，根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直可知100名在外務(wù)工人員的平均年收入為(千元)∴該鎮(zhèn)外出務(wù)工人員的創(chuàng)收總額為(千元).（2）∵概率密度函數(shù)為，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，∴，解得.（3）∵，，∴樣本中年收入在(即)和(即)內(nèi)愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)分別為人和人.∴樣本人群收入在內(nèi)共25人，其中愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的共4人，∴隨機(jī)變量的可能取值分別為0，1，2，3，∴；；，.∴隨機(jī)變量的分布列為0123∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握利用頻率分布直方圖求平均數(shù)、正確求出離散型隨機(jī)變量的分布列是解題關(guān)鍵.2．（2018·高二課時練習(xí)）正態(tài)總體當(dāng)時的概率密度函數(shù)是(1)證明是偶函數(shù);(2)求的最大值;(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明的增減性.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)當(dāng)時是單調(diào)遞增；當(dāng)時是單調(diào)遞減【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性;；（2）結(jié)合的最值情況和是關(guān)于的增函數(shù)，即可得到最大值；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的定義即可得到答案（1）對于任意的,,所以是偶函數(shù).（2）令,當(dāng)時,;（3）任取且，有，所以，因為是上的增函數(shù)，所以，所以，即，所以當(dāng)時是單調(diào)遞增，又因為是偶函數(shù),所以在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時是單調(diào)遞增；當(dāng)時是單調(diào)遞減3．（2014·高二課時練習(xí)）已知某種零件的尺寸ξ(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且.(1)求概率密度函數(shù)；(2)估計尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？【答案】(1)；(2)68.26%.【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱和峰值為計算即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求概率即可.【詳解】（1）由于正態(tài)曲線在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，且處取得最大值，因此.根據(jù)題意得，所以.故概率密度函數(shù)解析式是.（2）因為，，所以，所以尺寸在72mm～88mm之間的零件的百分率68.26%題型二：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用1．（2023·全國·高二課堂例題）某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X（單位：g）服從正態(tài)分布，求：（參考數(shù)據(jù)：，）(1)隨機(jī)抽取1罐，其凈重超過的概率；(2)隨機(jī)抽取1罐，其凈重在與之間的概率.【答案】(1)0.4207；(2)0.9544.【分析】（1）（2）將正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形式，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性求概率即可.【詳解】（1）.故隨機(jī)抽取1罐，其凈重超過的概率是0.4207，（2）.故隨機(jī)抽取1罐，其凈重在與之間的概率為0.9544.2．（2022·河南開封·河南省蘭考縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：年高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績，．(1)若規(guī)定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．附：當(dāng)時，，．【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）分析可得，由，解出的范圍，即可得出結(jié)論；（2）由可得出，計算得出，分析可知，利用二項分布的期望和方差公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：由題意可知，學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目合格的比例為，估計這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分為分.（2）解：若，則，，由題意可知，，.3．（2022·四川成都·石室中學(xué)校考三模）2021年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時，為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時長(單位：小時)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計算：若，令，則，且．(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；(ii)從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到0.001)，以及Z的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：，，，，.若，則，，.【答案】(1)平均數(shù)9，樣本方差1.64(2)(i)0.7823；(ii)0.993，4.35【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)和方差的計算方法計算即可；(2)(i)根據(jù)(1)中所得平均數(shù)和方差，幾何正態(tài)分布的性質(zhì)可求μ和σ，根據(jù)題中所給信息即可求；(ii)求出，由題可知Z服從二項分布，根據(jù)二項分布概率計算方法即可求，根據(jù)二項分布數(shù)學(xué)期望公式即可求其數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1），（2）(i)由題意并結(jié)合(1)可知，，，∴，∴．(ii)由(ⅰ)可知，，∴，∴，．4．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨立的，且每個學(xué)生在每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1．（1）將每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為，求的期望和方差；（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)比較大時，二項分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量，令，則．當(dāng)時，對于任意實數(shù)，記．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對應(yīng)的概率值．例如當(dāng)時，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是的值．0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808，0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自習(xí)時間閱覽室座位不夠用的概率；②若要使在晚自習(xí)時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？【答案】（1），；（2）①；②22.【分析】（1）顯然，根據(jù)二項分布的期望和方差公式，直接求解即可得解；（2）①根據(jù)題意可得，，則，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可得解；②查表可得，，則，即，再結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即可得解.【詳解】（1）由題意可得，隨機(jī)變量X服從二項分布，則，，（2）①由于（1）中二項分布的n值增大，故可以認(rèn)為隨機(jī)變量X服從二項分布，由（1）可得，，可得，則，則，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì)可得，，故，故，在晚自習(xí)時間閱覽室座位不夠用的概率為；②查表可得，，則，故座位數(shù)至少要1016個，，故閱覽室座位至少需要添加22個．【點睛】本題考查了二項分布和正態(tài)，考查了利用二項分布的性質(zhì)求期望方差，同時考查了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率值，考查了轉(zhuǎn)化思想和一定的計算能力，屬于中檔題.本題的關(guān)鍵點有：（1）掌握二項分布和正態(tài)分布的概念性質(zhì)及應(yīng)用；（2）通過正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化求概率值解決問題.題型三：正態(tài)分布的實際應(yīng)用1．（2024上·湖南衡陽·高三統(tǒng)考期末）已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：）.(1)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；(2)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取（為正整數(shù)）袋，記質(zhì)量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.【答案】(1)分布列見解析(2)199【分析】（1）根據(jù)題意可求得，從而求出，由的可能取值為，從而求出相應(yīng)概率即可列出分布列.（2）由（1）及可得，且，利用二項分布求方差公式從而可求解.【詳解】（1）依題意可得，則，的可能取值為，，，所以的分布列為0120.250.50.25（2）因為，所以.2．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機(jī)選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計算得：.(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.(2)假設(shè)生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.記事件：在森林公園內(nèi)再從中隨機(jī)選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間.①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求；②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計時，得出了如下結(jié)論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.在這個條件下，求，并判斷護(hù)林員的結(jié)論是否正確，說明理由.參考公式：若，則.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)，.(2)①；②，護(hù)林員給出的結(jié)論是錯誤的，理由見解析.【分析】（1）利用均值（平均數(shù)）的計算公式和方差公式，計算即可；（2）①12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間，是一個獨立重復(fù)實驗，其中在區(qū)間內(nèi)等價于發(fā)生；②根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其中在區(qū)間內(nèi)等價于發(fā)生，計算得出，再比較即可.【詳解】（1）樣本均值，樣本方差.（2）①由題意可得，樹干直徑（單位：近似服從正態(tài)分布.在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間的概率是，所以.②若樹干直徑近似服從正態(tài)分布，此時事件發(fā)生的概率遠(yuǎn)小于①中根據(jù)測量結(jié)果得出的概率估計值.事件是一個小概率事件，但是第一次隨機(jī)選取的12棵生長了4年的紅松樹，事件發(fā)生了，所以認(rèn)為護(hù)林員給出的結(jié)論是錯誤的.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年中秋國慶雙節(jié)期間，我國繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費點，為方便統(tǒng)計，時間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數(shù)進(jìn)行初步處理，已知，時間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：時間段頻數(shù)100300mn(1)現(xiàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數(shù)為，求的分布列與期望；(2)由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果四舍五入保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③.【答案】(1)分布列見解析，期望為(2)【分析】（1）根據(jù)分層抽樣、超幾何分布等知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）先求得，然后根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【詳解】（1）因為，，所以，.由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取的10輛車中，在9：00~9：40通過的車輛數(shù)位于時間段，這兩個區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)為，車輛數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4，所以X的分布列為所以.（2）這1000輛車在時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值，即9：04，，所以.估計在這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是通過的車輛數(shù)，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，，所以估計在這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為.4．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管，質(zhì)檢員從中抽出若干根對其直徑（單位：）進(jìn)行測量，得出這批鋼管的直徑服從正態(tài)分布.（參考數(shù)據(jù)：若，則；；）(1)如果鋼管的直徑滿足為合格品，求該批鋼管為合格品的概率（精確到0.01）；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，現(xiàn)要從40根該種鋼管中任意挑選3根，求次品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.95(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）由正態(tài)分布的均值與方差可得，為合格品即滿足，由參考數(shù)據(jù)可得該批鋼管為合格品的概率；（2）由（1）知，40根鋼管中合格品為38根，次品為2根，任意挑選3根，按離散型變量的分布列步驟，由古典概型概率公式逐一求解每一個取值對應(yīng)的概率即可.【詳解】（1）由題意這批鋼管的直徑服從正態(tài)分布.則，則，所以，由題意，鋼管直徑滿足為合格品，由，所以該批鋼管為合格品的概率約為.（2）由（1）知，40根鋼管中合格品為38根，次品為2根，任意挑選3根，則次品數(shù)的可能取值為0,1,2，，，.次品數(shù)的分布列為012∴.題型四：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)1．（2023下·廣西玉林·高二校考期中）已知隨機(jī)變量，且其正態(tài)曲線在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且．(1)求參數(shù)，的值．(2)求．附：若，則，【答案】(1)，(2)0.1359【分析】（1）由題設(shè)及特殊區(qū)間的概率值得到，即可確定參數(shù)；（2）利用正態(tài)分布的對稱性求、，進(jìn)而求目標(biāo)概率值.【詳解】（1）由題設(shè)，而，則，可得.（2）由（1）知：，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，即，所以，故，由，則，所以，綜上，.

2．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）3D打印即快速成型技術(shù)的一種，又稱增材制造，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．中國的3D打印技術(shù)在飛機(jī)上的應(yīng)用已達(dá)到規(guī)?；⒐こ袒?，處于世界領(lǐng)先位置．我國某企業(yè)利用3D打印技術(shù)生產(chǎn)飛機(jī)的某種零件，8月1日質(zhì)檢組從當(dāng)天生產(chǎn)的零件中抽取了部分零件作為樣本，檢測每個零件的某項質(zhì)量指標(biāo)，得到下面的檢測結(jié)果：質(zhì)量指標(biāo)頻率(1)根據(jù)頻率分布表，估計8月1日生產(chǎn)的該種零件的質(zhì)量指標(biāo)的平均值和方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)由頻率分布表可以認(rèn)為，該種零件的質(zhì)量指標(biāo)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①若，求的值；②若8月1日該企業(yè)共生產(chǎn)了500件該種零件，問這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于的件數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：，若，則，，．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)和方差的公式運(yùn)算求解；（2）①根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)運(yùn)算求解；②根據(jù)題意結(jié)合二項分布的概率公式列式求解即可.【詳解】（1）由題意可得：，（2）由（1）可得：，即.①因為，所以.②由①可知：，設(shè)這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于的件數(shù)為，則，可得，解得，且，則，即當(dāng)時，概率最大，所以這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于的件數(shù)最有可能是489.3．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考三模）為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪成如下頻率分布直方圖(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中指標(biāo)值的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中指標(biāo)的值服從正態(tài)分布（i）若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計其中血液指標(biāo)的值不超過的家禽數(shù)量（結(jié)果保留整數(shù)）；（ii）在統(tǒng)計學(xué)中，把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機(jī)抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中指標(biāo)的值大于，判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.參考數(shù)據(jù)：①；②若，則【答案】(1)7.33(2)（i）841；（ii）不正常，理由見解析.【分析】（1）先判斷中位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)出中位數(shù)，利用中位數(shù)左側(cè)頻率和為0.5求解即可；（2）（i）由正態(tài)分布的對稱性及特殊區(qū)間的概率求得，再計算家禽數(shù)量即可；（ii）先求出，再由獨立重復(fù)實驗的概率公式求出恰有3只血液中指標(biāo)的值大于的概率，和比較作出判斷即可.【詳解】（1）由可得中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得；（2）（i）由可得，則，只；（ii），，隨機(jī)抽檢20只相當(dāng)于進(jìn)行20次獨立重復(fù)實驗，設(shè)恰有3只血液中指標(biāo)的值大于為事件，則，所以這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況不正常.4．（2022下·云南昆明·高二云南師大附中?？计谥校槠占皞魅静》乐沃R，增強(qiáng)市民的疾病防范意識，提高自身保護(hù)能力，某市舉辦傳染病防治知識有獎競賽．現(xiàn)從該市所有參賽者中隨機(jī)抽取了100名參賽者的競賽成績，并以此為樣本繪制了如表所示的頻率分布表．競賽成績?nèi)藬?shù)610183316116(1)求這100名參賽者的競賽成績的樣本均值和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若該市所有參賽者的成績X近似地服從正態(tài)分布，用樣本估計總體，近似為樣本均值，近似為樣本方差，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（參考數(shù)據(jù)：）①如果按照的比例將參賽者的競賽成績劃分為參與獎、二等獎、一等獎、特等獎四個等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線（精確到整數(shù)）；②若該市共有10000名市民參加了競賽，試估計參賽者中獲得特等獎的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，．【答案】(1)；(2)①分?jǐn)?shù)低于50的為參與獎，分?jǐn)?shù)大于等于50小于65的為二等獎，分?jǐn)?shù)大于等于65小于80的為一等獎，分?jǐn)?shù)大于等于80的為特等獎；②【分析】（1）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)利用平均數(shù)公式和方差公式可求得結(jié)果，（2）①設(shè)競賽成績達(dá)到a及以上為特等獎；成績達(dá)到b但小于a為一等獎，成績達(dá)到c但小于b為二等獎，成績未達(dá)到c為參與獎，則根據(jù)題意和正態(tài)分布的性質(zhì)可得，，從而可得答案，②根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解【詳解】（1）由頻率分布表可得（2）該市所有參賽者的成績X近似地服從正態(tài)分布，①設(shè)競賽成績達(dá)到a及以上為特等獎；成績達(dá)到b但小于a為一等獎，成績達(dá)到c但小于b為二等獎，成績未達(dá)到c為參與獎，則，由于，因此；所以分?jǐn)?shù)低于50的為參與獎，分?jǐn)?shù)大于等于50小于65的為二等獎，分?jǐn)?shù)大于等于65小于80的為一等獎，分?jǐn)?shù)大于等于80的為特等獎．②估計參賽者中超過80分的人數(shù)為．題型五：3原則1．（2023上·江西南昌·高二南昌十中?？茧A段練習(xí)）近年來，隨著電腦、智能手機(jī)的迅速普及，我國在線教育行業(yè)出現(xiàn)了較大的發(fā)展.某在線教育平臺為了解利用該平臺學(xué)習(xí)的高一學(xué)生化學(xué)學(xué)習(xí)效果，舉行了一次化學(xué)測試，并從中隨機(jī)抽查了200名學(xué)生的化學(xué)成績（滿分100分），將他們的成績分成以下6組：，，，…，，統(tǒng)計結(jié)果如下面的頻數(shù)分布表所示.組別頻數(shù)203040603020(1)現(xiàn)利用分層抽樣的方法從前3組中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取4人調(diào)查其成績不理想的原因，試求這4人中至少有2人來自前2組的概率.(2)高一學(xué)生的這次化學(xué)成績Z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得，且這次測試恰有2萬名學(xué)生參加.（i）試估計這些學(xué)生這次化學(xué)成績在區(qū)間內(nèi)的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（ii）為了提升學(xué)生的成績，該平臺決定免費贈送給在平臺學(xué)習(xí)的學(xué)生若干學(xué)習(xí)視頻，具體贈送方案如下：方案1：每人均贈送25小時學(xué)習(xí)視頻；方案2：這次測試中化學(xué)成績不高于56.19分的學(xué)生贈送40小時的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績在內(nèi)的學(xué)生贈送30小時的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績高于84.81分的學(xué)生贈送10小時的學(xué)習(xí)視頻.問：哪種方案該平臺贈送的學(xué)習(xí)視頻總時長更多?請根據(jù)數(shù)據(jù)計算說明.參考數(shù)據(jù)：則，.【答案】(1)(2)（i）0.8186；（ii）方案2該平臺贈送的學(xué)習(xí)視頻總時長更多.【分析】（1）由古典概率公式結(jié)合對立事件的概率求解即可；（2）（i）由平均數(shù)的計算公式求出，再由原則求解即可；（ii）對于方案2，設(shè)每位學(xué)生所獲贈學(xué)習(xí)視頻的小時數(shù)為X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，與方案一比較即可得出答案..【詳解】（1）用分層抽樣的方法抽取9人，則第1，2，3組各抽取了2，3，4人，?從這9人中抽取4人，則這4人中至少有2人來自前2組的概率為.（2）（i）由題意得：中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1所以樣本平均數(shù)為.因為，，所以，，，，所以.（ii）對于方案2，設(shè)每位學(xué)生所獲贈學(xué)習(xí)視頻的小時數(shù)為X，則X的所有可能取值為40，30，10.化學(xué)成績不高于56.19分的概率為，則數(shù)學(xué)期望（小時）.因為，所以方案2該平臺贈送的學(xué)習(xí)視頻總時長更多.2．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）2015年5月，國務(wù)院印發(fā)《中國制造》，是我國由制造業(yè)大國轉(zhuǎn)向制造業(yè)強(qiáng)國戰(zhàn)略的行動綱領(lǐng).經(jīng)過多年的發(fā)展，我國制造業(yè)的水平有了很大的提高，出現(xiàn)了一批在國際上有影響的制造企業(yè).我國的造船業(yè)?光伏產(chǎn)業(yè)?5G等已經(jīng)在國際上處于領(lǐng)先地位，我國的精密制造也有了長足發(fā)展.已知某精密設(shè)備制造企業(yè)生產(chǎn)某種零件，根據(jù)長期檢測結(jié)果，得知生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，且質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的零件稱為優(yōu)等品.(1)求該企業(yè)生產(chǎn)的零件為優(yōu)等品的概率（結(jié)果精確到0.01）；(2)從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取5件，隨機(jī)變量表示抽取的5件中優(yōu)等品的個數(shù)，求的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.附：0.9973.【答案】(1)0.82(2)分布列見解析，【分析】（1）產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，結(jié)合原則，求優(yōu)等品的概率；（2）隨機(jī)變量的取值，計算相應(yīng)的概率，列出分布列，利用二項分布求數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】（1）因為產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值，則，所以優(yōu)等品的概率，所以該企業(yè)生產(chǎn)零件為優(yōu)等品的概率約為0.82.（2）由（1）知產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為0.82，由題意知，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，3，4，5；故的分布列為，即012345所以.3．（2023下·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識有獎競賽，競賽類勵規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲得一等獎，其他學(xué)生不得獎，為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

若該市所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：(1)若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；(2)若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于隨機(jī)取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附參考數(shù)據(jù)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)1587；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）由樣本頻率分布直方圖得，求解樣本平均數(shù)的估計值，即可得正泰分布的均值，按照正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)；（2）由樣本估計總體可知隨機(jī)變量服從二項分布，根據(jù)二項分布確定概率分布列與數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）解：由樣本頻率分布直方圖得，樣本平均數(shù)的估計值：，則所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生競賽成績在64分以上的概率為，所以隨機(jī)變量服從二項分布，所以，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以期望為.4．（2023下·福建泉州·高二校考期中）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取個零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：）：.設(shè)這個數(shù)據(jù)的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為．(1)求與；(2)假設(shè)這批零件的內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布．從這批零件中隨機(jī)抽取個，設(shè)這個零件中內(nèi)徑小于的個數(shù)為，求.參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平均數(shù)和方差公式可求得、的值；（2）求出，分析可知，利用二項分布的期望公式以及期望的性質(zhì)可得出的值.【詳解】（1）解：，，則.（2）解：由（1）可知，，則，所以，，由題意可知，，則，由期望的性質(zhì)可得.三、專項訓(xùn)練1．（2024上·江西·高三校聯(lián)考期末）面試是求職者進(jìn)入職場的一個重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯不得分.(1)若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.附：若（），則，，.【答案】(1)16(2)【分析】（1）由正態(tài)分布的性質(zhì)可求得，由此可估計進(jìn)入面試的人數(shù)．（2）由已知得的可能取值為0，2，4，6，8，10，分別求得取每一個可能的值的概率，得的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求得答案.【詳解】（1）因為服從正態(tài)分布，所以，，，所以.進(jìn)入面試的人數(shù)，.因此，進(jìn)入面試的人數(shù)大約為16.（2）由題意可知，的可能取值為0，2，4，6，8，10，；；.所以.2．（2024上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長度近似服從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長度不小于6.04．(1)求；(2)如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？說明：對任何一個正態(tài)分布來說，通過轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到．可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.22.32.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974【答案】(1)(2)根【分析】（1）求出，進(jìn)而求出即可求解；（2）根據(jù)題意求出即可求解.【詳解】（1），，，，，；（2），不合格的金屬棒有：根．3．（2024上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質(zhì)量均服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布．(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機(jī)抽取K（，）個數(shù)據(jù)，記這K個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機(jī)變量請利用該結(jié)論解決問題；假設(shè)面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機(jī)購買25個面包，記這25個面包質(zhì)量的平均值為Y，求；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個面包，求取出黃色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)題設(shè)求得隨機(jī)變量的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，由條件算出，利用正態(tài)分布圖的對稱性性質(zhì)即可求得；（2）根據(jù)題意，得出隨機(jī)變量的可能值，結(jié)合條件可得概率，從而可得分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意則，所以，于是隨機(jī)變量的期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為，因，故隨機(jī)變量的分布列為：012p所以數(shù)學(xué)期望為：4．（2024·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校為了了解高一學(xué)生安全知識水平，對高一學(xué)生進(jìn)行“消防安全知識測試”，并且規(guī)定測試成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”．若該年級“不合格”的人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則該年級知識“達(dá)標(biāo)”；否則該年級知識“不達(dá)標(biāo)”，需要重新對該年級學(xué)生進(jìn)行消防安全培訓(xùn)．現(xiàn)從全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，經(jīng)統(tǒng)計得，10名學(xué)生的平均成績?yōu)?4分，標(biāo)準(zhǔn)差為7．(1)假設(shè)高一學(xué)生的知識測試成績服從正態(tài)分布．將上述10名學(xué)生的成績作為樣本，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值．利用估計值估計：高一學(xué)生知識是否“達(dá)標(biāo)”？(2)已知知識測試中的多項選擇題中，有4個選項．小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．這樣，小明在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項．假設(shè)小明在做某道多項選擇題時，基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機(jī)選擇．記表示小明做完該道多項選擇題后所得的分?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)高一學(xué)生知識“達(dá)標(biāo)”(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）首先由題得，，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算出，最后得到不合格人數(shù)，得到合格率.（2）的可能取值為0，2，5，分別計算出其概率，得到分布列，最后得到期望.【詳解】（1）由，得的估計值為的估計值為7，，．高一學(xué)生知識“達(dá)標(biāo)”．（2）由題意得，的可能取值為，，的分布列為0255．（2023·全國·模擬預(yù)測）某市有20000名學(xué)生參加了一項知識競賽活動（知識競賽分為初賽和復(fù)賽），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初賽成績作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值和分位數(shù)．(2)若所有學(xué)生的初賽成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，，初賽成績不低于89分的學(xué)生才能參加復(fù)賽，試估計能參加復(fù)賽的人數(shù)．(3)復(fù)賽設(shè)置了三道試題，第一、二題答對得30分，第三題答對得40分，答錯得0分．已知某學(xué)生已通過初賽，他在復(fù)賽中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復(fù)賽成績?yōu)椋蟮姆植剂屑皵?shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)平均數(shù)67，分位數(shù)為(2)455(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為55【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和百分位數(shù)的求法即可求解；（2）由（1），易知近似服從正態(tài)分布，結(jié)合題意和正態(tài)分布3段區(qū)間的概率即可求解；（3）利用獨立事件的概率乘法公式求出隨機(jī)變量Y值對應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望計算公式求解即可.【詳解】（1）樣本平均數(shù)．因為前2組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，設(shè)分位數(shù)為，則，解得．（2）因為學(xué)生的初賽成績近似服從正態(tài)分布，其中，，所以，所以，所以估計能參加復(fù)賽的人數(shù)為．（3）所有可能的取值為0，30，40，60，70，100，，，所以的分布列為030406070100，所以的數(shù)學(xué)期望為55．6．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）攀枝花屬于亞熱帶季風(fēng)氣候區(qū)，水果種類豐富．其中，“紅格臍橙”已經(jīng)“中華人民共和國農(nóng)業(yè)部2010年第1364號公告”予以登記，根據(jù)