2024-2025學年武昌實驗中學高二數(shù)學上學期10月考試卷附答案解析

-2025學年武昌實驗中學高二數(shù)學上學期10月考試卷一?單選題1.已知，且，則（）A. B.C. D.2.已知空間向量，，則向量在向量上投影向量是（）A. B.C. D.3.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次，得到的點數(shù)分別為，則這8個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（）A. B. C. D.4.如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（）A. B.C. D.5.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與交點，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.6.小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為，，，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為，則他三道題都答錯的概率為（）A. B. C. D.7.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點；平面直角坐標系中，方程（不同時為0）可以表示坐標平面內(nèi)的直線；空間直角坐標系中，方程（不同時為0可以表示坐標空間內(nèi)的平面.過點一個法向量為平面方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.三棱錐滿足，二面角的大小為，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.二?多選題9.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若A與B相互獨立，則 B.若，則事件A與相互獨立C.若A與B互斥，則 D.若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則10.若三棱錐體積是三棱錐體積的，且，則的值可能為（）A. B. C. D.11.如圖，四棱錐中，面面，且，是棱的中點，，則（）A.平面B.平面C.和平面所成角的正弦值為D.四面體外接球的表面積為三?填空題12.直線過點，兩點，直線過點，兩點，若，則______.13.已知集合，在M中可重復地依次取出三個數(shù)，則“以為邊長恰好構(gòu)成三角形”的概率是________．14.已知是空間單位向量，.若空間向量滿足，且對于任意，，則__________，__________.四?解答題15.已知平面內(nèi)兩點，．（1）求過點且與直線垂直的直線的方程．（2）若是以為頂點的等腰直角三角形，求直線的方程．16.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．（1）已知．①若采用單次傳輸方案，重復發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．17.如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點O是與交點．（1）用向量，，表示向量；（2）求異面直線AO與BC所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC與平面的位置關(guān)系．18.如圖1，直角梯形中，，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)后得到幾何體W，如圖2，其中分別為上下底面直徑，點分別在圓弧上，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角正切值等于，求到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的余弦值為，求．19.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學科．如圖，球O的半徑為R．A、B、C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為a，設(shè)表示以O(shè)為圓心，且過B、C的圓，同理，圓的劣弧AC、AB的弧長分別記為b，c，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形．若設(shè)二面角分別為α，β，γ，則球面三角形的面積為．（1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；（2）若平面三角形ABC為直角三角形，，設(shè)．則：①求證：；②延長AO與球O交于點D，若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，S為AC中點，T為BC中點，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為θ，求sinθ的最小值，及此時平面AEC截球O的面積．2024-2025學年武昌實驗中學高二數(shù)學上學期10月考試卷一?單選題1.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】運用空間向量平行坐標結(jié)論，結(jié)合坐標運算即可解.詳解】向量，則，因，于是得，解得，所以.故選：B.2.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題運用投影向量的定義即可解題.【詳解】因為，則故向量在向量上的投影向量是故選：C.3.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次，得到的點數(shù)分別為，則這8個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分情況討論時對應(yīng)的中位數(shù)，從而可求解.【詳解】由題意，當時，8個點數(shù)的中位數(shù)為3.5；當時，8個點數(shù)的中位數(shù)為4；當時，8個點數(shù)的中位數(shù)為4.5，則8個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為.故選:D.4.如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運算法則求解.【詳解】.故選：B.5.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征及向量對應(yīng)線段位置關(guān)系，結(jié)合向量加法、數(shù)乘的幾何意義,將、，用基底表示出來，在應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律即可.【詳解】在平行六面體中,四邊形是平行四邊形,側(cè)面是正方形,又是的交點,所以是的中點,因為,,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以異面直線與的夾角的余弦值為.故選：A.6.小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為，，，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為，則他三道題都答錯的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，先求的有關(guān)值，再求對應(yīng)事件的概率.【詳解】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨立，且.恰好能答對兩道題事件，且兩兩互斥，所以，整理得，他三道題都答錯為事件，故.故選：C.7.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點；平面直角坐標系中，方程（不同時為0）可以表示坐標平面內(nèi)的直線；空間直角坐標系中，方程（不同時為0可以表示坐標空間內(nèi)的平面.過點一個法向量為平面方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求直線的方向向量及平面的法向量，再結(jié)合空間向量的數(shù)量積求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】根據(jù)材料可知，由平面的方程為，得為平面的法向量，同理可知，與分別為平面與的法向量.設(shè)直線的方向向量，則，即，取，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：B.8.三棱錐滿足，二面角的大小為，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)對角線向量的性質(zhì)列方程求關(guān)系，從而可得線線垂直，過作，連接，結(jié)合勾股定理，得線線關(guān)系，從而可得二面角的平面角，可將三棱錐補充直棱柱，從而可確定外接球球心位置得外接球半徑，即可得球的體積.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，解得：，即，可知，過作，連接，則，可知，且二面角的平面角為，則為等邊三角形，即，設(shè)，因為，即，解得：或，可知點與點A重合或與點B重合，兩者是對稱結(jié)構(gòu)，不妨取點E與點A重合，則，，由，平面，則平面，且為二面的平面角，可知為等邊三角形，可將三棱錐補充直棱柱，如圖所示，為底面正的外心，即，為的外接球球心，可知，且，則三棱錐的外接球半徑，所以外接球的體積.故選：C.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.二?多選題9.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若A與B相互獨立，則 B.若，則事件A與相互獨立C.若A與B互斥，則 D.若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率公式逐項判斷.【詳解】對于A，若A與B相互獨立，則，所以，故A對；對于B，因，，則，因為，所以事件與相互獨立，故B對；對于C，若A與B互斥，則，故C錯；對于D，若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則，則，故D對．故選：ABD10.若三棱錐的體積是三棱錐體積的，且，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的體積是三棱錐體積的，則平面內(nèi)存在一點，使得或，再根據(jù)空間向量的基本定理及已知條件即可求解.【詳解】因為三棱錐的體積是三棱錐體積的，所以在平面內(nèi)存在一點，使得或，如圖①②所示，當時，則，得．因為點在平面內(nèi)，所以根據(jù)空間向量基本定理可得，解得．當時，則，得．因為點在平面內(nèi)，所以根據(jù)空間向量基本定理可得，解得．故選：AC.11.如圖，四棱錐中，面面，且，是棱的中點，，則（）A.平面B.平面C.和平面所成角的正弦值為D.四面體外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A，B，利用線面角的向量求法判斷C，利用球的方程求解出半徑，再求表面積即可.【詳解】如圖，作，因為面面，面面，所以面，且作，因為，，所以，是的中點，，，對于A，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，所以，，，，，，因為是棱的中點，所以，所以，，，設(shè)面的法向量，所以，令，解得，所以，可得，故平面成立，故A正確，對于B，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，解得，得到，故不平行于，所以平面不成立，故B錯誤，對于C，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，解得，故，設(shè)和平面所成角為，且，所以，故C正確，對于D，設(shè)四面體外接球的方程為，將四點代入球的方程，可得，，利用加減消元法得到，解得，再利用加減消元法得到，解得，現(xiàn)在將，代入方程組，得到，此時解得，故原方程解得，故球的方程為，設(shè)球的表面積為，則，故D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，然后將點代入球的方程求出半徑，再得到所要求的表面積即可．三?填空題12.直線過點，兩點，直線過點，兩點，若，則______.【答案】0或5【解析】【分析】根據(jù)斜率是否存在分類討論，再利用直線位置關(guān)系列方程求解即可.【詳解】當直線斜率不存在，直線斜率為0時，滿足，此時，解得；當直線斜率存在時，因為，所以，解得；綜上，或.故答案為：0或513.已知集合，在M中可重復地依次取出三個數(shù)，則“以為邊長恰好構(gòu)成三角形”的概率是________．【答案】##0.625【解析】【分析】先得到基本事件數(shù)，再得到不能構(gòu)成三角形的事件數(shù)，利用古典概型公式結(jié)合對立事件概率公式求解即可.【詳解】從兩個數(shù)里取三次，共有種情況，只有三種情況無法構(gòu)成三角形，且設(shè)概率為，所以.故答案為：14.已知是空間單位向量，.若空間向量滿足，且對于任意，，則__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】問題等價于當且僅當時取到最小值，通過平方的方法，結(jié)合最值的知識求得正確答案.【詳解】，由于，所以，問題等價于當且僅當時取到最小值，.則，解得.故答案為：；【點睛】求解空間向量模有關(guān)的問題，可以考慮通過平方的方法進行求解，即利用，將問題轉(zhuǎn)化為利用數(shù)量積的運算進行解題.含有多個平方的代數(shù)式的最小值，是平方的式子為的時候最小.四?解答題15.已知平面內(nèi)兩點，．（1）求過點且與直線垂直的直線的方程．（2）若是以為頂點的等腰直角三角形，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直線的斜率，再根據(jù)直線的斜率與直線垂直的直線的斜率乘積為和點斜式求解即可；（2）求出線段垂直平分線的方程為，故點在直線上，設(shè)點為，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊垂直，所在直線斜率存在，斜率之積為建立等式求解即可．【小問1詳解】由題意得，則直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線的方程為：，即．【小問2詳解】的中點坐標為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因為是以為頂點的等腰直角三角形，所以點在直線上，故設(shè)點為，由可得：，解得或，所以點坐標為或，則直線的方程為或．16.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．（1）已知．①若采用單次傳輸方案，重復發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．【答案】（1）①；②證明見解析（2）【解析】【分析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得；②記事件為“第三次收到的信號為1”，事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，證明即可；（2）記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，根據(jù)題意可得，解不等式可解.【小問1詳解】①記事件為“至少收到一次0”，則．②證明：記事件為“第三次收到的信號為1”，則．記事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，則．因為，所以事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．【小問2詳解】記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，則．記事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，則．根據(jù)題意可得，即，因為，所以，解得，故的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算各事件的概率.17.如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點O是與的交點．（1）用向量，，表示向量；（2）求異面直線AO與BC所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC與平面的位置關(guān)系．【答案】（1）（2）（3）平面ABC平面【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運算分析求解；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積結(jié)合夾角公式運算求解；（3）根據(jù)題意結(jié)合空間向量可得，，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理分析證明.【小問1詳解】由題意可知：點O是的中點，則，所以．【小問2詳解】設(shè)，則，．所以．又因為，所以，．所以．所以異面直線與所成的角的余弦值為．【小問3詳解】取的中點，連接，則．因為，為的中點，則．又，即．且，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．18.如圖1，直角梯形中，，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)后得到幾何體W，如圖2，其中分別為上下底面直徑，點分別在圓弧上，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值等于，求到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的余弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)平面與幾何體的上底面交于點，利用面面平行的性質(zhì)，得到，再由平面，證得，進而得到和，證得平面，即可證得平面平面.（2）連接，由平面，得到，由平面，將問題轉(zhuǎn)化為到平面距離，再利用，即可求解.（3）分別取的中點，連接，利用平面平面，將問題轉(zhuǎn)化為平面與平面夾角的余弦值為，過點作，得到則為平面與平面夾角，結(jié)合等面積法和射影定理，即可求解.【小問1詳解】證明：設(shè)平面與幾何體的上底面交于點，即平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，又因為平面，平面，平面，所以，所以，因，所以，又因為平面，且平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】解：連接，由（1）知平面，所以就是直線與平面所成的角，即，因為，所以，所以為直角三角形，又，所以，又因為平面平面，所以點到平面的距離為，因為平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，設(shè)為，因為，所以，因為，所以，即點到平面的距離為.【小問3詳解】解：分別取的中點，連接，則，因為且平面，，且平面，所以平面平面，若平面與平面夾角余弦值為，則平面與平面夾角的余弦值也為，因為為的中點，，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，連接，過點作于點，因為平面平面，且平面，所以平面，過點作于點，連接，則即為平面與平面夾角，即為，所以，設(shè)，則，因為，所以，又因為，所以，，在直角中，由射影定理知，所以，在直角中，，所以，在直角中，，整理得，解得，即，所以.19.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學科．如圖，球O的半徑為R．A、B、C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為a，設(shè)表示以O(shè)為圓心，且過B、C的圓，同理，圓的劣弧AC、AB的