【初等函數(shù)極值問題及其應用探究（論文）4800字】

緒論函數(shù)的極值問題是數(shù)學分析和高等數(shù)學中的一個重要組成部分。在這里，整理了一些求極值的方法，希望能為剛開始學習函數(shù)極值的同學提供理解極值的相關資料，也希望能夠為關于函數(shù)極值方面的研究盡到一份小小的力量。通過研究有關函數(shù)在不同的情況下的求極值問題，可以提供給學習者有關函數(shù)極值各方面的介紹，尤其是求解一元、二元和多元函數(shù)的極值能給學者在求解函數(shù)極值的過程中提供充足的知識。此外，分析極值在生活中的應用可以靈活的將我們專業(yè)知識中系統(tǒng)的學習理論和生活實踐相結(jié)合。如今，全世界都呈現(xiàn)資源短缺問題，如何利用這些資源使它們被利用到最大化是待解決的問題，而這些就需要利用數(shù)學工具極值來解決。極值應用是本文的一部分，充分體現(xiàn)了極值在現(xiàn)實生活中的應用。由此可見，討論函數(shù)極值非常重要。一元函數(shù)概念定義1：設一元函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，且對中除的所有點，都有，則稱是函數(shù)的一個極大值。同理，若對中除的所有點，都有，則稱是函數(shù)的一個極小值。其中，使函數(shù)取得極值的點為極值點。判定極值的三個充分條件定理1：設在點連續(xù)，在某鄰域上可導。若，，當時，則在點取極大值。若，時，當時，則在點取極小值。若在領域內(nèi)不變號，則在點沒有極值定理2：設在點處二階可導，且，。若，則在點取極小值，若則在點取極大值定理3：設在處有直到階的連續(xù)導數(shù)，且，。則當為偶數(shù)時，在點處得極值，且時得極大值，時得極小值。當為奇數(shù)時，在點處不取極值必要條件定理4：設函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，若為極值點，則或者不存在，通常我們把或者不存在的點稱為的穩(wěn)定點?；蛘卟淮嬖诘狞c必定是穩(wěn)定點，但穩(wěn)定點不一定是極值點極值求法求導法法一：利用定理1，即一階導并列表求極值。步驟如下：（1）確定的取值范圍，再求一階導，并找出一階導為和導數(shù)不存在的點。（2）在一階導為和導數(shù)不存在的點處確定兩側(cè)導數(shù)的符號是否異號，如果異號則得到極值點。（3）把極值點代入函數(shù)計算，得到極值。例1.求的極值。解：，求導得令則或但當時，為間斷點，所以不存在。所以列表表示如下：不存在單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由上表可知，是極小值點，極小值是；是極大值點，極大值是；法二：利用定理2，即二階導求極值。步驟如下：（1）確定的取值范圍，以及找出一階導為零的所有點。（2）在一階導為零的點處求二階導并判斷符號，根據(jù)符號得到極值點。（3）求出在極值點的函數(shù)即為極值。例2.求的極值。解：，因為令，則、又,所以有，所以是極小值點，是極大值點。且得極小值是，極大值為。法三：利用定理3求極值極值的第三充分條件實際上是極值的第二充分條件的特例，步驟與第二充分條件相同，但取決于它是奇數(shù)次導還是偶數(shù)次導。例3.求的極值解：，在上任意階可導令，則、、又對求二階導，則，，所以根據(jù)第二充分條件定理，為極大值點，為極小值點，且極大值是，極小值是。對求三階導，，，由于是奇數(shù)，從第三充分條件可知，在時不可能得到極值。配方法，步驟如下：(1)在上考察二次函數(shù)直接將配方得(2)確定的符號，當時，得到極小值.當時，得到極大值。例4.求的極值。解：配方得，因為，所以是的極小值點，且極小值。二元函數(shù)概念 定義2：設二元函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，且在該鄰域中對任一異于的點，若滿足不等式則稱是的極大值，是的極大值點。若滿足不等式則稱)是的極小值，是的極小值點充分條件定理5：設函數(shù)在的某領域內(nèi)具有連續(xù)的一階及二階偏導數(shù)，且，。令，，，則時，存在極值。且時得極小值，時得極大值；時沒有極值；時無法判斷（需要從極值定義出發(fā)討論）必要條件定理6：若函數(shù)在存在偏導數(shù)，且在點取得極值，則有，注：把，同時成立的點稱為的駐點。極值求法運用充分和必要條件定理，步驟如下：(1)求解方程組，同時為零，得到的點為的全部駐點。(2)又求的二階偏導數(shù)，并將全部駐點代入得到、、的值，確定的符號，然后判斷使方程組，同時為零的點是否是極值點。(3)根據(jù)判斷，若駐點為極值點，則計算極值。例5.求函數(shù)的極值解：由題得,解方程組，得到駐點，，，令,,則在點處，，，。并且，為極小值在點處，,,。不是函數(shù)極值在點處，,,。不是函數(shù)極值在點處，，，。并且是極大值所以函數(shù)極大值為，函數(shù)極小值為。代入法求極值在約束條件中如果能使或并將它代入中，得到或，從而使二元函數(shù)在約束條件下變化成一元函數(shù)或例6.求在約束條件下的極值解：由約束條件得到將代入中得到則令得又因為所以在處取得極大值，極大值。極值的拉格朗日乘數(shù)法有時使用代入法將約束條件表示成或的形式比較困難，此時，通常采用拉格朗日乘數(shù)法求極值。步驟：(1)作拉格朗日函數(shù)，為拉格朗日乘數(shù)。(2)求關于和的偏導數(shù)，聯(lián)立方程并求解，解為駐點。(3)則可能就是在情況下可以取的極值。例7.求函數(shù)在條件下的極值解：構建拉格朗日函數(shù)解方程組，解得，所以駐點因為所以因此，的一階、二階主子式都大于零，所以在點取得極小值且極小值為。多元（n>2）函數(shù)概念定義3：設元函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，且對該鄰域中任一異于以外的點都有或者，則稱是函數(shù)的極大值（極小值），則稱為的極大值點（極小值點）充分條件定理7：設元函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導數(shù)，若有并且為函數(shù)在的黑塞矩陣。(1)當?shù)捻樞蛑髯邮骄鶠檎龝r，函數(shù)在取得極小值。(2)當矩陣的偶數(shù)階順序主子式為正，奇數(shù)階順序主子式為負時，函數(shù)在取得極大值。(3)當既不是半正定也不是半負定矩陣時，函數(shù)在不取極值。(4)當是半正定或半負定矩陣時，函數(shù)需要利用其它方法判定必要條件設元函數(shù)在擁有偏導數(shù)并取得極值，則，即.(滿足的點稱為多元函數(shù)的駐點）極值求法運用充分必要條件定理求極值，步驟如下：（1）解多元函數(shù)偏導數(shù)為零的點，即解方程組，此方程組的解為函數(shù)的駐點。（2）計算在每個可能的極值點處的黑塞矩陣。（3）通過判斷在每個可能的極值點處A的順序主子式是否全為正來檢驗是否為極值點，若是，則算出極值例8.求函數(shù)的極值解：由定理得，，解方程組解得駐點又因為，，，，，因此，又的一階、二階和三階主子式都大于零即是正定矩陣。所以在取得極小值，極小值為運用代入法求極值例9.求函數(shù)在條件下的極值解：因為，所以將代入得解方程組，解得駐點為，又在點處，，又，在點處不取極值。在點處，，又且在點處取得極小值。即在取得極小值，且極小值為。運用拉格朗日乘數(shù)法求極值可以將求解兩個變量極值的方法推廣到求解多個變量的極值中。即多元函數(shù)在多個約束條件下的極值，。步驟如下：(1)作拉格朗日函數(shù)為拉格朗日乘數(shù)。(2)求分別的偏導，解方程組，得到駐點。(3)根據(jù)定理7判斷駐點p0是否是函數(shù)在條件下的極值點例10.求函數(shù)在條件下的極值解：構建拉格朗日函數(shù)得解方程組，得所以駐點為又，，，，，所以，它的一階、二階、三階主子式都大于零所以，在處取得極小值。運用柯西不等式求極值柯西不等式：對于任意實數(shù)和，有只有當，即當與成比例時等號成立。而在二維柯西不等式中有，等價于，。例11.設,求函數(shù)的最值。解:因為又由解得，當時，當時，所以最大值為，最小值為。運用基本不等式來求極值有的求極值的題滿足基本不等式結(jié)構，這個時候需要利用基本不等式來求解。由基本不等式，?？梢酝卣沟疆敹际钦龜?shù)，則有。求函數(shù)在下的極值，，。解：由知，的乘積一定，所以它們的和一定有極小值所以當且僅當，時取得極值即函數(shù)在處得極小值，極小值為函數(shù)極值在生活中的應用易拉罐用料最省問題易拉罐是用鋁合金制成的，罐身（底部和側(cè)面）用同樣的一塊材料拉制而成，頂蓋的厚度是罐身厚度的三倍，以容積為立方厘米的易拉罐為例，怎樣設置易拉罐的底部直徑和高才能使易拉罐用料最省。解：假設易拉罐底面直徑為，高為，罐身的厚度為，頂蓋的厚度為。則頂蓋用料罐身用料易拉罐總用料為所以易拉罐用料最省問題化為在內(nèi)求最小值令，是唯一駐點，在中大于所以，在取得極小值即cm是的極小值點此時cm求利潤最大的問題某產(chǎn)品現(xiàn)需要兩種宣傳廣告，當兩種廣告的宣傳費分別是時，產(chǎn)品賣出總量是，如果銷售額的減去廣告費是這個產(chǎn)品的銷售利潤，而必須花費的廣告宣傳費為萬元。在使廣告費一定的情況下怎樣分配兩種廣告的宣傳費，會產(chǎn)生最高利潤、利潤是多少解：依題意，利潤函數(shù)為

且設則得，則由解得，駐點唯一。因此，當兩個廣告分別投入萬元和萬元的時候利潤最大，利潤為萬元。資源合理配置問題某一中學校組織高二學生進行會考，由于教室不夠，決定租用二中學校教室做考場，已知本次考生共有名，每個小教室可容納考生名，需要租金元，監(jiān)考教師名；每個大教室可容納考生名，需要租金元，監(jiān)考教師名；一中有114名老師報名當監(jiān)考教師，那么安排大考場多少個小考場多少個才能既滿足要求同時最省租金解：設租用二中小教室個，租用二中大教室個，建立線性規(guī)劃模型得由題得，化為標準形得使得解為而，因此，規(guī)劃的最佳優(yōu)勢為，即租用個小教室，個大教室。

結(jié)語極值作為函數(shù)的一個重要內(nèi)容，在生活中的應用極為普遍，而在函數(shù)極值的應用中，只有掌握求解函數(shù)極值的方法，才能用極值來解決實際問題。本文介紹了一元函數(shù)極值定義，求解一元函數(shù)極值的求導法和配方法，二元函數(shù)極值定義，求解二元函數(shù)極值的直接代入法、拉格朗日乘數(shù)法等推廣到多元函數(shù)極值定義，求解多元函數(shù)極值的直接代入法、拉格朗日乘數(shù)法、柯西不等式法等。到最后列舉的用料最省問題、利潤最大化問題、資源利用最優(yōu)化問題，充分體現(xiàn)了極值在生活中的應用價值。實際上，求函數(shù)極值的方法還有很多種，針對不同要求的問題我們要能在幾種求解方法中找出簡單又省時的方式來解決，并在解題過程中要帶有一定的技巧。當然，這僅僅是一個學期的論文設計，可能有很多不足之處，希望老師給予指導。參考文獻[1]華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析.上冊-4版[M].-北京:高等教育出版社，2010.7:145-148[2]華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析.上冊-3版[M].-北京:高等教育出版社，2001:145-148[3]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析.上冊-3版[M].-北京:高等教育出版社,1998.[4]田務國.連續(xù)函數(shù)極值的求法[J].科學咨詢(教育科研),2008(S2):72-73.[5]數(shù)學分析.下冊/華東師范大學數(shù)學系編.-4版.-北京:高等教育出版社,2010.6[6]王建梅，張春茍.二元函數(shù)極值充分條件的評注[J].工科數(shù)學,2002(06):117-121.[7]劉曉俊.求二元函數(shù)條件極值的方法[J].金融教學與研究,1994(03):57-59.[8]陳紀修,於崇華,金路.下冊-2版[M].-北京:高等教育出版社,2004.10:192-193[9]龍莉，黃多潔.多元函數(shù)的極值及其應用[J].鞍山師范學院學報，2003(04):10-12[10]西北工業(yè)大學線性代數(shù)編寫組編．線性代數(shù)．北京：科學出版社，2010:137-137[11]楊文杰