吉林省2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章全等三角形13.5逆命題與逆定理3.角平分線課件新版華東師大版

第13章全等三角形13.5逆命題與逆定理3.角平分線目

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角平分線的性質(zhì)定理1.

【知識(shí)初練】如圖，已知∠1＝∠2，

PD

⊥

OA

，

PE

⊥

OB

，垂足分別為

D

、

E

，則

PE

＝

?.PD

234567891011121312.

如圖，

OC

平分∠

AOB

，

P

是

OC

上一點(diǎn)，

PM

⊥

OB

于

點(diǎn)

M

，

N

是射線

OA

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若

PM

＝5，則

PN

的

最小值為(

D

)A.1.5B.2.5C.3D.5D234567891011121313.

[吉林期中]如圖，在△

ABC

中，∠

A

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，

BC

＝12，

AD

＝4，則△

DBC

的面積為

?.24

234567891011121314.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，

DE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

，

DF

⊥

AC

于點(diǎn)

F

，請(qǐng)判斷

BE

和

CF

的數(shù)

量關(guān)系，并說(shuō)明理由.23456789101112131

23456789101112131

角平分線的性質(zhì)定理的逆定理5.

【知識(shí)初練】如圖，已知

PM

⊥

OA

，

PN

⊥

OB

，∠

BOC

＝30°，

PM

＝

PN

，則∠

AOB

＝

?.60°

234567891011121316.

如圖，點(diǎn)

P

是∠

AOB

內(nèi)一點(diǎn)，

PC

⊥

OA

于點(diǎn)

C

，

PD

⊥

OB

于點(diǎn)

D

，且

PC

＝

PD

，點(diǎn)

E

在

OA

上，∠

AOB

＝

50°，∠

OPE

＝30°，則∠

PEC

的度數(shù)是(

B

)A.50°B.55°C.45°D.60°B思路點(diǎn)睛：根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平

分線上，從而求出∠

AOP

，再利用外角與內(nèi)

角的關(guān)系求出結(jié)果.234567891011121317.

如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝

BC

，

D

為

BC

上一點(diǎn)，且

DE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

，若

DE

＝

CD

，

AB

＝8

cm，則△

DEB

的周長(zhǎng)為(

B

)A.4

cmB.8

cmC.10

cmD.14

cmB234567891011121318.

【原創(chuàng)題】如圖，

D

是△

ABC

的邊

BC

上一點(diǎn)，

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，垂足分別是

E

、

F

，

AD

是線段

EF

的

垂直平分線.(1)求證：

AD

是∠

BAC

的平分線；(1)證明：∵

AD

是線段

EF

的垂直平分線，∴

DE

＝

DF

.

∵

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，∴

AD

是∠

BAC

的平分線.234567891011121318.

【原創(chuàng)題】如圖，

D

是△

ABC

的邊

BC

上一點(diǎn)，

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，垂足分別是

E

、

F

，

AD

是線段

EF

的

垂直平分線.(2)若∠

EDB

＋∠

CDF

＝88°，求∠

DEF

的度數(shù).

234567891011121319.

如圖，

l1、

l2、

l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)

貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇

的地址有(

D

)A.

一處B.

二處C.

三處D.

四處D2345678910111213110.

[長(zhǎng)春二道區(qū)月考]如圖，

O

是△

ABC

內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)

O

到

△

ABC

三邊

AB

、

BC

、

CA

的距離相等.若∠

A

＝

70°，則∠

BOC

＝

?.125°

23456789101112131點(diǎn)撥：∵點(diǎn)

O

到△

ABC

三邊

AB

、

BC

、

CA

的距離相等，

∴點(diǎn)

O

是△

ABC

三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn).∴∠

ABC

＝2∠

OBC

，∠

ACB

＝2∠

OCB

.

∵∠

ABC

＋∠

ACB

＋∠

A

＝180°，∴2∠

OBC

＋2∠

OCB

＋70°

＝180°.∴∠

OBC

＋∠

OCB

＝55°.∴∠

BOC

＝180°

－(∠

OBC

＋∠

OCB

)＝180°－55°＝125°.2345678910111213111.

已知：如圖，∠

AOB

和兩點(diǎn)

M

、

N

.

求作：一點(diǎn)

P

，使點(diǎn)

P

到∠

AOB

的兩邊距離相等，且

PM

＝

PN

.

(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)解：如圖所示，

P

就是所求作的點(diǎn).2345678910111213112.

[長(zhǎng)春雙陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中]如圖，△

ABC

的外角∠

ACD

的平

分線

CP

與內(nèi)角∠

ABC

的平分線

BP

交于點(diǎn)

P

，連結(jié)

AP

，延長(zhǎng)

BA

到點(diǎn)

E

.

求證：

AP

平分∠

CAE

.

23456789101112131證明：如圖，過(guò)點(diǎn)

P

作

PN

⊥

BD

于點(diǎn)

N

，

PM

⊥

BE

于

點(diǎn)

M

，

PF

⊥

AC

于點(diǎn)

F

.

∵

CP

是∠

ACD

的平分線，

PN

⊥

BD

，

PF

⊥

AC

，∴

PN

＝

PF

.

∵

BP

是∠

ABC

的平分線，

PN

⊥

BD

，

PM

⊥

BE

，∴

PM

＝

PN

.

∴

PM

＝

PF

.

∵

PM

⊥

AE

，

PF

⊥

AC

，∴

AP

平分∠

CAE

.

2345678910111213113.

【原創(chuàng)題】[推理能力]如圖，

AB

＝

c

，

AC

＝

b

，

BC

＝

a

，且滿足

ab

－

ac

＝

b2－2

bc

＋

c2，

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，

點(diǎn)

P

為

AD

上任意一點(diǎn)，

PM

⊥

AC

于點(diǎn)

M

，連結(jié)

PC

.

(1)判斷△

ABC

的形狀；23456789101112131點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)幾何畫(huà)板解：(1)∵

ab

－

ac

＝

b2－2

bc

＋

c2，∴

a

(

b

－

c

)－(

b

－

c

)2＝0，∴(

b

－

c

)(

a

－

b

＋

c

)＝0.∵

a

＋

c

＞

b

，∴

a

－

b

＋

c

＞0，∴

b

－

c

＝0，即

b

＝

c

，∴△

ABC

是等腰三角形.2345678910111213113.

【原創(chuàng)題】[推理能力]如圖，

AB

＝

c

，

AC

＝

b

，

BC

＝

a

，且滿足

ab

－

ac

＝

b2－2

bc

＋

c2，

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，

點(diǎn)

P

為

AD

上任意一點(diǎn)，

PM

⊥

AC

于點(diǎn)

M

，連結(jié)

PC

.

(2)當(dāng)

PC

＋

PM